山东省郓城一中2012届高三数学三轮复习专题7 立体几何与向量 理

1 数学专题七数学专题七 立体几何与向量 理科 立体几何与向量 理科 考点精要考点精要 考点一考点一 求棱锥 棱台中的高 斜高 求棱锥 棱台中的高 斜高 在正棱锥 棱台中利用几个直角三角形 高 斜高以及底面边心距组成的直角三角形 高 侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形 等 进行相关的计算 考点二考点二 斜二测画法的相关计算斜二测画法的相关计算 斜二测画法的相关计算 重点考查直观图的定点与 其他关键点 计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上 考点三考点三 三视图及相关面积 体积的计算 三视图及相关面积 体积的计算 三视图及相关面积 体积的计算 注意掌 握三视图之间的规律 正俯长相同 正侧高平齐 俯侧宽相同 考点四考点四 柱体 锥体 台体的侧面积 表面积 体积的运算 柱体 锥体 台体的侧面积 表面积 体积的运算 注意运用割补法 等体 积转化法求解相关体积 考点五考点五 空间中点 线 面的位置关系以及直线 平面平行的判定与性质 空间中点 线 面的位置关系以及直线 平面平行的判定与性质 近几年来 加强了线面之间的距离 异面直线间的夹角 线面平行 线面垂直 面面平行 面面垂直 线线垂直 线面角的考查 考点六考点六 运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标 运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标 巧点妙拨巧点妙拨 1 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化 2 垂直转化 每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的 2 求异面直线的距离 有时较难作出它们的公垂线 故通常采用化归思想 转化为求 线面距 面面距 或由最值法求得 典题对应典题对应 例例 1 1 2009 2009 山东山东 4 4 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 命题意图 命题意图 本题考查了立体几何中的空间想象能力 由三 视图能够想象得到空间的立体图 并能准确地 计算出 几何体的体积 解析 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为2 四棱锥的底面 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 2 边长为2 高为3 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 答案 C 名师坐堂 名师坐堂 解决三视图问题的关键是能将三视图还原回 原几何体 还原过程中注意各种量的变化 尤其是正视图与 侧视图的各个量的变化 本题还原回原几何体后集合体为组 合体 上面是圆锥 下面是圆柱 求体积时采用分割求解即可 例例 2 2 2011 2011 山东山东 1919 在如图所示的几何体中 四边 形ABCD为平行四边形 0 90ACB EA 平面 ABCD EFAB FGBC EGAC 2ABEF 若M是线段AD的中点 求证 GM平面 ABFE 若2ACBCAE 求二面角ABFC 的 大小 命题意图 命题意图 本题考查了立体几何中的线面平行的判定 以及二面 角的判断与求解 解答此题入口较多 学生既可以利用几何法又可以 利用坐标法 借以充分发挥学生的空间想象能力 解析 解析 几何法 证明 EFAB 2ABEF 可知延长BF交AE于点P 而 FGBC EGAC 则PBF 平面 BFGC PAE 平面AEGC 即P 平面BFGC 平面 AEGCGC 于是 BF CG AE三线共点 1 2 FGBC 若M是线段AD的中点 而 ADBC 则 FGAM 四边形AMGF为平行四边形 则 GMAF 又GM 平面ABFE 所以 GM平面ABFE 由EA 平面ABCD 作CHAB 则CH 平面ABFE 作HTBF 连接CT 则CTBF 于是CTH 为二面角ABFC 的平面角 若 2ACBCAE 设1AE 则2ACBC 2 2 2ABCH H为AB的中 点 222 tan 22 2 AEAE FBA ABEFAB 3 sin 3 FBA 俯视图 A B C D E F G M 3 36 sin2 33 HTBHABF 在Rt CHT 中tan3 CH CTH HT 则60CTH 即二面角ABFC 的大小为60 坐标法 证明 由四边形ABCD为平行四边形 0 90ACB EA 平面 ABCD 可得以点A为坐标原点 AC AD AE所在直线分别为 x y z建立直角坐标系 设 AC a ADb AEc 则 0 0 0 A 1 0 0 0 0 0 0 0 2 C aDbMbB ab 由 EGAC可得 EGAC R 1 2 GMGEEAAMabc 由 FGBC可得 FGBCAD R 11 22 GMGFFAAMADBAEAAD 1 1 2 abc 则 1 2 1 2 GMBAEA 而GM 平面ABFE 所以 GM平面ABFE 若2ACBCAE 设1AE 则2ACBC 2 0 0 0 0 1 2 2 0 1 1 1 CEBF 则 0 2 0 BCAD 1 1 1 BF 2 2 0 AB 设 11112222 x y zx y z n n分别为平面ABF与平面CBF的法向 量 则 11 111 220 0 xy xyz 令 1 1x 则 11 1 0yz 1 1 1 0 n 2 222 20 0 y xyz 令 2 1x 则 22 0 1yz 2 1 0 1 n 于是 12 12 12 1 cos 2 n n n n nn 则 12 60 n n 即二面角ABFC 的大小为60 名师坐堂 名师坐堂 1 研究线与面通常是转化成线与线的关系 或利用判定定理或利用向量予 以解决 2 解决二面角的问题时往往要做到一作二证三求 首先应考虑做辅助线 然后证 明某角为二面角的平面角 最后在求解 授之以渔授之以渔 1 立体几何中最重要的最常用的思想方法是化归与转化的思想 由转化思想 可建立 空间中线线 线面 面面位置关系之间的联系 常用的转化方向有 线线平行则线面平 行 面面平行则线线平行 线线垂直则线面垂直 将空闻几何问题转化为平面几何问 题 2 求空间几何体体积常用的方法有直接套用公式法 转换法 分割和补体法等多种方 4 法 转换法一般用于求棱锥的体积 分割法和补体法多用于不规则几何体的体积的求解 3 三视图 图形的展开 折叠 切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优 势 解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点 线 面的对应关系 并分清变化前 后 点 线 面的位置变化 4 利用空间向量解决空间位置关系以及求角和距离等问题时 一是利用向量的分解与 运算 二是利用向量的坐标运算 此时应注意建立适当的坐标系且运算要正确 直击高考直击高考 1 若向量a r 1 1 x b r 1 2 1 c r 1 1 1 满足条件 2 cab rrr 2 则x 2 在三棱柱 111 ABCABC 中 各棱长相等 侧掕垂直于底面 点D是侧面 11 BBC C的中心 则AD与平面 11 BBC C所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 w 3 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则 AB1与侧面 ACC1A1所成角 的正弦等于 A 6 4 B 10 4 C 2 2 D 3 2 4 如图 正方体 1 AC的棱长为1 过点A作平面 1 ABD的垂线 垂足为点H 则以下 命题中 错误的命题是 A 点H是 1 ABD 的垂心 B AH垂直平面 11 CB DH C AH的延长线经过点 1 C D 直线AH和 1 BB所成角为45 5 在正方体上任意选择 4 个顶点 它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点 这些几 何形体是 写出所有正确结论的编号 矩形 不 是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形 有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体 6 如图 已知四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 4 的正方形 S 在底面上的射影 O 落在 正方形 ABCD 内 且 O 到 AB AD 的距离分别为 2 和 1 求证 SCAB 是定值 已知 P 是 SC 的中点 且 SO 3 问在棱 SA 上是否存在一点 Q 使异面直线 OP 与 BQ 所成的角为 90 若存在 请给出证明 并求出 AQ 的长 若不存在 请说明理由 7 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形PA 平面 AD 1 D 1 C 1 A 1 B B H C 5 ABCD AP AB 2 BC 2 2 E F分别是AD PC的中点 证明 PC 平面BEF 求平面BEF与平面BAP夹角的大小 数学专题七数学专题七 立体几何与向量立体几何与向量 直击高考 1 解析 ca 0 0 1 x 2 2 4 2 b 由 2 cab rrr 2 得 0 0 1 2 4 2 2x 即2 1 2x 解得2 x 2 解析 C 取 BC 的中点 E 则AE 面 11 BBC C AEDE 因此AD与平面 11 BBC C所成角即为ADE 设ABa 则 3 2 AEa 2 a DE 即有 0 tan3 60ADEADE 3 解析 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 取 A1C1的中点 D1 连接 BD1 AD1 B1AD1是 AB1与侧面 ACC1A1所成的角 11 3 6 2 sin 42 B AD 选 A 4 解析 因为三棱锥 A 1 ABD是正三棱锥 故顶点 A 在底面的射映是底面中心 A 正确 面 1 ABD 面 11 CB D 而 AH 垂直平面 1 ABD 所以 AH 垂直平面 11 CB D B 正确 根据对称性知 C 正确 选 D 5 解析 在正方体 ABCD A1B1C1D1上任意选择 4 个顶点 它们可能是如下各种几何形 体的 4 个顶点 这些几何形体是 矩形如 ACC1A1 有三个面为等腰直角三角形 有一 个面为等边三角形的四面体 如 A A1BD 每个面都是等边三角形的四面体 如 ACB1D1 每个面都是直角三角形的四面体 如 AA1DC 所以填 6 证明 在 SDC 内 作 SE CD 交 CD 于 E 连结 OE SO 平面 ABCD SO CD CD 平面 SOE CD OE OE AD DE 1 从而 CE 3 12 cos ECDCSCDSCDCSCDCSCAB SCAB 是定值 以 O 为坐标原点 以 OS 所在直线为 Oz 轴 以过 O 且平行于 AD 的直线 为 Ox 轴 以过 O 且平行于 AB 的直线为 Oy 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 于 是 A 2 1 0 B 2 3 0 C 2 3 0 S 0 0 3 2 3 2 3 1 P 设 点 Q x y z 则存在ASAQ 使 这是关键 将点的坐标用一个变量表示 即 3 1 2 1 2 zyx 6 得 3 1 22 3 1 22 z y x z y x 即068 3 4 2 2 3 2 3 1 BQOP 得 4 3 由 14 4 3 4 3 4 9 4 1 2 1 10 ASAQQSAQ上 且在棱知 点 7 解析 如图 以 A 为坐标原点 AB AD AP 所在的直线分别为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 AP AB 2 BC 2 2 四边形ABCD是矩形 A B C D 的坐标为 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 2 0 D 0 2 2 0 P 0 0 2 又 E F 分别是 AD PC 的中点 E 0 2 0 F 1 2 1 PC 2 2 2