2011年考研数学三真题及全面解析

20112011 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上题目要求 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 已知当时 与是等价无穷小 则 0 x 3sinsin3f xxx k cx A k 1 c 4 B k 1 c 4 C k 3 c 4 D k 3 c 4 答案 C 考点 无穷小量的比较 等价无穷小 泰勒公式 难易度 详解 解析 方法一 当时 0 x sin xx 0 3sinsin3 lim k x xx cx 0 3sinsin cos2cos sin2 lim k x xxxxx cx 2 0 sin3cos22cos lim k x xxx cx 2 1 0 3cos22cos lim k x xx cx 22 1 0 32cos12cos lim k x xx cx 22 11 00 44cos4sin limlim kk xx xx cxcx 故选择 C 3 0 4 lim14 3 k x ck cx 方法二 当时 0 x 3 3 sin 3 x xxo x 4 3 3 3 3 3 3sinsin3 33 3 3 3 3 xox xo x xxo x x xxxf 故 选 C 3 4 kc 2 已知函数在 x 0 处可导 且 0 则 f x 0f 23 3 0 2 lim x x f xf x x A 2 B C D 0 0 f 0 f 0 f 答案 B 考点 导数的概念 难易度 详解 解析 233 33 00 20 0 limlim2 xx x fxfxfxf fxf xxx 0200fff 故应选 B 3 设是数列 则下列命题正确的是 n u A 若收敛 则收敛 B 若收敛 则收敛 1 n n u 212 1 nn n uu 212 1 nn n uu 1 n n u C 若收敛 则收敛 D 若收敛 则收敛 1 n n u 212 1 nn n uu 212 1 nn n uu 1 n n u 答案 A 考点 级数的基本性质 难易度 详解 解析 由于级数是级数经过加括号所构成的 由收敛级数的性质 当 212 1 nn n uu 1 n n u 收敛时 也收敛 故 A 正确 1 n n u 212 1 nn n uu 4 设 则的大小关系是 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncotJxdx 4 0 lncosKxdx I J K A B C D IJK IKJ JIK KJI 答案 B 考点 定积分的基本性质 难易度 详解 解析 如图所示 因为时 0 4 x 因此 2 0sincoscot 2 xxx lnsinlncoslncotxxx 故选 B 444 000 lnsinlncoslncotxdxxdxxdx 5 设为 3 阶矩阵 将的第二列加到第一列得矩阵 再交换的第二行与第三行得单位矩AABB 4 阵 记 则 1 100 110 001 P 2 100 001 010 P A A B C D 12 PP 1 12 PP 21 P P 1 21 P P 答案 D 考点 矩阵的初等变换 难易度 详解 解析 由初等矩阵与初等变换的关系知 1 APB 2 P BE 所以 故选 D 1111 12121 ABPPPP P 6 设为矩阵 是非齐次线性方程组的个线性无关的解 为任意A4 3 123 Ax 3 12 k k 常数 则的通解为 Ax A B 23 121 2 k 23 121 2 k C D 23 121231 2 kk 23 121231 2 kk 答案 C 考点 线性方程组解的性质和解的结构 非齐次线性方程组的通解 难易度 详解 解析 为的解 因为线性无关 故线性无关 1213 0 Ax 321 1213 为的解 故的通解为 2 32 Ax Ax 所以应选 C 2 122131 32 kk 7 设 为两个分布函数 其相应的概率密度与是连续函数 则必为概率 1 F x 2 F x 1 f x 2 fx 密度的是 A B 1 f x 2 fx2 2 fx 1 F x C D 1 f x 2 F x 1 f x 2 F x 2 fx 1 F x 答案 D 考点 连续型随机变量概率密度 难易度 详解 解析 1221 f x F xfx F x dx 2112 F x dF xF x dF x 121212 F x F xF x dF xF x dF x 1 故选 D 8 设总体 X 服从参数为的泊松分布 为来自该总体的简单随机 0 12 2 n XXXn 样本 则对于统计量和 有 1 1 1 n i i TX n 1 2 1 11 1 n in i TXX nn A B 1 ET 2 ET 1 DT 2 DT 1 ET 2 ET 1 DT 2 DT C D 1 ET 2 ET 1 DT 2 DT 1 ET 2 ET 1 DT 2 DT 答案 D 考点 随机变量函数的数学期望 随机变量的数学期望的性质 难易度 详解 解析 由于是简单随机样本 12 n XXX 0 ii EXDX 1 2 in 且相互独立 从而 12 n XXX 1 11 111 nn ii ii E TEXEXn E X nnn 11 2 11 1111 11 nn inin ii E TEXXEXE X nnnn 11 1 1 in nE XE X nn 11 1 E XE X nn 故 12 E TE T 又 1 1 2 1 11 n i i D TDn D XD X nn X nn 1 2 22 1 111 1 1 1 n in i D TDXXn nnnn 1 2 1 D T nnn 故选 D 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 设 则 0 lim1 3 x t t fxxt fx 答案 3 1 3 x ex 考点 重要极限公式 难易度 详解 解析 3 1 3 00 lim1 3lim1 3 x t x t tt tt fxxtxt 3x x e 所以有 3 1 3 x fxex 10 设函数 则 1 x y x z y 1 1 dz 答案 12ln2dxdy 考点 多元复合函数的求导法 难易度 详解 解析 两边取对数得 lnln 1 xx z yy 由一阶微分形式不变性 两边求微分得 dy yxyy x y x y x zdx yxy x y x y zdz dy y x y x dx y x y y x dy y x dx yy x y x d y x y x d y x dz z 1ln 1ln 1 11 1 1 1ln 1 ln 1ln 1 2 2 2 2 2 将 代入得1x 1y 2 1 1 z 1 1 12ln2dzdxdy 11 曲线在点处的切线方程为 tan 4 y xye 0 0 答案 2yx 考点 隐函数微分法 难易度 详解 解析 两边对求导得 xyeyyx y 1 4 sec2 所以在点处 0 0 0 2 y 从而得到曲线在点处的切线方程为 0 0 2yx 12 曲线 直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 2 1yx 2x xx 答案 4 3 考点 定积分的应用 难易度 详解 解析 2 22 223 11 1 14 1 33 Vy dxxdxxx 13 设二次型的秩为 1 中各行元素之和为 3 则在正交变换 123 T fx xxx Ax Af 下的标准形为 xQy 答案 2 1 3y 考点 用正交变换化二次型为标准形 难易度 详解 解析 的各行元素之和为 3 即A 11 13 1 11 A 所以是的一个特征值 1 3 A 又因为二次型的秩 T x Ax1 Ar 23 0 因此 二次型的标准形为 2 1 3y 14 设二维随机变量服从正态分布 则 X Y 22 0 N 2 E XY 答案 22 考点 数学期望的性质 相关系数的性质 x 2 y 10 2 1yx 难易度 详解 解析 因为 所以 X Y 22 0 N 2 XN 2 YN 2222 EYDYEYEX 又因为 所以 相互独立 0 XY 由期望的性质有 22 E XYEX EY 22 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说明 证明解答应写出文字说明 证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求极限 0 12sin1 lim ln 1 x xx xx 考点 无穷小量的比较 洛必达法则 难易度 详解 解析 当时 0 x ln 1 xx 0 12sin1 lim ln 1 x xx xx 2 0 12sin1 lim x xx x 2 0 22 22 00 3 2 222 000 12sin 1 12sin 1 lim 12sin 1 12sin 1 2sin2 limlim 22 1 2sin211 6 limlimlim 2222 x xx xxx xxxx xxx xxxxx xx x xxx xxx 16 本题满分 10 分 已知函数具有连续的二阶偏导数 是的极值 f u v 1 12f f u v 求 zf xy f x y 2 1 1 z x y 考点 多元复合函数的求导法 二阶偏导数 多元函数的极值 难易度 详解 解析 zf xy f x y fz 1 2 x y f x y 1212 11 xx z ffffff x 2 111221222 111221222 11 11 yxyxy yxyxy z fffffffff x y fffffffff 为的极值 1 12f f u v 1 11 10 xy ff 2 11211212 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 xy z ffffff x y 17 本题满分 10 分 求不定积分 arcsinlnxxdx x 考点 不定积分的基本性质 不定积分的换元积分法与分部积分法 难易度 详解 解析 arcsinlnarcsinln 22 arcsin2ln 2 xxxx dxdxxx dx xx 2 2 arcsin2ln 2 arcsin2ln 22 1 t xttt dttttdt t 2 2 2 1 2 arcsin2ln 42 arcsin2ln 2 14 1 2 arcsin2ln 2 14 dt tttttttttC t xxxxxC 其中是任意常数 C 18 本题满分 10 分 证明方程恰有两个实根 4 4arctan30 3 xx 考点 闭区间上连续函数的性质 函数单调性的判别 难易度 详解 解析 令 4 4arctan3 3 f xxx 则 2 4 103 1 fxx x 当时 单调递减 3 x 0fx f x 3 3 当时 单调递增 3 3 x 0fx f x 当时 单调递减 3 x 0fx f x 又因为 4 3 4arctan 3 3 30 3 f 是函数在上唯一的零点 3x f x 3 又因为 48 3 4arctan3332 30 33 f 且 4 limlim4arctan3 3 xx f xxx 由零点定理可知 使 0 3 x 0 0f x 方程恰有两个实根 4 4arctan30 3 xx 19 本题满分 10 分 设函数在区间具有连续导数 且满足 f x 0 1 0 1f 求的表达 tt DD fxy dxdyf t dxdy 0 0 01 t Dx yytxxtt f x 式 考点 二重积分的计算 一阶线性微分方程 难易度 详解 解析 因为 0000 t tt xtt x D fxy dxdydxfxy dydxfxy d yx 00 000 ttt y t xx t yx f xydxf tf x dxf t xf x dx 0 t tf tf x dx 2 1 2 tt DD f t dxdyf tdxdyt f t 2 0 1 2 t tf tf x dxt f t 两边对 求导 得 t 2 0 2 f tf t t 解齐次方程得 2 1 2 2 dt t C f tCe t 由 得 所以函数表达式为 0 1f 4C 2 4 01 2 f xx x 20 本题满分 11 分 设向量组 不能由向量组 1 1 0 1 T 2 0 1 1 T 3 1 3 5 T 1 1 1 1 T 线性表出 2 1 2 3 T 3 3 4 T a I 求的值 a II 将 用 线性表出 1 2 3 1 2 3 考点 向量组的线性相关与线性无关 矩阵的初等变换 难易度 详解 解析 I 因为 所以线性无关 123 101 01310 115 123 又因为不能由线性表示 所以 123 123 123 3r 所以 123 113113 12401150 13023 a aa 所以5a II 123123 101113 013124 115135 101113 013124 014022 101113 013124 001102 100215 0104210 001102 故 1123 24 212 2 3123 5102 21 本题满分 11 分 为 3 阶实对称矩阵 的秩为 2 且AA 1111 0000 1111 A I 求的所有特征值与特征向量 A II 求矩阵 A 考点 矩阵的秩 矩阵的特征值和特征向量的概念 性质 实对称矩阵的特征值和特征向量 难易度 详解 解析 I 因为 1111 0000 1111 A 所以 11 00 11 A 111 000 111 A 所以是的特征值 是对应的特征向量 1 1 A 1 1 0 1 T 是的特征值 是对应的特征向量 2 1 A 2 1 0 1 T 因知 所以是的特征值 2r A 0A 3 0 A 设是属于特征值的特征向量 3123 Tx x x A 3 0 因为为实对称矩阵 A 所以不同特征值对应的特征向量相互正交 即 解得 1313 2313 0 0 T T xx xx 3 0 1 0 T 故矩阵的特征值为 特征向量依次为 其中A1 1 0 123 1 0 1 1 0 1 0 1 0 TTT kkk 均是不为 0 的任意常数 123 k k k II 将单位化得 321 1 0 1 2 1 1 1 0 1 2 1 2 0 1 0 3 令 则 0 2 1 2 1 100 0 2 1 2 1 321 Q 0 1 1 AQQT 所以 1001 1000 0100 T AQQ 22 本题满分 11 分 设随机变量与的概率分布分别为XY X01 P1 32 3 Y1 01 P1 31 31 3 且 22 1P XY I 求二维随机变量的概率分布 X Y II 求的概率分布 ZXY III 求与的相关系数 XY XY 考点 二维离散型随机变量的概率分布 边缘分布 两个随机变量简单函数的分布 相关系数 难易度 解析 I 因为 所以 22 1