数学分析(华东师大)第九章定积分

第 九 章 定 积 分 1 定积分概念 一 问题提出 不定积分和定积分是积分学中的两 大基 本问 题 求不定 积分 是求导 数的 逆 运算 定积分则是某种特殊和式的极 限 它们 之间 既有区 别又 有联系 现 在先 从 两个例子来看定积分概念是怎样提出来的 1 曲边梯形的面积 设 f 为闭区 间 a b 上 的连 续函 数 且 f x 0 由曲线 y f x 直线 x a x b 以及 x 轴所 围成 的平 面图 形 图 9 1 称 为曲边梯形 下面讨论曲边梯形的面积 这是求任何曲线边界图形面积的基础 图 9 1图 9 2 在初等数学里 圆面积是用一系列边 数无 限增多 的内 接 或 外切 正 多边 形 面积的极限来定义的 现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积 在区间 a b 内任取 n 1 个分点 它们依次为 a x0 x1 x2 xn 1 x n b 这些点把 a b 分割成 n 个小区间 xi 1 xi i 1 2 n 再用 直线 x xi i 1 2 n 1 把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形 图 9 2 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i 作 以 f i 为高 x i 1 xi 为底 的 小矩形 当分割 a b 的分点较多 又分割得较细密时 由于 f 为连续函 数 它 在 每个小区间上的值变化不大 从而可 用这些 小矩 形的 面积近 似替 代相应 小曲 边 1 定积分概念 201 梯形的面积 于是 这 n 个小矩形 面积 之和 就可 作为 该曲 边梯 形 面积 S 的近 似 值 即 n S i 1 f i xi xi xi xi 1 1 注意到 1 式右边的和式既依赖于对区间 a b 的分割 又与所 有中间点 i i 1 2 n 的 取法 有关 可 以 想象 当 分点 无 限增 多 且 对 a b 无限 细 分 时 如果此和式与某一常数无限接近 而且与分点 xi 和中间点 i 的选取无关 则 就把此常数定义作为曲边梯形的面积 S 2 变力所作 的 功 设 质 点 受 力 F 的 作 用 沿 x 轴由点 a 移动到点 b 并设 F 处处平行 于 x 轴 图 9 3 如 果 F 为 常力 则它 对 质 点所作的功为 W F b a 现在的问题是 图 9 3 F 为变力 它连续依赖于质点所在位置的坐 标 x 即 F F x x a b 为 一 连续函数 此时 F 对质点所作的功 W 又该如何计算 由假设 F x 为一 连续 函数 故在 很小 的一 段位 移 区间 上 F x 可以 近 似 地看作 一 常 量 类 似 于 求 曲 边 梯 形 面 积 那 样 把 a b 细 分 为 n 个 小 区 间 xi 1 xi xi xi xi 1 i 1 2 n 并在每个小区间上任取一点 i 就有 F x F i x xi 1 xi i 1 2 n 于是 质点从 xi 1 位移到 xi 时 力 F 所作的功就近似等于 F i xi 从而 n W F i xi 2 i 1 同样地 对 a b 作无限细分时 若 2 式右边的和 式与某 一常数无 限接近 则就把此常数定义作为变力所作的功 W 上面两个例子 一个是计算曲边梯形面积的几何问题 另一个是求变力作功 的力学问题 它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近 在科学技术中还有许 多同样类型的数学问题 解决这类问 题的思 想方 法概括 说来 就是 分 割 近似 求 和 取极限 这就是产生定积分概念的背景 二 定积分的定义 定义 1 设闭区间 a b 内有 n 1 个点 依次为 a x0 x1 x2 xn 1 x n b 它们把 a b 分成 n 个小 区间 i xi 1 xi i 1 2 n 这些分 点或这 些 闭子区间构成对 a b 的一个分割 记为 T x0 x1 xn 或 1 2 n 小区间 i 的长度为 xi x i xi 1 并记 202第九章 定 积 分 称为分割 T 的模 T max xi 1 i n 注 由于 xi T i 1 2 n 因此 T 可 用来 反映 a b 被 分 割的细密程度 另外 分割 T 一旦给出 T 就随之而确定 但是 具有同 一细 度 T 的分割 T 却有无限多个 定义 2 设 f 是定义在 a b 上的 一个 函数 对于 a b 的一 个 分割 T 1 2 n 任取点 i i i 1 2 n 并作和式 n i 1 f i xi 称此和式为函数 f 在 a b 上的一个积分和 也称黎曼和 显然 积分和既与分割 T 有关 又与所选取的点集 i 有关 定义 3 设 f 是定义在 a b 上的 一个 函数 J 是一 个确 定的实 数 若对 任 给的正数 总存在某一正数 使得对 a b 的任何分割 T 以及在其上任意选 取的点集 i 只要 T 就有 n i 1 f i xi J 则称函数 f 在区间 a b 上可积 或黎 曼可 积 数 J 称为 f 在 a b 上 的 定积 分 或黎曼积分 记作 b J f x d x 3 a 其中 f 称为被积函数 x 称为积分变量 a b 称为积分 区间 a b 分别 称为 这 个定积分的下限和上限 以上定义 1 至定义 3 是定积分抽象 概念 的完 整叙述 下 面是 与定积 分概 念 有关的几点补充注释 注 1 把定积分定 义的 说法和 函数极限 的 说法相 对照 便会 发 现两者有相似的陈述方式 因此我们也常用极限符号来表达定积分 即把它写作 J lim T 0 n i 1 b f i xi f x d x 4 a 然而 积 分 和 的 极 限 与 函 数 的 极 限 之 间 其 实 有 着 很 大 的 区 别 在 函 数 极 限 lim x a f x 中 对每一个极限变量 x 来说 f x 的值是唯 一确定 的 而 对于积分 和 的极限而言 每一个 T 并不唯一对应积分和的一个值 这使得积 分和的极 限 要比通常的函数极限复杂得多 注 2 可积性是函数的又一分析性质 稍后 定理 9 3 就会知道连续函数是 可积的 于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示 1 连 续 曲 线y f x 0 在 a b 上 形 成 的 曲 边 梯 形 面 积 为 ii 1 定积分概念 203 b S f x d x a 2 在 连 续 变 力 F x 作 用 下 质 点 从 a 位 移 到 b 所 作 的 功 为 W b F x d x a 注 3 定积 分的几 何意 义 由 上 述 1 看到 对 于 a b 上 的 连 续 函 数 f 当 f x 0 x a b 时 定积 分 3 的几 何 意义就是该曲边梯形的面积 当 f x 0 b x a b 时 这 时 J f x d x a 是位 于 x 轴 下 方 的 曲 边 梯形面积的 相 反 图 9 4 数 不妨称之为 负面积 对于一般非定号的 f x 而 言 图 9 4 定积 分 J 的 值则是曲线 y f x 在 x 轴 上方 部分所 有曲 边梯 形的 正面 积与 下 方部 分所 有 曲边梯形的负面积的代数和 注 4 定积分作为积分和的极限 它的值只与被积函数 f 和积分区间 a b 有关 而与积分变量所用的符号无关 即 bbb f x d x f t d t f d aaa 例 1 求 在 区 间 0 1 上 以抛 物 线 y x 2 为 曲 边 的 曲 边 三 角 形 的 面 积 图 9 5 解 由注 3 因 y x 2 在 0 1 上连 续 故所 求面积 为 1 S x 2 d x lim n 2 x 0 T 0 i 1 为求得此极限 在定 积 分 存 在的 前 提 下 允 许 选 择某种特殊的分割 T 和特殊的点集 i 在此只 需取等分分割 T 0 1 2 n 1 1 T 1 n i 1 nn i 1 i n 图 9 5 并取 i n n n i 1 2 n 则有 n S lim i 1 1 lim 1 n i 1 2 n i 1 nnn 3 i 1 lim n n 1 n 2 n 1 1 6 n 3 3 2 n 204第九章 定 积 分 习 题 1 按定积分定义证明 b kd x k b a a 2 通过对 积分区间作等分分割 并取适当的点集 i 把定积分看作是对 应的积分和的 极限 来计算下列定积分 1 n x3 d x 提示 i3 1 n2 n 1 2 0 i 1 4 1b 2 e x d x 3 0 b e x d x a 4 d x 0 a 0 要 证存 在 0 当 T 时 有 n i 1 f i xi F b F a 0 存 在 0 当 x 1 x 2 牛顿 莱布尼茨公式 205 x a b 且 x x 时 有 f x f x b a 于是 当 xi T 时 任取 i xi 1 x i 便有 i i 这就证得 n i 1 f i xi F b F a n f i f i xi i 1 n i 1 f i f i xi n x i i 1 所以 f 在 a b 上可积 且有公式 1 成立 注 1 在应用牛顿 莱布尼茨公式时 F x 可由积分法求得 注 2 定理条件尚可适当减弱 例如 1 对 F 的要 求可 减 弱为 在 a b 上连 续 在 a b 内 可导 且 F x f x x a b 这不影响定理的证明 2 对 f 的要 求可 减 弱为 在 a b 上可 积 不 一定 连 续 这 时 2 式 仍 成 b 立 且由 f 在 a b 上可积 2 式右 边当 T 0 时的 极限 就是f x d x a 而左边恒为一常数 更一般的情形参见本节习题第 3 题 注 3 至 5 证得连续函数 必有 原函 数之 后 本 定理 的条 件中 对 F 的假 设 便是多余的了 例 1 利用牛顿 莱布尼茨公式计算下列定积分 b 1 2 xn d x n 为正整数 a b e x d x 3 a d x 0 a M G xk n i 1 f i xi f k xk f i xi i k M G xk G M xk 由此可见 对于无论多小的 T 按上 述 方法 选取 点集 i 时 总 能使 积分 和 的绝对值大于任何预先给出的正数 这与 f 在 a b 上可积相矛盾 208第九章 定 积 分 这个定理指出 任何可积函数一 定是 有界的 但要注 意 有界 函数却 不一 定 可积 例 1 证明狄利克雷函数 在 0 1 上有界但不可积 D x 1 x 为有理数 0 x 为无理数 证 显然 D x 1 x 0 1 对于 0 1 的任一分割 T 由有理数和无 理数在 实数中的 稠密性 在属 于 T nn 的任一小区间 i 上 当取 i 全为有理数时 D i xi xi 1 当 取 i 1 n i 1 i 全为无理数时 D i xi 0 所以不论 T 多 么小 只要点集 i 取 i 1 法不同 全取有理数或全取无理数 积分和有不同 极限 即 D x 在 0 1 上 不 可积 由此例可见 有界是可积的必要 条件 所 以在 以后讨 论函 数的可 积性 时 总 是首先假设函数是有界的 今后不再一一申明 二 可积的充要条件 要判断一个函数是否可积 固然可以根据定义 直接考察积分和是否能无限 接近某一常数 但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知 因此这是极其困难 的 下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关 而不涉及定积分的值 设 T i i 1 2 n 为对 a b 的任一分割 由 f 在 a b 上有界 它 在 每个 i 上存在上 下确界 Mi sup f x mi inf f x i 1 2 n x i 作和 x i n S T i 1 n Mi xi s T i 1 mi xi 分别称为 f 关于 分 割 T 的 上 和 与 下 和 或 称 达 布 上 和 与 达 布 下 和 统 称 达 布 和 任给 i i i 1 2 n 显然有 n s T i 1 f i xi S T 1 与积分和相比较 达布和只与分割 T 有关 而与点 集 i 无关 由不等 式 1 就 能通过讨论上和与下和当 T 0 时的极限来揭示 f 在 a b 上是否可积 所 以 可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的 定理 9 3 可积准则 函数 f 在 a b 上可积的充要条件是 任给 0 iiiii 3 可 积 条 件 209 总存在相应的一个分割 T 使得 S T s T 0 总存 在相 应 的某一分割 T 使得 i xi 0 存在 0 对 a b 中任意两点 x x 只要 x x 便有 f x f x b a 所以只要对 a b 所 作 的分 割 T 满足 T 0 取 满足 0 2 M m b a 其中 M 与 m 分别为 f 在 a b 上的上确界与下确界 设 m M 否则 f 为常量函数 显然 可积 记 f 在 小区间 b b 上的振幅为 则 M m 2 M m 2 因为 f 在 a b 上连续 由 定理 9 3 知 f 在 a b 上 可积 再 由定 理 9 2 必要性 存在对 a b 的某个分割 T 1 2 n 1 使得 i xi T 令 n 则 T 1 2 n 1 n 是对 a b 的一个分割 对于 T 有 i xi i xi 2 2 TT 根据定理 9 2 充分性 证得 f 在 a b 上可积 定理 9 6 若 f 是 a b 上的单调函数 则 f 在 a b 上可积 证 设 f 为增函数 且 f a 0 只要 T 这时就有 f b f a i xi T 所以 f 在 a b 上可积 注意 单调函数即使有无限多个间断点 仍不失其可积性 例 2 试用两种方法证明函数 0 x 0 f x 1 n 1 n 1 0 由于 lim 1 0 因此当 n 充分大时 1 这 n nn2 说明 f 在 1 上 只 有 有 限 个 间 断 点 利 用 定 理 2 9 4 和定理 9 2 推知 f 在 1 上可 积 且存 在对 2 图 9 8 2 1 的某一分割 T 使得 i xi T 再把小区间 0 2 与 T 合并 成为对 0 1 的一 个分 割 T 由于 f 在 0 上 2 的振幅 0 1 因此得到 i xi 0 2 i xi p 在区间 0 1 上可积 且 0 x 0 1 以及 0 1 内的无理数 1 f x d x 0 0 分析 已 知 黎曼 函 数 在 x 0 1 以 及一切无理 点处 连续 而 在 0 1 内 的 一 切有理点处 间断 证 明它 在 0 1 上 可 积 的直观构思如下 如图 9 9 所示 在黎 曼 函数的图象中画一条水平直线 y 在 2 图 9 9 此直线上方只有函数图象中有限个点 这 些点所对应的自变量可被含于属于分割 T 的有限 个小区间 中 当 T 足够 小 T 于 1 2 212第九章 定 积 分 时 这有限个小区间的总长 可为任 意小 而 T 中 其余 小区间 上函 数 的振 幅不 大 2 把这两部分相合 便可证得 i xi 0 在 0 1 内 使得 1 的有 理 点 p 只 有有 限个 设它 们 为 q2q r1 rk 现对 0 1 作分割 T 1 2 n 使 T 2 k 并把 T 中所有 小区间分为 i i 1 2 m 和 i i 1 2 n m 两 类 其中 i 为 含有 ri i 1 2 k 中点的 所有小区 间 这类小 区间的个 数 m 2 k 当所 有 ri 恰好都是 T 的分割点时才有 m 2 k 而 i 为 T 中所 有其余不 含 ri 中 点 的小区间 由于 f 在 i 上的振幅 i 1 2 于是 m i x i 1 m x i 1 2 k T i 1 i 1 而 f 在 i 上的振幅 i 2 于是 n m n m i x i i 1 把这两部分合起来 便证得 x i i 1 nmn m i xi i x i i x i 0 存在 a 0 当 T 时 n i 1 从而 f i xi J k 即 k f 在 a b 上可积 且 b n i 1 kf i xi kJ 0 B 0 否则 f g 中 至少有 一个 恒为零 值函 数 于是 f g 亦为 零值 函 数 结论显然成立 任给 0 由 f g 可积 必分别存在分割 T T 使得 i ii i 2 214第九章 定 积 分 f i xi T g x i 2 B T 2 A 令 T T T 表示把 T T 的所有分割点合并而成的一个新的分割 T 对于 a b 上 T 所属的每一个 i 有 f g i sup x x i sup x x i f x g x f x g x g x f x f x f x g x g x B f A g 利用 3 习题第 1 题 可知 f gfg i xi B i xi A i xi TTT g x T T 0 分别存 在 对 a c 与 c b 的分割 T 与 T 使得 i x i T i x i T 2 现令 T T T 它是对 a b 的一个分割 且有 i xi i x i i x i 0 存在对 a b 的某分割 T 使得 i xi 在 T 上再增加一个分点 c 得到一个新的分割 T 由 3 T 习题第 1 题 又有 i x i i xi T T 分割 T 在 a c 和 c b 上的部分 分别 构成对 a c 和 c b 的分 割 记 为 T 和 T 则有 iii i x i i x i b ii ii 4 定积分的性质 215 x T T x T T 这就证得 f 在 a b 与 b c 上都可积 在证得上面结果 的基础 上最后来 证明等式 3 为此对 a b 作分 割 T 恒 使点 c 为其中的一个分点 这时 T 在 a c 与 c b 上的部分各自构成对 a c 与 c b 的分割 分别记为 T 与 T 由于 f i xi f i x i f i x i TT T 因此当 T 0 同时有 T 0 T 0 时 对上式 取极限 就得到 3 式成立 性质 4 及公 式 3 称 为 关 于 积 分 区 间 的 可加性 当 f x 0 时 3 式的 几何 意义 就 是曲边梯形面积的可 加性 如 图 9 10 所示 曲边 梯 形 AabB 的 面 积 等 于 曲 边 梯 形 AacC 的面积与 CcbB 的面积之和 b 按定积分的定义 记号f x d x 只 有当 a a b 时 本来 是没有 意义的 但为了运用上的方便 对它作如下规定 a 规定 1 当 a b 时 令f x d x 0 a 图 9 10 ba 规定 2 当 a b 时 令 f x d x f x d x ab 有了这个规定之后 等式 3 对于 a b c 的 任何 大小 顺序 都 能成 立 例如 当 a b 0 存在某分割 T 使得 f x 由绝对值不等式 T f x f x f x f x 可得 f f i i 于是有 f f i xi i xi TT 从而证得 f 在 a b 上可积 再由不等式 f x f x f x 应用 性质 5 推论 即 证得不等 式 6 成立 注意 这个性质的逆命题一般不成立 例如 1 x 为有理数 f x 1 x 为无理数 在 0 1 上不可积 类似于狄利克雷函数 但 f x 1 它在 0 1 上可积 1 例 1 求 1 f x d x 其中 f x 2 x 1 1 x 0 则由连续函数的局部保 号性 存在 x0 的某邻域 x0 x0 当 x0 a 或 x0 b 时 则 为右 邻域 或 f x0 左邻域 使在其中 f x 2 0 由性质 4 和性质 5 推知 bx x b f x d x 0 f x d x 0 f x d x f x d x aax 0 x 0 x 0 0 x 0 f x0 2 d x 0 f x0 0 b 这与假设f x d x 0 相矛盾 所以 f x 0 x a b a 注 从此例证明中看到 即使 f 为一非负可积函数 只要它在某一点 x0 处 b 连续 且 f x0 0 则必有f x d x 0 至于可积函数必有连续点 这是一 a 个较难证明的命题 读者可参阅 6 习题第 7 题 二 积分中值定理 定理 9 7 积分第 一中 值定 理 若 f 在 a b 上连 续 则至 少 存在 一 点 a b 使得 b f x d x f b a 7 a 证 由于 f 在 a b 上连续 因此存在最大值 M 和最小值 m 由 m f x M x a b 使用积分不等式性质得到 b m b a f x d x M b a a 218第九章 定 积 分 或 m 1 bf x d x M b a a 再由连续函数的介值性 至少存在一点 a b 使得 b f 1 f x d x 7 这就证得 7 式成立 b a a 积分第一中值定理的几何意 义如图 9 11 所示 若 f 在 a b 上 非 负连 续 则 y f x 在 a b 上的曲边梯形面 积等 于以 7 所示 的 f 为 高 a b 为 底 的 矩 形 面 积 而 1 b b a f x d x 则可 理 解 为 f x 在 区 间 a a 图 9 11 b 上所有函数值 的平 均值 这是 通常 有限个 数 的算术平均值的推广 例 3 试求 f x sin x 在 0 上的平均值 解 所求平均值为 f 1 sin x d x 1 cos x 2 0 0 定理 9 8 推广 的 积 分 第 一 中 值 定 理 若 f 与 g 都 在 a b 上 连 续 且 g x 在 a b 上不变号 则至少存在一点 a b 使得 b f x g x d x f a 当 g x 1 时 即为定理 9 6 证 不妨设 g x 0 x a b 这时有 b g x d x 8 a mg x f x g x Mg x x a b 其中 M m 分别为 f 在 a b 上的最大 最小值 由定积分的不等式性质 得到 bbb mg x d x f x g x d x M g x d x aaa bb 若 g x d x 0 则由上式知 f x g x d x 0 从而对任何 a b 8 aa b 式都成立 若g x d x 0 则得 a b f x g x d x a m b g x d x a M 4 定积分的性质 219 由连续函数的介值性 必至少有一点 a b 使得 b f x g x d x a 这就证得 8 式成立 f b g x d x a 注 事实上 定理 9 7 和定 理 9 8 中的 中值 点 必能在 开区 间 a b 内 取 得 证明留作习题 积分第二中值定理将在下一节里给出 习 题 1 证明 若 f 与 g 都在 a b 上可积 则 n b lim f i g i xi f x g x d x T 0 i 1a 其中 i i 是 T 所属小区间 i 中的任意两点 i 1 2 n 2 不求出定积分的值 比较下列各对定积分的大小 1 2 11 xd x 与x 2 d x 00 2 x d x 与 2 sin x d x 00 3 证明下列不等式 1 2 2 d x 0 1 1 sin 2 x 2 1 2 2 2 1 ex 0 1 d x e 3 1 sin x d x 0 x2 4 e 4 3 e e ln x d x 0 a 5 设 f 与 g 都在 a b 上可积 证明 M x max x a b f x g x m x min x a b f x g x 在 a b 上也都可积 6 试求心形线 r a 1 cos 0 2 上各点极径的平均值 7 设 f 在 a b 上可积 且在 a b 上满足 f x m 0 证明 1 在 a b 上也可积 f 8 进一步证明积分第一中值定理 包括定理 9 7 和定理 9 8 中的中值点 a b 220第九章 定 积 分 9 证明 若 f 与 g 都在 a b 上可积 且 g x 在 a b 上不变号 M m 分别为 f x 在 a b 上的上 下确界 则必存在某实数 m M 使得 bb f x g x d x g x d x aa bb 10 证明 若 f 在 a b 上连续 且 f x d x x f x d x 0 则在 a b 内至少存在 aa b 两点 x1 x2 使 f x1 f x2 0 又若x2 f x d x 0 这时 f 在 a b 内是否至少有三 a 个零点 11 设 f 在 a b 上二阶可导 且 f x 0 证明 1 f a b 1 b f x d x 2b a a 2 又若 f x 0 x a b 则又有 f x 2 bf x d x x a b 12 证明 b a a 1 ln 1 n 1 1 1 0 时有 x x x x x f t d t x f t d t M x 当 x 0 这时 5 式即为 F f t d t 1 bf x g x d x 5 a 所以问题转化为只须证明 m 1 g a g a a b f x g x d x M 7 a 因为由此可借助 F 的介值性立刻证得 5 当然 7 式又等同于 下面就来证明这个不等式 b mg a f x g x d x Mg a 7 a 由条件 f 有界 设 f x L x a b 而 g 必为可积 从而对任给的 0 必有分割 T a x0 x1 xn b 使 i xi L T b 现把 I f x g x d x 按积分区间可加性写成 a n x I i f x g x d x i 1 x i 1 5 微积分学基本定理 定积分计算 续 223 n x n x i g x g x f x d x g x i f x d x i 1 x i 1 i 1 i 1 i 1 x i 1 I1 I2 对于 I1 必有 n x I1 g x g xi 1 f x d x i 1 x i 1 n L g x L ii i 1 对于 I2 由于 F x0 F a 0 和 x i x i 1 x f x d x i f x d x a x i 1 f x d x a F xi F xi 1 可得 n I2 g xi 1 F xi F xi 1 i 1 g x0 F x1 F x0 g xn 1 F xn F xn 1 F x1 g x0 g x1 F xn 1 g xn 2 g xn 1 F xn g xn 1 n 1 F xi g xi 1 g xi F b g xn 1 i 1 再由 g x 0 且减 使得其中 g xn 1 0 g xi 1 g xi 0 i 1 2 n 1 于是利用 F xi M i 1 2 n 估计得 n 1 I2 M g xi 1 g xi Mg xn 1 i 1 Mg a 同理由 F xi m i 1 2 n 又有 I2 mg a 综合 I I1 I2 I1 mg a I2 Mg a 得到 mg a I Mg a 由 为任意小正数 这便证得 mg a I Mg a 即不等式 7 成立 随之又有 7 5 和 5 式成立 推论 设函数 f 在 a b 上可 积 若 g 为 单调 函数 则存 在 a b 使 得 b f x g x d x g a a f x d x g b a b f x d x 8 证 若 g 为单调递 减函数 令 h x g x g b 则 h 为 非 负 递减 函 数 由定理 9 11 i 存在 a b 使得 i L a 224第九章 定 积 分 b f x h x d x h a a f x d x a g a g b f x d x a bbb 由于 f x h x d x f x g x d x g b f x d x 因此证得 aaa bb f x g x d x g b f x d x g a g b a f x d x a g a f x g b a b f x d x 若 g 为单调递增函数 只须令 h x g x g a 并由 定理 9 11 ii 和 6 同样可证得 8 式成立 积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具 二 换元积分法与分部积分法 对原函数的存在性有了正确的认识 就 能顺 利地 把不定 积分 的换元 积分 法 和分部积分法移植到定积分计算中来 定理 9 12 定积分换元积分 法 若 函数 f 在 a b 上连 续 在 上连续可微 且满足 a b a t b t 则有定积分换元公式 b f x d x f t t d t 9 a 证 由于 9 式两边的被积函 数都是 连续 函数 因此 它们 的原 函数都 存在 设 F 是 f 在 a b 上的一个原函数 由复合函数微分法 d d tF t F t t f t t 可见 F t 是 f t t 的一个原函数 根据牛顿 莱布尼茨公式 证得 f t t d t F F b F b F a f x d x a 从以上证明看到 在用换元法计算定积分时 一旦得到了用新变量表示的原 函数后 不必作变量还原 而只要用新的 积分 限代 入并求 其差 值就可 以了 这 就 是定积分换元积分法与不定积分换元积 分法 的区 别 这一区 别的 原因在 于不 定 积分所求的是被积函数的原函数 理应保留与原来相同的自变量 而定积分的计 算结果是一个确定的数 如果 9 式一边 的定 积分 计算出 来了 那 么另一 边的 定 5 微积分学基本定理 定积分计算 续 225 积分自然也求得了 注 如果在定理 9 11 的条 件中 只假定 f 为 可积 函数 但还 要求 是单 调 的 那么 9 式仍然成立 本节习题第 14 题 1 例 1 计算1 x2 d x 0 解 令 x sin t 当 t 由 0 变到 时 x 由 0 增到 1 故取 0 22 应用公式 9 并注意到在第一象限中 cos t 0 则有 1 1 x2 d x 2 00 1 2 4 1 sin2 tcos td t 2 cos2 td t 0 例 2 计算 2 sin tcos2 td t 0 解 逆向使用公式 9 令 x cos t d x sin td t 当 t 由 0 变 到 时 x 2 由 1 减到 0 则有 01 2 sin tcos2 td t x2 d x x2 d x 1 0103 1 例 3 计算 J ln 1 x d x 0 1 x 2 解 令 x tan t 当 t 从 0 变 到 时 x 从 0 增 到 1 于 是 由 公 式 9 及 4 d t d x 得到 1 x 2 J 4 ln 1 tan t d t 4 ln cos t sin t d t 00cos t 2 cos t 4 ln 4 d t 0cos t 4 ln 2 d t 4 ln cos t d t 4 ln cos td t 0040 对最末第二个定积分作变换 u t 有 4 0 4 ln cos t d t ln cos u d u 4 ln cos ud u 04 4 0 2 1 1 2 1 cos2 t d t t 02 2 sin2 t 0 e e n 2 b ee 226第九章 定 积 分 它与上面第三个定积分相消 故得 J 4 ln 2d t ln 2 08 事实上 例 3 中的被积函数的 原函数 虽然 存在 但难 以用 初等 函数来 表示 因此无法直接使用牛顿 莱布尼茨公式 可是像上面那样 利用定积分的性质和 换元公式 9 消去了其中无法求出原函数的部分 最终得出这个定积分的值 换元积分法还可用来证明 一些 特 殊的 积分 性质 如本 节习 题中 的第 5 6 7 等题 定理 9 13 定积分分部积分法 若 u x v x 为 a b 上的连 续可 微 函 数 则有定积分分部积分公式 b u x v x d x u x v x aa b u x v x d x 10 a 证 因为 uv 是 u v u v 在 a b 上的一个原函数 所以有 bbb u x v x d x u x v x d x u x v x u x v x d x aaa 移项后即为 10 式 为方便起见 公式 10 允许写成 b u x v x a b u x d v x u x v x aa b v x d u x 10 a e 例 4 计算x 2 ln x d x 1 解 x 2 ln x d x 1 ln xd x 3 1 x 3 ln x x 2 d x 1 1 3 11 1 例 5 计算 2 sin n x d x 和 2 cos n x d x n 1 2 00 解 当 n 2 时 用分部积分求得 2 n Jn sin 0 x d x sin n 1 xcos x 2 n 1 0 2 sin 0 n 2 x cos 2 x d x n 1 2 sinx d x n 1 0 sin n x d x 0 n 1 Jn 2 n 1 Jn 移项整理后得到递推公式 2 b 1 3 13 e 1 3 3 e 3 x 19 2e 2 2 5 微积分学基本定理 定积分计算 续 227 n 1 n Jn 2 n 2 11 由于 2 J0 d x 0 重复应用递推式 11 便得 2 J1 sin x d x 1 20 m 3 J2 m 2 m 1 2 1 2 m 1 2 m 2 m 2 2 2 2 m 2 12 J2 m 1 2 m 2 m 2 2 1 2 m 2 m 1 令 x t 可得 2 2 m 13 2 m 1 0 2 cos n x d x cos n t d t sin n x d x 0 2 20 因而这两个定积分是等值的 由例 5 结论 12 可导出著名的沃利斯 Wallis 公式 事实上 由 lim m 2 m 2 m 1 1 13 2 m 1 2 sin2 m 1 xd x 2 sin2 m x d x 2 sin2 m 1 x d x 0 把 12 代入 得到 2 m 0 2 m 1 0 2 m 2 由此又得 2 m 1 2 m 2 2 m 1 Am 因为 2 m 2 m 1 2 1 2 m 1 2 2 m 2 m 1 2 1 1 m Bm 2 m 0 Bm Am 2 m 1 2 1 2 m 2 m 1 1 2 m 2 0 m 所以 lim Bm Am 0 而 m 2 Am 0 4 0 1 d x 6 1 4 x 2 d x 0 d x 0 x2 x 1 362 2 cos x d x 0 ex e x 1 0 1 sin2 x 7 arcsin xd x 8 0 e e x sin xd x 0 1 9 1 ln x d x 10 e e x d x 0 11 x2 a x d x a 0 12 0a x 2 cos d 0 sin cos 5 设 f 在 a a 上可积 证明 a 1 若 f 为奇函数 则 a a 2 若 f 为偶函数 则 a f x d x 0 f x d x 2 0 f x d x 6 设 f 为 上以 p 为周期的连续周期函数 证明对任何实数 a 恒有 2 d 1 a a a x 230第九章 定 积 分 a p a p f x d x f x d x 0 7 设 f 为连续函数 证明 1 2 2 f sin x d x 2 00 x f sin x d x f cos x d x f sin x d x 02 0 8 设 J m n 2 sin m xcosn xd x m n 为正整数 证明 0 并求 J 2 m 2 n J m n n 1 m n J m n 2 m 1 m n J m 2 n 9 证明 若在 0 上 f 为连续函数 且对任何 a 0 有 ax g x x f t d t 常数 x 0 则 f x c x 0 c 为常数 x 10 设 f 为连续可微函数 试求 d x t f t d t d x a 并用此结果求 d d x x x t sin td t 0 11 设 y f x 为 a b 上严格增的连续曲线 图 9 12 试证存在 a b 使图 中两 阴影 部分 面积 相等 12 设 f 为 0 2 上的单 调递减 函数 证明 对任 何正整数 n 恒有 图 9 12 2 f x sin nx d x 0 0 13 证明 当 x 0 时有不等式 x c x sin t 2 d t 0 x 14 证明 若 f 在 a b 上可积 在 上单调且连续可微 a b 则有 b f x d x f t t d t a 15 证明 若在 a b 上 f 为连续函数 g 为连续 可微的 单调函 数 则 存在 a b 使得 b f x g x d x g a f x d x g b a b f x d x 提示 与定理 9 11 及其推 论相 比较 这 里的 条件 要强 得多 因 此可 望有一 个比 较简 单 的 不同于定理 9 11 的证明 i b a 6 可积性理论补叙 231 6 可积性理论补叙 一 上和与下和的性质 在 3 第二段里 我们已经引 入了 上和 S T 和 下和 s T 的 概念 即对 于 分割 T a x0 x1 0 在各个 i 上 由于 Mi 是 f x 的上 确界 故可选 取点 i i 使 f i Mi nb a 于是有 n i 1 f i xi i 1 Mi xi b a nn Mi xi xi S T i 1i 1 这就证明了 S T 是全体积分和的上确界 类似地可证 s T 是全体积分和的 下 确界 性质 2 设 T 为分割 T 添加 p 个新分点后所得到的分割 则有 S T S T S T M m p T 2 s T s T s T M m p T 3 232第九章 定 积 分 这个性质指出 增加分点后 上和不增 下和不减 证 这里证明不等式 2 同理可证 3 将 p 个新分点同时添加到 T 和逐个添加到 T 都同样得到 T 所以我们先 证 p 1 的情形 在 T 上添加一个新分点 它必落在 T 的某一小区间 k 内 而且将 k 分 为 两个小区间 记为 k 与 k 但 T 的其他小 区间 i i k 仍旧 是新 分割 T1 所 属的小区间 因此 比较 S T 与 S T1 的各个被 加项 它们 之间 的差别 仅仅 是 S T 中的 Mk xk 一项换成了 S T1 中的 M k x k 与 M k x k 两项 这里 M k 与 M k 分别是 f 在 k 与 k 上的上确界 所以 S T S T1 Mk xk M k x k M k x k Mk x k x k M k x k M k x k Mk M k x k Mk M k x k 由于 m M k 或 M k Mk M 故有 0 S T S T1 M m x k M m x k M m xk M m T 这就证得 p 1 时 2 式成立 一般说来 对 Ti 增加一个分点得到 Ti 1 就有 0 S Ti S Ti 1 M m Ti i 0 1 2 p 1 这里 T0 T Tp T 把这些不等式对 i 依次相加 得到 p 1 0 S T S T M m Ti M m p T i 0 这就证得 2 式成立 性质 3 若 T 与 T 为任意两个分割 T T T 表示把 T 与 T 的所 有 分 点合并而得的分割 注意 重复的分点只取一次 则 S T S T s T s T S T S T s T s T 证 这是因为 T 既可看作 T 添加新 分点 后得到 的分 割 也可看 作 T 添 加 新分点后得到的分割 所以由性质 2 立刻推知此性质成立 性质 4 对任意两个分割 T 与 T 总有 s T S T 证 令 T T T 由性质 1 与性质 3 便有 s T s T S T S T 6 可积性理论补叙 233 这个性质指出 在对 a b 所作的任意两个分割中 一 个分割的 下和总不 大 于另一个分割的上和 因此对所有分割来说 所有下和有上界 所有上和有下界 从而分别存在上确界与下确界 把它们记作 S inf S T s sup s T TT 通常称 S 为 f 在 a b 上的上积分 s 为 f 在 a b 上的下积分 性质 5 m b a s S M b a 这可由性质 4 直接推出 性质 6 达布定理 上 下积分 也是 上和 与下 和在 T 0 时的 极限 即 lim T 0 S T S lim T 0 s T s 证 下面只证第一个极限 任给 0 由 S 的定义 必存在某一分割 T 使得 S T S 2 4 设 T 由 p 个分点所构成 对于任意另一个分割 T 来说 T T 至多比 T 多 p 个 分点 由性质 2 和性质 3 得到 S T M m p T S T T S T 于是有 S T S T M m p T 所以 只要 T 就有 S T S T 联 系 4 式 推 得 2 M m p2 S S T 0 存在 0 只要 T 就有 n i 1 f i xi J m 234第九章 定 积 分 另一方面 由于 S T 与 s T 分别为积分和关于点集 i 的上 下确界 即性 质 1 所以当 T 0 存在 0 当 T 时 满足 n J s T i 1 f i xi S T 0 总存在某一分割 T 使得 n S T s T 即 i xi 0 只要 T 足够小 总存在分割 T 使得 S T s T 充分性 若定理条件得到满足 则由 s T s S S T 可推得 0 S s S T s T 由于 的任意性 必有 S s 故由定理 9 14 证得 f 在 a b 上可积 在 3 证明可积函数类与 4 讨论定积分的性质时 我们已经熟悉了可积第 二充要条件的重要作用 定理 9 16 可积的第 三充 要条 件 函数 f 在 a b 上 可积 的 充要 条 件 是 任给正数 总存 在某一 分割 T