2014江苏省高考数学模拟题(压题卷)苏教版

江苏省江苏省 20142014 高考数学模拟题高考数学模拟题 压题卷压题卷 一 填空题一 填空题 1 已知函数的最大值为 M 最小值为 m 则的值为 31 xxy m M 2 2 已知函数在区间 2 4 上是增函数 则实数的取值范围是 log 2 xaxy a a 1 3 已知点 O 为 ABC 的外心 且 则的值等于 6 4AC 2AB AO BC 4 已知 是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量满足a b c 则的最大值是 0 cbca c 2 5 若 则对任意 使的概率为 43 2 xxxf 6 3 x 6 3 0 x0 0 xf 9 5 6 已知 函数的最小值是 8 2 n x xx 22 cos 4 sin 1 7 当 x 1 3 时 不等式 x2 mx 4 0 恒成立 则 m 的取值范围是 5 8 已知 F1 F2分别是椭圆 的左 右焦点 以原点 O 为1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 圆心 OF1为半径的圆与椭圆在 y 轴左侧交于 A B 两点 若 F2AB 是等边 三角形 则椭圆的离心率等于 13 二 三角 立几 概率题二 三角 立几 概率题 1 已知在 已知在 ABC 中 中 a b c 分别为角分别为角 A B C 所对的边 向量所对的边 向量 cos sin mAA cos sin nBB 3sincosm nBC 1 求角求角 A 的大小 的大小 2 若若 a 3 求 求 ABC 面积的最大值 面积的最大值 解 解 1 coscossinsinm nABAB 又 3sincos m nBAB 3sincoscossinsinBABAB 3sin2sinsinBBA 3 sin 2 A 或 3 A 2 3 A 2 222 2cosabcbcA 当时 3 A 22 9bcbcbc 139 3 sin 244 sbcAbc 当时 故 2 3 A 22 93bcbcbc 3bc 13 3 sin 24 SbcA 2 如图 四边形 如图 四边形 ABCD 为矩形 为矩形 BC 平面平面 ABE F 为为 CE 上的上的 点 且点 且 BF 平面平面 ACE 1 求证 求证 AE BE 2 设点设点 M 为线段为线段 AB 的中点 点的中点 点 N 为线段为线段 CE 的中点 求证 的中点 求证 MN 平面平面 DAE 解 解 1 因为 BC平面 ABE AE平面 ABE 所以 AEBC 又 BF平面 ACE AE平面 ACE 所以 AEBF 又 BFBC B 所以 AE平面 BCE 又 BE平面 BCE 所以 AEBE 2 如图所示 取 DE 的中点 P 连结 PA PN 因为点 N 为线段 CE 的中点 所以 PN DC 且 1 2 PNDC 又四边形 ABCD 是矩形 点 M 为线段 AB 的中点 所以 AM DC 且 1 2 AMDC 所以 PN AM 且 PN AM 故 AMNP 是平行四边形 所以 MN AP 而 AP平面 DAE MN平面 DAE 所以 MN 平面 DAE 3 从一副扑克牌的红桃花色中取 从一副扑克牌的红桃花色中取 5 张牌 点数分别为张牌 点数分别为 1 2 3 4 5 甲 甲 乙两人玩一种游戏 甲先取一张牌 记下点数 放回后乙再取一张牌 记下点乙两人玩一种游戏 甲先取一张牌 记下点数 放回后乙再取一张牌 记下点 数 数 如果两个点数的和为偶数就算甲胜 否则算乙胜 如果两个点数的和为偶数就算甲胜 否则算乙胜 1 求甲胜且点数的和为求甲胜且点数的和为 6 的事件发生的概率 的事件发生的概率 2 这种游戏规则公平吗 说明理由 这种游戏规则公平吗 说明理由 解 解 1 设 甲胜且点数的和为 6 为事件 A 甲的点数为 x 乙的点数为 y 则 x y 表示一个基本事件 两人取牌结果包括 1 1 1 2 1 5 2 1 2 2 5 4 5 5 共 25 个基本事件 A 包含的基本事件有 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 共 5 个 所以 P A 5 25 1 5 所以 编号之和为 6 且甲胜的概率为 1 5 2 这种游戏不公平 设 甲胜 为事件 B 乙胜 为事件 C 甲胜即两个点数的和为偶数 所包 含基本事件数为以下 13 个 1 1 1 3 1 5 2 2 2 4 3 1 3 3 3 5 4 2 4 4 5 1 5 3 5 5 所以甲胜的概率为 P B 乙胜的概率为 P C 1 13 25 13 25 12 25 P B P C 这种游戏规则不公平 三 解析几何题三 解析几何题 1 已知过点 已知过点的动直线的动直线 与圆与圆相交于相交于两点 两点 是是 1 0 A l 22 3 4C xy P QM 中点 中点 与直线与直线相交于相交于 PQl 360m xy N 1 求证 当求证 当 与与垂直时 垂直时 必过圆心必过圆心 lmlC 2 当当时 求直线时 求直线 的方程的方程 2 3PQ l 3 探索探索是否与直线是否与直线 的倾斜角有关的倾斜角有关 若无关 请若无关 请AMAN l 求出其值 若有关 请说明理由 求出其值 若有关 请说明理由 解 解 1 与垂直 且l m 1 1 3 3 m kk 故直线 方程为即l3 1 yx 330 xy 圆心坐标 0 3 满足直线 方程 l 当 与垂直时 必过圆心 lmlC 2 当直线 与轴垂直时 易知符合题意 lx1x 当直线 与轴不垂直时 设直线 的方程为即 lxl 1 yk x 0kxyk 则由 得 2 3 431PQCM 2 3 1 1 k CM k 4 3 k 直线 4340 lxy 故直线 的方程为或l1x 4340 xy 3 CMMNAM ANACCMANAC ANCM ANAC AN 当 与轴垂直时 易得 则又 lx 5 1 3 N 5 0 3 AN 1 3 AC 5AM ANAC AN 当 的斜率存在时 设直线 的方程为ll 1 yk x 则由得 则 1 360 yk x xy 365 1 31 3 kk N kk 55 1 31 3 k AN kk 515 5 1 31 3 k AM ANAC AN kk 综上所述 与直线 的斜率无关 且 AM AN l5AM AN 2 已知 已知 A B 是椭圆是椭圆的左 右顶点 直线的左 右顶点 直线交椭圆于交椭圆于 2 2 1 4 x y 22 xtt M N 两点 经过两点 经过 A M N 的圆的圆心为的圆的圆心为 经过 经过 B M N 的圆的圆心为的圆的圆心为 1 C 2 C 1 求证求证为定值 为定值 12 C C 2 求圆求圆与圆与圆的面积之和的取值范围 的面积之和的取值范围 1 C 2 C 解 解 1 由题设 A 2 0 B 2 0 由解出 2 2 1 4 xt x y 22 1 1 44 tt M tN t 设 由解出 1122 0 0 C xCx 2 2 11 2 1 4 t xtx 1 3 2 8 t x 同理 解出 定值 2 22 2 1 4 t xxt 2 3 2 8 t x 1221 3 2 C Cxx 2 两圆半径分别为及 1 310 2 8 t x 2 103 2 8 t x 两圆面积和 222 310 103 9100 6432 Sttt 所以 S 的取值范围是 257 84 3 已知圆 已知圆 定点 定点动圆过点动圆过点 且与圆 且与圆相内切 相内切 22 1 1 16Fxy 2 1 0 F 2 F 1 F 1 求点求点 M 的轨迹的轨迹 C 的方程 的方程 2 若过原点的直线若过原点的直线 与 与 1 中的曲线 中的曲线 C 交于交于 A B 两点 且两点 且的面积为的面积为l 1 ABF 3 2 求直线求直线的方程 的方程 l 解 解 1 设圆 M 的半径为 r 因为圆与圆内切 所以 M 1 F 2 MFr 所以 即 12 4MFMF 12 4MFMF 所以点 M 的轨迹 C 是以为焦点的椭圆 12 F F 设椭圆方程为 其中 所以 22 22 1 0 xy ab ab 24 1ac 2 3ab 所以曲线的方程 C 22 1 43 xy 2 因为直线过椭圆的中心 由椭圆的对称性可知 l 11 2 ABFAOF SS 因为 所以 1 3 2 ABF S 1 3 4 AOF S 不妨设点在轴上方 则 所以 11 A x yx 1 11 13 24 AOF SOF y 11 3 3 2 yx 即 A 点的坐标为或 3 3 2 3 3 2 所以直线 的斜率为 故所求直线方程为 l 1 2 20 xy 4 已知圆 已知圆 C 的圆心在抛物线的圆心在抛物线上运动 且圆上运动 且圆 C 过过点 若点 若 2 2 0 xpy p 0 Ap MN 为圆为圆 C 在在轴上截得的弦轴上截得的弦 x 1 求弦长求弦长 MN 2 设设 求 求的取值范围 的取值范围 12 AMl ANl 12 21 ll ll 解 解 1 设 则圆 C 的方程为 00 C xy 2222 0000 xxyyxyp 令 并由 得 0y 2 00 2xpy 222 00 20 xx xxp 解得从而 1020 xxp xxp 21 2MNxxp 2 设 MAN 因为 2 12 11 sin 22 MAN Sl lOA MNp 所以 因为 l12 l22 2 l1 l2cos 4p2 2 1 2 2 sin p l l 所以 l12 l22 tan 1 1 4cos sin 4 4 2 2 2 p p p 所以 2 22 1212 2 211 2 1 4 1 sin tan 2 sincos 2 2sin 45 2 p llll lll lp 因为 所以当且仅当时 原式有最大值 当且仅当 0 090 45 2 2 时 原式有最小值为 2 从而的取值范围为 90 12 21 ll ll 2 2 2 四 导数题四 导数题 1 汶川大地震后 为了消除某堰塞湖可能造成的危险 救授指汶川大地震后 为了消除某堰塞湖可能造成的危险 救授指 挥部商定 给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽挥部商定 给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽 如图所示 进行引流 已知等腰梯形的下底与腰的长度都为 如图所示 进行引流 已知等腰梯形的下底与腰的长度都为 且水槽的单 且水槽的单a 位时间内的最大流量与横载面的面积为正比 比例系数位时间内的最大流量与横载面的面积为正比 比例系数 0k 1 试将水槽的最大流量表示成关于试将水槽的最大流量表示成关于的函数的函数 f 2 为确保人民的生命财产安全 请你设计一个方案 使单位时间内水槽的流为确保人民的生命财产安全 请你设计一个方案 使单位时间内水槽的流 量最大 即当量最大 即当为多大时 单位时间内水槽的流量最大 为多大时 单位时间内水槽的流量最大 解 解 1 设水槽的横截面面积为 s 则 2 1 2 cos sinsin 1 cos 2 saaaaa 所以 2 sin 1 cos 0 2 fksa k 2 因为 22 2coscos1 fa k 令 则 0f 2 2coscos10 解得或 1 cos 2 cos1 由知 所以0 2 cos1 1 cos 23 当时 即在上递增 0 3 0f f 0 3 当时 即在上递减 32 0f f 3 2 所以当时 水槽的流量最大 3 即设计成的等腰梯形引水槽 可使单位时间内水槽的流量最大 3 2 某直角走廊的示意图如图所示 其两边走廊的宽度均为 某直角走廊的示意图如图所示 其两边走廊的宽度均为 2m 1 过点过点的一条直线与走廊的外侧两边交于的一条直线与走廊的外侧两边交于两点 且与走两点 且与走p A B 廊的一边的夹角为廊的一边的夹角为 将线段 将线段的长度的长度 表示为表示为的函的函 0 2 ABl 数 数 2 一根长度为一根长度为 5m 的铁棒能否水平 铁棒与地面平行 通过该直角走廊 请的铁棒能否水平 铁棒与地面平行 通过该直角走廊 请 说明理由 铁棒的粗细忽略不计 说明理由 铁棒的粗细忽略不计 解 解 1 根据图得 22 0 sincos2 lBPAP 2 解法解法 1 铁棒能水平通过该直角直廊 理由如下 22 sincos l 22 0 sin2 cos0 cos2 sin sincos 22 22 2 sincos sincos 令得 0l 4 当时 为减函数 0 4 0 ll 当时 为增函数 42 0 ll 所以当时 有最小值 4 l 4 2 因为 所以铁棒能水平通过该直角走廊 4 25 解法解法 2 铁棒能水平通过该直角走廊 理由如下 22 22 2 sincos 4 12sincos sincossincos l 2 2 481 4 1 4 sincos sincossincos 2 2 4 1 4 sin2 因为 所以 所以当时 有最小值 2 0 2 2 0 2 24 2 sin2 所以有最小值 32 有最小值 2 l l 4 2 因为 所以铁棒能水平通过该直角走廊 4 25 3 已知函数 已知函数 且 且 2 4 2 lnf xxxax Ra 0a 1 当当时 求函数时 求函数的单调区间 的单调区间 18a f x 2 求函数求函数在区间在区间上的最小值 上的最小值 f x 2 e e 解 解 1 当时 18a 2 416ln 0 f xxxx x 162 2 4 24 xx fxx xx 由 解得或 0fx 4x 20 x 注意到 所以函数的单调递增区间是0 x f x 4 由 解得或 0fx 04x 2x 注意到 所以函数的单调递减区间是0 x f x 0 4 综上所述 函数的单调递增区间是 单调递减区间是 f x 4 0 4 2 当时 2 e e x 2 4 2 ln f xxxax 2 2242 24 axxa fxx xx 设 2 242g xxxa 当时 有 此时恒成立 0a 164 2 2 80aa 0g x 所以在上单调递增 所以 0 fxf x 2 e e 2 min e e4e2 f xfa 当时 0a 164 2 2 80aa 令 即 解得或 0fx 2 2420 xxa 2 1 2 a x 2 1 2 a x 令 即 解得 0fx 2 2420 xxa 22 11 22 aa x 当即时在区间上单调递减 2 2 1e 2 a 22 2 e1 a f x 2 e e 所以 242 min e e4e42f xfa 当 即时 在区间上 2 2 e1e 2 a 222 2 e 1 2 e1 a f x 2 e 1 2 a 单调递减 在区间上单调递增 2 2 1 e 2 a 所以 min 22 1 23 2 ln 1 222 aaa f xfaa 当 即时 在区间上单调递增 所以 2 1e 2 a 2 02 e 1 a f x 2 e e 2 min e e4e2 f xfa 综上所述 当时 22 2 e1 a 42 min e4e42f xa 当时 222 2 e 1 2 e1 a min 2 23 2 ln 1 22 aa f xaa 当或时 0a 2 02 e 1 a 2 min e4e2 f xa 4 函数 函数 3 3f xxx 1 求函数求函数的极值 的极值 f x 2 已知已知在在上是增函数 求上是增函数 求 的取值范围 的取值范围 f x 2 t t t 3 在在上最大值上最大值与最小值与最小值之差之差为为 求 求的最小的最小 f x 2 t t MmMm g t g t 值 值 解 解 1 令 2 33fxx 0fx 1x x 1 1 1 1 1 1 fx 0 0 f x 2 2 所以 极大 f x 1 2f 极小 f x 1 2 f 2 在上是增函数 必须有或 f x 2 t t 21t 1t 所以 的取值范围是 3 1 t 3 当时 3t mf t 2 Mf t 2 6122g tMmtt 令 2 f tf t 2 61220tt 6 1 3 t 当时 6 31 3 t mf t 2M 3 32g ttt 当时 6 11 3 t 2 mf t 2M 32 69g tttt 当 6 11 3 t 2m Mf t 3 32g ttt 当时 6 11 3 t 2m 2 Mf t 32 694g tttt 当时 1t mf t 2 Mf t 2 6122g ttt 2 3 32 3 32 2 6122 3 6 32 31 3 6 69 11 3 6 32 11 3 6 694 11 3 6122 1 ttt ttt tttt g t ttt tttt ttt 最小值为 g t 662 6 1 1 2 339 gg 五 数列题五 数列题 1 已知等差数列 已知等差数列 AN 的首项为的首项为 a 公差为 公差为 b 等比数列 等比数列 BN 的首项为的首项为 b 公比 公比 为为 a 其中 其中 a b 都是大于都是大于 1 的正整数 且的正整数 且 a1 b1 b23 时 关于 x 的方程的解集为或 f xm 2 8 log 2 a mm x x 3 logax m 4 已知函数 已知函数R 且 且 12 3 f xaxg xbxcxa b 1 1 0 2 ggf 1 试求试求所满足的关系式 所满足的关系式 b c 2 若若 方程 方程在在有唯一解 求有唯一解 求的取值范围 的取值范围 0b f xg x 0 a 3 若若 集合 集合 试求集合 试求集合 A 1b 0Ax f xg x g x 解解 1 由 得 1 1 0 2 ggf 24 3bcbc 所满足的关系式为 b c 10bc 2 由 可得 0 10bbc 1c 方程 即 可化为 令 则由题意 f xg x 2 3axx 13 3axx 1 xt 可得 在上有唯一解 3 3att 0 令 由 可得 3 3 0 h ttt t 2 330h tt 1t 当时 由 可知是增函数 01t 0h t h t 当时 由 可知是减函数 故当时 取极大值 2 1t 0h t h t1t h t 由函数的图象可在 当或时 方程有且仅有一个正实 h t2a 0a f xg x 数解 故所求的取值范围为或 a 2a a 0a 3 由 可得 1 10bbc 0c 且且且 Ax f xg x 1 0 3g xx ax x 2 0 310 xx axx 0 x 当时 0a 394 0 2 a A a 当时 0a 1 0 3 A 当时 9 4 a 940 0 aA 当时 且 9 4 a 0Ax x 2 3 x 当时 9 0 4 a 394394 0 22 aa A aa 5 已知 已知 1 0 0 f xA xBx AB 1 求求的定义域 的定义域 f x 2 求求的最大值和最小值 的最大值和最小值 f x 3 若若 如何由 如何由 2 的结论求的结论求 g x 的最大值和的最大值和 11 0 g xmxnx mn 最小值 最小值 解 解 1 的定义域为 0 1 f x 2 22 2222 1 AB f xABxx ABAB 设 22 cos cos 0 2 A x AB 22 sin 1sin B x AB 则 22 cos f xAB 当时 此时最大值为 2 22 0 1 A x AB f x 22 AB 又在递增 在递减 cos 2 22 0 A AB 2 22 1 A AB 的最小值是与的较小者 即 A 与 B 的较小者 f x 0 f 1 f 3 设 111 xt nmm 1 1 0 1 xt m n 则 1111 1 g xk tmtnt nmnm 由 2 知 g x 的最大值为 1111 mn mn nmnmnm 最小值为和的较小者 即 11 m nm 11 n nm 1 n m 6 已知 已知当点当点在在的图象上运动时 点的图象上运动时 点在函在函 2 log f xx M x y yf x N x ny 数数的图象上运动的图象上运动 n ygx n N 1 求求的解析式的解析式 n ygx 2 求集合求集合关于关于的方程的方程有实根 有实根 Aa x 12 2 g xgxa Ra 3 设设 函数 函数的值域为的值域为 1 2 n gx n Hx 11 0 F xH xg xaxb 1 3 2 求证 求证 1 2 2 ab 解 解 1 由条件知 又 n yf x nygx 22 log log n f xxgxnx 2 方程即 12 2 g xgxa 2xxa 求集合就是求方程有实根时的范围 A2xxa a 而 2 199 2 2 244 axxx 时原方程总有实根 9 4 a 9 4 A 3 2 log 2 111 log 0 2 nx n n HxF xxaxb xx 又在上递减 2 11 0 ln2 F xF x xx a b 即 3 1 2 F a F b 2 2 1 3log 11 log 2 a a b b 由与的图象只有唯一交点知 方程只有唯一解 1 yt x 2 logyx 2 1 logtx x 经检验是方程组 的唯一解 故得证 1 2 2 a b 七 理科附加题七 理科附加题 1 如图 在四棱锥 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面中 底面 ABCD 是矩形 是矩形 PD平面平面 ABCD 且且 PD AD 1 AB 2 点 点 E 是是 AB 上一点 上一点 AE 等于何值时 二面角等于何值时 二面角 P EC D 的平的平 面角为面角为 4 解 解 以 D 为原点 射线 DA DC DP 为 x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系 则 P 0 0 1 C 0 2 0 设 E 1 y0 0 则 0 1 2 0 ECy 设平面 PEC 的法向量为 1 nx y z 解之得 10 1 0 2 0 20 0 n ECxyy yz n PC 0 2 1 2x y zy 记 而平面 ECD 的法向量 10 2 1 2 ny 2 0 0 1 n 二面角 P EC D 的平面角 12 4 n n 12 222 12 0 2 cos 2 12 1 n n n n y 2 2 0 23yAE 当时 二面角 P EC D 的平面角为 23AE 4 2 若随机事