2017中考数学全国试题汇编------圆(含详细解析)

2017 中考数学全国试题汇编中考数学全国试题汇编 圆圆 24 2017 北京 如图 AB是O 的一条弦 E是AB的中点 过点E作ECOA 于点C 过点 B作O 的切线交CE的延长线于点D 1 求证 DBDE 2 若12 5ABBD 求O 的半径 解析 试题分析 1 由切线性质及等量代换推出 4 5 再利用等角对等边可得出结论 2 由已知条件 得出 sin DEF 和 sin AOE 的值 利用对应角的三角函数值相等推出结论 试题解析 1 证明 DC OA 1 3 90 BD 为切线 OB BD 2 5 90 OA OB 1 2 3 4 4 5 在 DEB 中 4 5 DE DB 考点 圆的性质 切线定理 三角形相似 三角函数 27 2017 甘肃白银 如图 是的直径 轴 ANM NBx 交于点 ABM C 1 若点 求点的坐标 0 0 6 0 2 30ANABN B 2 若为线段的中点 求证 直线是的切线 DNBCDM 解 1 A 的坐标为 0 6 N 0 2 AN 4 1 分 ABN 30 ANB 90 AB 2AN 8 2 分 由勾股定理可知 NB 4 3 B 2 3 分4 3 2 连接 MC NC 4 分 AN 是 M 的直径 ACN 90 NCB 90 5 分 在 Rt NCB 中 D 为 NB 的中点 CD NB ND 1 2 CND NCD 6 分 MC MN MCN MNC MNC CND 90 MCN NCD 90 7 分 即 MC CD 直线 CD 是 M 的切线 8 分 25 2017 广东广州 如图 14 AB是O 的直径 2ACBC AB 连接AC 1 求证 0 45CAB 2 若直线l为O 的切线 C是切点 在直线l上取一点D 使 BDAB BD 所在的直线与AC所 在的直线相交于点E 连接AD 试探究AE与AD之间的数量关系 并证明你的结论 EB CD 是否为定值 若是 请求出这个定值 若不是 请说明理由 解析 试题分析 1 直径所对的圆周角是圆心角的一半 等弧所对的圆周角是圆心角的一半 2 等角对等边 2 如图所示 作BFl 于 F 由 1 可得 ACB 为等腰直角三角形 O 是AB 的中点 COAOBO ACB 为等腰直角三角形 又l 是O 的切线 OClBFl 四边形OBEC 为矩形 22ABBFBDBF 303075BDFDBABDABAD 15901575CBECEBDEA ADEAEDADAE 当ABD 为钝角时 如图所示 同样 1 30 2 BFBDBDC 180150 150901515 2 ABDAEBCBEADB AEAD 3 当 D 在 C 左侧时 由 2 知 CDAB 30ACDBAEDACEBA 1 2 ACCD CADBAE ABAE 2 15AECDBABDBADBDA 30IBE 在Rt IBE 中 2 2222 2 BEEIAEAECD 2 BE CD 当 D 在 C 右侧时 过 E 作EIAB 于I 在Rt IBE 中 2 2222 2 BEEIAEAECD 2 BE CD 考点 圆的相关知识的综合运用 25 2017 贵州六盘水 如图 是的直径 点在上 为的 MNO 4MN AO 30AMN B AN 中点 是直径上一动点 PMN 1 利用尺规作图 确定当最小时点的位置 PAPB P 2 不写作法 但要保留作图痕迹 2 求的最小值 PAPB 考点 圆 最短路线问题 分析 1 画出 A 点关于 MN 的称点 连接B 就可以得到 P 点 A A 2 利用得 AON 60 又为弧 AN 的中点 BON 30 所以 ON 90 再 30AMN ON A B A 求最小值 22 解答 解 20 2017 湖北黄冈 已知 如图 MN 为 O 的直径 ME 是 O 的弦 MD 垂直于过点 E 的直线 DE 垂足为点 D 且 ME 平分 DMN 求证 1 DE 是 O 的切线 2 ME2 MD MN 考点 S9 相似三角形的判定与性质 ME 切线的判定与性质 分析 1 求出 OE DM 求出 OE DE 根据切线的判定得出即可 2 连接 EN 求出 MDE MEN 求出 MDE MEN 根据相似三角形的判定得出即可 解答 证明 1 ME 平分 DMN OME DME OM OE OME OEM DME OEM OE DM DM DE OE DE OE 过 O DE 是 O 的切线 2 连接 EN DM DE MN 为 O 的半径 MDE MEN 90 NME DME MDE MEN ME2 MD MN 23 2017 湖北十堰 已知 AB 为半 O 的直径 BC AB 于 B 且 BC AB D 为半 O 上的一点 连接 BD 并延长交半 O 的切线 AE 于 E 1 如图 1 若 CD CB 求证 CD 是 O 的切线 2 如图 2 若 F 点在 OB 上 且 CD DF 求的值 AE AF 1 证明 略 此问简单 2 连接 AD DF DC 1 BDF 90 AB 是 O 的直径 2 BDF 90 图 1 E D C A O B 图 2 D F C A O B E 4 3 2 1 F O E D C B A 3 EAD 90 E EAD 90 3 E 又 ADE ADB 90 ADE ABD AEAD ABBD AEAF ABBC 1 AEAB AFBC 1 2 又 3 ABD 90 4 ABD 90 3 4 ADF BCD AFAD BCBD 21 2017 湖北武汉 如图 ABC 内接于 O AB AC CO 的延长线交 AB 于点 D 1 求证 AO 平分 BAC 2 若 BC 6 sin BAC 求 AC和 CD 的长 5 3 答案 1 证明见解析 2 3 10 90 13 2 过点 C 作 CE AB 于 E sin BAC 3 5 设 AC 5m 则 CE 3m AE 4m BE m 在 Rt CBE 中 m2 3m 2 36 m 3 10 5 AC 3 10 延长 AO 交 BC 于点 H 则 AH BC 且 BH CH 3 考点 1 全等三角形的判定与性质 2 解直角三角形 3 平行线分线段成比例 21 2017 湖北咸宁 如图 在中 以为直径的 与边分别交于ABC ACAB ABOACBC 两点 过点作 垂足为点 ED DACDF F 求证 是 的切线 DFO 若 求的长 5 2 cos 4 AAEDF 考点 ME 切线的判定与性质 KH 等腰三角形的性质 T7 解直角三角形 分析 1 证明 如图 连接 OD 作 OG AC 于点 G 推出 ODB C 然后根据 DF AC DFC 90 推出 ODF DFC 90 即可推出 DF 是 O 的切线 2 首先判断出 AG AE 2 然后判断出四边形 OGFD 为矩形 即可求出 DF 的值是多少 解答 1 证明 如图 连接 OD 作 OG AC 于点 G OB OD ODB B 又 AB AC C B ODB C DF AC DFC 90 ODF DFC 90 DF 是 O 的切线 2 解 AG AE 2 cosA OA 5 OG ODF DFG OGF 90 四边形 OGFD 为矩形 DF OG 23 2017 湖北孝感 如图 的直径 O 10 AB 弦的平分线交于 过点作6 ACACB O DD 交延长线于点 连接DEAB CAE AD BD 1 由 围成的曲边三角形的面积是 ABBD AD 2 求证 是的切线 3 求线段的长 DEO DE 分析 1 连接 OD 由 AB 是直径知 ACB 90 结合 CD 平分 ACB 知 ABD ACD ACB 45 从而知 AOD 90 根据曲边三角形的面积 S扇形 AOD S BOD可得答案 2 由 AOD 90 即 OD AB 根据 DE AB 可得 OD DE 即可得证 3 勾股定理求得 BC 8 作 AF DE 知四边形 AODF 是正方形 即可得 DF 5 由 EAF 90 CAB ABC 知 tan EAF tan CBA 即 求得 EF 的长即可得 解答 解 1 如图 连接 OD AB 是直径 且 AB 10 ACB 90 AO BO DO 5 CD 平分 ACB ABD ACD ACB 45 AOD 90 则曲边三角形的面积是 S扇形 AOD S BOD 5 5 故答案为 2 由 1 知 AOD 90 即 OD AB DE AB OD DE DE 是 O 的切线 3 AB 10 AC 6 BC 8 过点 A 作 AF DE 于点 F 则四边形 AODF 是正方形 AF OD FD 5 EAF 90 CAB ABC tan EAF tan CBA 即 DE DF EF 5 点评 本题主要考查切线的判定 圆周角定理 正方形的判定与性质及正切函数的定义 熟练掌 握圆周角定理 切线的判定及三角函数的定义是解题的关键 25 2017 湖北荆州 如图在平面直角坐标系中 直线 y x 3 与 x 轴 y 轴分别交于 A B 两点 点 P Q 同时从点 A 出发 运动时间为 t 秒 其中点 P 沿射线 AB 运动 速度为每秒 4 个单位长度 点 Q 沿射线 AO 运动 速度为每秒 5 个单位长度 以点 Q 为圆心 PQ 长为半径作 Q 1 求证 直线 AB 是 Q 的切线 2 过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C m 0 作直线 AB 的垂线 CM 垂足为 M 若 CM 与 Q 相切于点 D 求 m 与 t 的函数关系式 不需写出自变量的取值范围 3 在 2 的条件下 是否存在点 C 直线 AB CM y 轴与 Q 同时相切 若存在 请直接写出 此时点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 FI 一次函数综合题 分析 1 只要证明 PAQ BAO 即可推出 APQ AOB 90 推出 QP AB 推出 AB 是 O 的切线 2 分两种情形求解即可 如图 2 中 当直线 CM 在 O 的左侧与 Q 相切时 设切点为 D 则 四边形 PQDM 是正方形 如图 3 中 当直线 CM 在 O 的右侧与 Q 相切时 设切点为 D 则四 边形 PQDM 是正方形 分别列出方程即可解决问题 3 分两种情形讨论即可 一共有四个点满足条件 解答 1 证明 如图 1 中 连接 QP 在 Rt AOB 中 OA 4 OB 3 AB 5 AP 4t AQ 5t PAQ BAO PAQ BAO APQ AOB 90 QP AB AB 是 O 的切线 2 解 如图 2 中 当直线 CM 在 O 的左侧与 Q 相切时 设切点为 D 则四边形 PQDM 是正方形 易知 PQ DQ 3t CQ 3t OC CQ AQ 4 m t 5t 4 m 4 t 如图 3 中 当直线 CM 在 O 的右侧与 Q 相切时 设切点为 D 则四边形 PQDM 是正方形 OC AQ CQ 4 m 5t t 4 m 4 t 3 解 存在 理由如下 如图 4 中 当 Q 在 y 则的右侧与 y 轴相切时 3t 5t 4 t 由 2 可知 m 或 如图 5 中 当 Q 在 y 则的左侧与 y 轴相切时 5t 3t 4 t 2 由 2 可知 m 或 综上所述 满足条件的点 C 的坐标为 0 或 0 或 0 或 0 22 2017 湖北鄂州 如图 已知 BF 是 O 的直径 A 为 O 上 异于 B F 一点 O 的切线 MA 与 FB 的延长线交于点 M P 为 AM 上一点 PB 的延长线交 O 于点 C D 为 BC 上一点且 PA PD AD 的延长线交 O 于点 E 1 求证 BE CE 2 若 ED EA 的长是一元二次方程 x2 5x 5 0 的两根 求 BE 的长 3 若 MA 6 求 AB 的长 2 1 sin 3 AMF 1 PA PD PAD PDA BAD PAB DBE E O 的切线 MA PAB DBE BAD CBE BE CE 2 ED EA 的长是一元二次方程 x2 5x 5 0 的两根 ED EA 5 BAD CBE E E BDE ABE BE2 ED EA 5 BE 5 21 2017 湖北黄石 如图 O 是 ABC 的外接圆 BC 为 O 的直径 点 E 为 ABC 的内心 连 接 AE 并延长交 O 于 D 点 连接 BD 并延长至 F 使得 BD DF 连接 CF BE 1 求证 DB DE 2 求证 直线 CF 为 O 的切线 考点 MI 三角形的内切圆与内心 MD 切线的判定 分析 1 欲证明 DB DE 只要证明 DBE DEB 2 欲证明直线 CF 为 O 的切线 只要证明 BC CF 即可 解答 1 证明 E 是 ABC 的内心 BAE CAE EBA EBC BED BAE EBA DBE EBC DBC DBC EAC DBE DEB DB DE 2 连接 CD DA 平分 BAC DAB DAC BD CD BD DF CD DB DF BCF 90 BC CF CF 是 O 的切线 23 2017 湖北恩施 如图 AB CD 是 O 的直径 BE 是 O 的弦 且 BE CD 过点 C 的切线与 EB 的延长线交于点 P 连接 BC 1 求证 BC 平分 ABP 2 求证 PC2 PB PE 3 若 BE BP PC 4 求 O 的半径 考点 MC 切线的性质 KD 全等三角形的判定与性质 S9 相似三角形的判定与性质 分析 1 由 BE CD 知 1 3 根据 2 3 即可得 1 2 2 连接 EC AC 由 PC 是 O 的切线且 BE DC 得 1 4 90 由 A 2 90 且 A 5 知 5 2 90 根据 1 2 得 4 5 从而证得 PBC PCE 即可 3 由 PC2 PB PE BE BP PC 4 求得 BP 2 BE 6 作 EF CD 可得 PC FE 4 FC PE 8 再 Rt DEF Rt BCP 得 DF BP 2 据此得出 CD 的长即可 解答 解 1 BE CD 1 3 又 OB OC 2 3 1 2 即 BC 平分 ABP 2 如图 连接 EC AC PC 是 O 的切线 PCD 90 又 BE DC P 90 1 4 90 AB 为 O 直径 A 2 90 又 A 5 5 2 90 1 2 5 4 P P PBC PCE 即 PC2 PB PE 3 BE BP PC 4 BE 4 BP PC2 PB PE PB PB BE 42 PB PB 4 PB 即 PB2 2PB 8 0 解得 PB 2 则 BE 4 PB 6 PE PB BE 8 作 EF CD 于点 F P PCF 90 四边形 PCFE 为矩形 PC FE 4 FC PE 8 EFD P 90 BE CD DE BC 在 Rt DEF 和 Rt BCP 中 Rt DEF Rt BCP HL DF BP 2 则 CD DF CF 10 O 的半径为 5 22 2017 湖北随州 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC BC 点 O 在 AB 上 经过点 A 的 O 与 BC 相切于点 D 交 AB 于点 E 1 求证 AD 平分 BAC 2 若 CD 1 求图中阴影部分的面积 结果保留 考点 MC 切线的性质 KF 角平分线的性质 KW 等腰直角三角形 MO 扇形面积的计算 分析 1 连接 DE OD 利用弦切角定理 直径所对的圆周角是直角 等角的余角相等证明 DAO CAD 进而得出结论 2 根据等腰三角形的性质得到 B BAC 45 由 BC 相切 O 于点 D 得到 ODB 90 求得 OD BD BOD 45 设 BD x 则 OD OA x OB x 根据勾股定理得到 BD OD 于是得到结 论 解答 1 证明 连接 DE OD BC 相切 O 于点 D CDA AED AE 为直径 ADE 90 AC BC ACD 90 DAO CAD AD 平分 BAC 2 在 Rt ABC 中 C 90 AC BC B BAC 45 BC 相切 O 于点 D ODB 90 OD BD BOD 45 设 BD x 则 OD OA x OB x BC AC x 1 AC2 BC2 AB2 2 x 1 2 x x 2 x BD OD 图中阴影部分的面积 S BOD S扇形 DOE 1 22 2017 湖北襄阳 如图 AB 为 O 的直径 C D 为 O 上的两点 BAC DAC 过点 C 做 直线 EF AD 交 AD 的延长线于点 E 连接 BC 1 求证 EF 是 O 的切线 2 若 DE 1 BC 2 求劣弧的长 l 考点 ME 切线的判定与性质 MN 弧长的计算 分析 1 连接 OC 根据等腰三角形的性质得到 OAC DAC 求得 DAC OCA 推出 AD OC 得到 OCF AEC 90 于是得到结论 2 连接 OD DC 根据角平分线的定义得到 DAC OAC 根据三角函数的定义得到 ECD 30 得到 OCD 60 得到 BOC COD 60 OC 2 于是得到结论 解答 1 证明 连接 OC OA OC OAC DAC DAC OCA AD OC AEC 90 OCF AEC 90 EF 是 O 的切线 2 连接 OD DC DAC DOC OAC BOC DAC OAC ED 1 DC 2 sin ECD ECD 30 OCD 60 OC OD DOC 是等边三角形 BOC COD 60 OC 2 l 21 2017 湖北宜昌 已知 四边形 ABCD 中 E 是对角线 AC 上一点 DE EC 以 AE 为直径的 O 与边 CD 相切于点 D B 点在 O 上 连接 OB 1 求证 DE OE 2 若 CD AB 求证 四边形 ABCD 是菱形 考点 MC 切线的性质 L9 菱形的判定 分析 1 先判断出 2 3 90 再判断出 1 2 即可得出结论 2 先判断出 ABO CDE 得出 AB CD 即可判断出四边形 ABCD 是平行四边形 最后判断出 CD AD 即可 解答 解 1 如图 连接 OD CD 是 O 的切线 OD CD 2 3 1 COD 90 DE EC 1 2 3 COD DE OE 2 OD OE OD DE OE 3 COD DEO 60 2 1 30 OA OB OE OE DE EC OA OB DE EC AB CD 4 1 1 2 4 OBA 30 ABO CDE AB CD 四边形 A D 是平行四边形 DAE DOE 30 1 DAE CD AD ABCD 是菱形 24 2017 江苏南通 如图 Rt ABC 中 C 90 BC 3 点 O 在 AB 上 OB 2 以 OB 为半径的 O 与 AC 相切于点 D 交 BC 于点 E 求弦 BE 的长 考点 MC 切线的性质 KQ 勾股定理 分析 连接 OD 首先证明四边形 OECD 是矩形 从而得到 BE 的长 然后利用垂径定理求得 BF 的 长即可 解答 解 连接 OD 作 OE BF 于点 E BE BF AC 是圆的切线 OD AC ODC C OFC 90 四边形 ODCF 是矩形 OD OB EC 2 BC 3 BE BC EC BC OD 3 2 1 BF 2BE 2 26 2017 江苏镇江 如图 中 点在上 过两点的ACBRt 0 90 CDACACBD DA 圆的圆心在上 1 利用直尺和圆规在图 1 中画出 不写作法 保留作图痕迹 并用黑OABO 色水笔把线条描清楚 2 判断所在直线与 1 中所作的 的位置关系 并证明你的结论 BDO 3 设 交于点 连接 过点作 为垂足 若点是线段的黄金分割OABEDEEBCEF FDAC 点 即 如图 2 试说明四边形是正方形 AC AD AD DC DEFC 25 2017 江苏扬州 如图 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 A B C 在以 O 为圆心的半圆上 过点 C 作 CD AB 分别交 AB AO 的延长线于点 D E AE 交半圆 O 于点 F 连接 CF 1 判断直线 DE 与半圆 O 的位置关系 并说明理由 2 求证 CF OC 若半圆 O 的半径为 12 求阴影部分的周长 考点 MB 直线与圆的位置关系 L5 平行四边形的性质 MN 弧长的计算 分析 1 结论 DE 是 O 的切线 首先证明 ABO BCO 都是等边三角形 再证明四边形 BDCG 是矩形 即可解决问题 2 只要证明 OCF 是等边三角形即可解决问题 求出 EC EF 弧长 CF 即可解决问题 解答 解 1 结论 DE 是 O 的切线 理由 四边形 OABC 是平行四边形 又 OA OC 四边形 OABC 是菱形 OA OB AB OC BC ABO BCO 都是等边三角形 AOB BOC COF 60 OB OF OG BF AF 是直径 CD AD ABF DBG D BGC 90 四边形 BDCG 是矩形 OCD 90 DE 是 O 的切线 2 由 1 可知 COF 60 OC OF OCF 是等边三角形 CF OC 在 Rt OCE 中 OC 12 COE 60 OCE 90 OE 2OC 24 EC 12 OF 12 EF 12 的长 4 阴影部分的周长为 4 12 12 24 2017 江苏盐城 如图 ABC 是一块直角三角板 且 C 90 A 30 现将圆心为点 O 的 圆形纸片放置在三角板内部 1 如图 当圆形纸片与两直角边 AC BC 都相切时 2 试用直尺与圆规作出射线 CO 3 不写作法与证明 保留作图痕迹 2 如图 将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1 周 回到起点位置时停止 若 BC 9 圆形纸片的半径为 2 求圆心 O 运动的路径长 考点 O4 轨迹 MC 切线的性质 N3 作图 复杂作图 分析 1 作 ACB 的平分线得出圆的一条弦 再作此弦的中垂线可得圆心 O 作射线 CO 即可 2 添加如图所示辅助线 圆心 O 的运动路径长为 先求出 ABC 的三边长度 得出其周 长 证四边形 OEDO1 四边形 O1O2HG 四边形 OO2IF 均为矩形 四边形 OECF 为正方形 得出 OO1O2 60 ABC O1OO2 90 从而知 OO1O2 CBA 利用相似三角形的性质即可得出答 案 解答 解 1 如图 所示 射线 OC 即为所求 2 如图 圆心 O 的运动路径长为 过点 O1作 O1D BC O1F AC O1G AB 垂足分别为点 D F G 过点 O 作 OE BC 垂足为点 E 连接 O2B 过点 O2作 O2H AB O2I AC 垂足分别为点 H I 在 Rt ABC 中 ACB 90 A 30 AC 9 AB 2BC 18 ABC 60 C ABC 9 9 18 27 9 O1D BC O1G AB D G 为切点 BD BG 在 Rt O1BD 和 Rt O1BG 中 O1BD O1BG HL O1BG O1BD 30 在 Rt O1BD 中 O1DB 90 O1BD 30 BD 2 OO1 9 2 2 7 2 O1D OE 2 O1D BC OE BC O1D OE 且 O1D OE 四边形 OEDO1为平行四边形 OED 90 四边形 OEDO1为矩形 同理四边形 O1O2HG 四边形 OO2IF 四边形 OECF 为矩形 又 OE OF 四边形 OECF 为正方形 O1GH CDO1 90 ABC 60 GO1D 120 又 FO1D O2O1G 90 OO1O2 360 90 90 60 ABC 同理 O1OO2 90 OO1O2 CBA 即 15 即圆心 O 运动的路径长为 15 25 2017 江苏盐城 如图 在平面直角坐标系中 Rt ABC 的斜边 AB 在 y 轴上 边 AC 与 x 轴交 于点 D AE 平分 BAC 交边 BC 于点 E 经过点 A D E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上 F 与 y 轴相 交于另一点 G 1 求证 BC 是 F 的切线 2 若点 A D 的坐标分别为 A 0 1 D 2 0 求 F 的半径 试探究线段 AG AD CD 三者之间满足 的等量关系 并证明你的结论 考点 MR 圆的综合题 分析 1 连接 EF 根据角平分线的定义 等腰三角形的性质得到 FEA EAC 得到 FE AC 根据平行线的性质得到 FEB C 90 证明结论 2 连接 FD 设 F 的半径为 r 根据勾股定理列出方程 解方程即可 3 作 FR AD 于 R 得到四边形 RCEF 是矩形 得到 EF RC RD CD 根据垂径定理解答即可 解答 1 证明 连接 EF AE 平分 BAC FAE CAE FA FE FAE FEA FEA EAC FE AC FEB C 90 即 BC 是 F 的切线 2 解 连接 FD 设 F 的半径为 r 则 r2 r 1 2 22 解得 r 即 F 的半径为 3 解 AG AD 2CD 证明 作 FR AD 于 R 则 FRC 90 又 FEC C 90 四边形 RCEF 是矩形 EF RC RD CD FR AD AR RD EF RD CD AD CD AG 2FE AD 2CD 27 2017 苏州 如图 已知 内接于 是直径 点 在 上 过 点 作 垂足为 连接 交 边于点 1 求证 2 求证 3 连接 设 的面积为 四边形 的面积为 若 求 的值 1 证明 AB 是圆 O 的直径 ACB 90 DE AB DEO 90 DEO ACB OD BC DOE ABC DOE ABC 2 证明 DOE ABC ODE A A 和 BDC 是弧 BC 所对的圆周角 A BDC ODE BDC ODF BDE 3 解 因为 DOE ABC 所以 即 4 4 因为 OA OB 所以 即 2 因为 S2 2S1 S1 所以 所以 BE OE 即 OE OB OD 所以 sinA sin ODE 考点 圆周角定理 相似三角形的性质 相 似三角形的判定与性质 解析 分析 1 易证 DEO ACB 90 和 DOE ABC 根据 有两对角相等的两个三角形相似 判定 DOE ABC 2 由 DOE ABC 可得 ODE A 由 A 和 BDC 是弧 BC 所对的圆周角 则 A BDC 从而通 过角的等量代换即可证得 3 由 ODE A 可得 sinA sin ODE 而由 DOE ABC 可得 即 4 4 即 2 又因为 S2 2S1 S1 则可得 可求得 OE 与 OB 的比值 27 2017 江苏无锡 如图 以原点 O 为圆心 3 为半径的圆与 x 轴分别交于 A B 两点 点 B 在 点 A 的右边 P 是半径 OB 上一点 过 P 且垂直于 AB 的直线与 O 分别交于 C D 两点 点 C 在点 D 的上方 直线 AC DB 交于点 E 若 AC CE 1 2 1 求点 P 的坐标 2 求过点 A 和点 E 且顶点在 直线 CD 上的抛物线的函数表达式 考点 MR 圆的综合题 分析 1 如图 作 EF y 轴于 F DC 的延长线交 EF 于 H 设 H m n 则 P m 0 PA m 3 PB 3 m 首先证明 ACP ECH 推出 推出 CH 2n EH 2m 6 再 证明 DPB DHE 推出 可得 求出 m 即可解决问题 2 由题意设抛物线的解析式为 y a x 3 x 5 求出 E 点坐标代入即可解决问题 解答 解 1 如图 作 EF y 轴于 F DC 的延长线交 EF 于 H 设 H m n 则 P m 0 PA m 3 PB 3 m EH AP ACP ECH CH 2n EH 2m 6 CD AB PC PD n PB HE DPB DHE m 1 P 1 0 2 由 1 可知 PA 4 HE 8 EF 9 连接 OP 在 Rt OCP 中 PC 2 CH 2PC 4 PH 6 E 9 6 抛物线的对称轴为 CD 3 0 和 5 0 在抛物线上 设抛物 线的解析式为 y a x 3 x 5 把 E 9 6 代入得到 a 抛物线的解析式为 y x 3 x 5 即 y x2 x 23 2017 山东济南 如图 在矩形中 于点 求证 1ABCDADAE DFAE FABDF 如图 是 的直径 求的度数 2ABO25ACD BAD 答案 见解析 解析 证明 在矩形中 1ABCD ADBC DAFAEB 在和中 ADF EAB 90 DAFAEB AFDEBA ADAE ADF EAB ABDF 解 225ACD 25ABD 是 的直径 ABO 90ADB 在中 ABD 1801802565BADABDADB 22 2017 山东潍坊 如图 AB 为半圆 O 的直径 AC 是 O 的一条弦 D 为的中点 作 DE AC 交 AB 的延长线于点 F 连接 DA 1 求证 EF 为半圆 O 的切线 1 图 F E CB AD C B A D O 2 图 2 若 DA DF 6 求阴影区域的面积 结果保留根号和 考点 ME 切线的判定与性质 MO 扇形面积的计算 分析 1 直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出 OD EF 即可得出答案 2 直接利用得出 S ACD S COD 再利用 S阴影 S AED S扇形 COD 求出答案 解答 1 证明 连接 OD D 为的中点 CAD BAD OA OD BAD ADO CAD ADO DE AC E 90 CAD EDA 90 即 ADO EDA 90 OD EF EF 为半圆 O 的切线 2 解 连接 OC 与 CD DA DF BAD F BAD F CAD 又 BAD CAD F 90 F 30 BAC 60 OC OA AOC 为等边三角形 AOC 60 COB 120 OD EF F 30 DOF 60 在 Rt ODF 中 DF 6 OD DF tan30 6 在 Rt AED 中 DA 6 CAD 30 DE DA sin30 EA DA cos30 9 COD 180 AOC DOF 60 CD AB 故 S ACD S COD S阴影 S AED S扇形 COD 9 3 62 6 23 2017 山东威海 已知 AB 为 O 的直径 AB 2 弦 DE 1 直线 AD 与 BE 相交于点 C 弦 DE 在 O 上运动且保持长度不变 O 的切线 DF 交 BC 于点 F 1 如图 1 若 DE AB 求证 CF EF 2 如图 2 当点 E 运动至与点 B 重合时 试判断 CF 与 BF 是否相等 并说明理由 分析 1 如图 1 连接 OD OE 证得 OAD ODE OEB CDE 是等边三角形 进一步 证得 DF CE 即可证得结论 2 根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论 解答 证明 如图 1 连接 OD OE AB 2 OA OD OE OB 1 DE 1 OD OE DE ODE 是等边三角形 ODE OED 60 DE AB AOD ODE 60 EOB OED 60 AOD 和 OE 是等边三角形 OAD OBE 60 CDE OAD 60 CED OBE 60 CDE 是等边三角形 DF 是 O 的切线 OD DF EDF 90 60 30 DFE 90 DF CE CF EF 2 相等 如图 2 点 E 运动至与点 B 重合时 BC 是 O 的切线 O 的切线 DF 交 BC 于点 F BF DF BDF DBF AB 是直径 ADB BDC 90 FDC C DF CF BF CF 点评 本题考查了切线的性质 平行线的性质 等边三角形的判定 等腰三角形的判定和性质 作出辅助线构建等边三角形是解题的关键 21 2017 山东东营 如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D 过点 D 作 O 的切线 DE 交 AC 于点 E AC 的反向延长线交 O 于点 F 1 求证 DE AC 2 若 DE EA 8 O 的半径为 10 求 AF 的长度 点评 本题考查了切线的性质 勾股定理 矩形的判定与性质 解题时 利用了方程思想 属于中档题 分析 1 欲证明 DE AC 只需推知 OD AC 即可 2 如图 过点 O 作 OH AF 于点 H 构建矩形 ODEH 设 AH x 则由矩形的性质推知 AE 10 x OH DE 8 10 x x 2 在 Rt AOH 中 由勾股定理知 x2 x 2 2 102 通过解方程得到 AH 的长度 结合 OH AF 得到 AF 2AH 2 8 16 解答 1 证明 OB OD ABC ODB AB AC ABC ACB ODB ACB OD AC DE 是 O 的切线 OD 是半径 DE OD DE AC 2 如图 过点 O 作 OH AF于点 H 则 ODE DEH OHE 90 四边形 ODEH 是矩形 OD EH OH DE 设 AH x DE AE 8 OD 10 AE 10 x OH DE 8 10 x x 2 在 Rt AOH 中 由勾股定理知 AH2 OH2 OA2 即 x2 x 2 2 102 解得 x1 8 x2 6 不合题意 舍去 AH 8 OH AF AH FH AF AF 2AH 2 8 16 24 2017 山东烟台 如图 菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O AC 12cm BD 16cm 动 点 N 从点 D 出发 沿线段 DB 以 2cm s 的速度向点 B 运动 同时动点 M 从点 B 出发 沿线段 BA 以 1cm s 的速度向点 A 运动 当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止 设运动时间为 t s t 0 以点 M 为圆心 MB 长为半径的 M 与射线 BA 线段 BD 分别交于点 E F 连接 EN 1 求 BF 的长 用含有 t 的代数式表示 并求出 t 的取值范围 2 当 t 为何值时 线段 EN 与 M 相切 3 若 M 与线段 EN 只有一个公共点 求 t 的取值范围 考点 MR 圆的综合题 分析 1 连接 MF 只要证明 MF AD 可得 即 解方程即可 2 当线段 EN 与 M 相切时 易知 BEN BOA 可得 即 解方程即可 3 由题意可知 当 0 t 时 M 与线段 EN 只有一个公共点 当 F 与 N 重合时 则有 t 2t 16 解得 t 观察图象即可解决问题 解答 解 1 连接 MF 四边形 ABCD 是菱形 AB AD AC BD OA OC 6 OB OD 8 在 Rt AOB 中 AB 10 MB MF AB AD ABD ADB MFB MF AD BF t 0 t 8 2 当线段 EN 与 M 相切时 易知 BEN BOA t t s 时 线段 EN 与 M 相切 3 由题意可知 当 0 t 时 M 与 线段 EN 只有一个公共点 当 F 与 N 重合时 则有t 2t 16 解得 t 关系图象可知 t 8 时 M 与线段 EN 只有一个公共点 综上所述 当 0 t 或 t 8 时 M 与线段 EN 只有一个公共点 24 2017 山东聊城 如图 O 是 ABC 的外接圆 O 点在 BC 边上 BAC 的平分线交 O 于点 D 连接 BD CD 过点 D 作 BC 的平行线 与 AB 的延长线相交于点 P 1 求证 PD 是 O 的切线 2 求证 PBD DCA 3 当 AB 6 AC 8 时 求线段 PB 的长 考点 S9 相似三角形的判定与性质 ME 切线的判定与性质 分析 1 由直径所对的圆周角为直角得到 BAC 为直角 再由 AD 为角平分线 得到一对角相 等 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍及等量代换确定出 DOC 为直角 与平行线中的一条 垂直 与另一条也垂直得到 OD 与 PD 垂直 即可得证 2 由 PD 与 BC 平行 得到一对同位角相等 再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到 P ACD 根据同角的补角相等得到一对角相等 利用两对角相等的三角形相似即可得证 3 由三角形 ABC 为直角三角形 利用勾股定理求出 BC 的长 再由 OD 垂直平分 BC 得到 DB DC 根据 2 的相似 得比例 求出所求即可 解答 1 证明 圆心 O 在 BC 上 BC 是圆 O 的直径 BAC 90 连接 OD AD 平分 BAC BAC 2 DAC DOC 2 DAC DOC BAC 90 即 OD BC PD BC OD PD OD 为圆 O 的半径 PD 是圆 O 的切线 2 证明 PD BC P ABC ABC ADC P ADC PBD ABD 180 ACD ABD 180 PBD ACD PBD DCA 3 解 ABC 为直角三角形 BC2 AB2 AC2 62 82 100 BC 10 OD 垂直平分 BC DB DC BC 为圆 O 的直径 BDC 90 在 Rt DBC 中 DB2 DC2 BC2 即 2DC2 BC2 100 DC DB 5 PBD DCA 则 PB 23 2017 山东临沂 如图 BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D ABC 的平分线交 AD 于点 E 1 求证 DE DB 2 若 BAC 90 BD 4 求 ABC 外接圆的半径 考点 MA 三角形的外接圆与外心 分析 1 由角平分线得出 ABE CBE BAE CAD 得出 由圆周角定理得出 DBC CAD 证出 DBC BAE 再由三角形的外角性质得出 DBE DEB 即可得出 DE DB 2 由 1 得 得出 CD BD 4 由圆周角定理得出 BC 是直径 BDC 90 由勾股定理 求出 BC 4 即可得出 ABC 外接圆的半径 解答 1 证明 BE 平分 BAC AD 平分 ABC ABE CBE BAE CAD DBC CAD DBC BAE DBE CBE DBC DEB ABE BAE DBE DEB DE DB 2 解 连接 CD 如图所示 由 1 得 CD BD 4 BAC 90 BC 是直径 BDC 90 BC 4 ABC 外接圆的半径 4 2 20 2017 山东德州 如图 已知 Rt ABC C 90 D 为 BC 的中点 以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 E 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 AE EB 1 2 BC 6 求 AE 的长 考点 S9 相似三角形的判定与性质 ME 切线的判定与性质 分析 1 求出 OED BCA 90 根据切线的判定得出即可 2 求出 BEC BCA 得出比例式 代入求出即可 解答 1 证明 连接 OE EC AC 是 O 的直径 AEC BEC 90 D 为 BC 的中点 ED DC BD 1 2 OE OC 3 4 1 3 2 4 即 OED ACB ACB 90 OED 90 DE 是 O 的切线 2 解 由 1 知 BEC 90 在 Rt BEC 与 Rt BCA 中 B B BEC BCA BEC BCA BC2 BE BA AE EB 1 2 设 AE x 则 BE 2x BA 3x BC 6 62 2x 3x 解得 x 即 AE 22 2017 山东枣庄 如图 在 ABC 中 C 90 BAC 的平分线交 BC 于点 D 点 O 在 AB 上 以点 O 为圆心 OA 为半径的圆恰好经过点 D 分别交 AC AB 于点 E F 1 试判断直线 BC 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 BD 2 BF 2 求阴影部分的面积 结果保留 考点 MB 直线与圆的位置关系 MO 扇形面积的计算 分析 1 连接 OD 证明 OD AC 即可证得 ODB 90 从而证得 BC 是圆的切线 2 在直角三角形 OBD 中 设 OF OD x 利用勾股定理列出关于 x 的方程 求出方程的解得到 x 的值 即为圆的半径 求出圆心角的度数 直角三角形 ODB 的面积减去扇形 DOF 面积即可确定出阴 影部分面积 解答 解 1 BC 与 O 相切 证明 连接 OD AD 是 BAC 的平分线 BAD CAD 又 OD OA OAD ODA CAD ODA OD AC ODB C 90 即 OD BC 又 BC 过半径 OD 的外端点 D BC 与 O 相切 2 设 OF OD x 则 OB OF BF x 2 根据勾股定理得 OB2 OD2 BD2 即 x 2 2 x2 12 解得 x 2 即 OD OF 2 OB 2 2 4 Rt ODB 中 OD OB B 30 DOB 60 S扇形 AOB 则阴影部分的面积为 S ODB S扇形 DOF 2 2 2 故阴影部分的面积为 2 23 2017 山东滨州 如图 点 E 是 ABC 的内心 AE 的延长线交 BC 于点 F 交 ABC 的外接圆 O 于点 D 连接 BD 过点 D 作直线 DM 使 BDM DAC 1 求证 直线 DM 是 O 的切线 2 求证 DE2 DF DA 思路分析 1 连接 DO 并延长交 O 于点 G 连接 BG 证明 BAD DAC 证明 G BAD 证明 MDB G 证明 GDM 90 2 利用相似证明 BD2 DF DA 利用等角对等边证明 DB DE 证明 1 如答图 1 连接 DO 并延长交 O 于点 G 连接 BG 点 E 是 ABC 的内心 AD 平分 BAC BAD DAC G BAD MDB G DG 为 O 的直径 GBD 90 G BDG 90 MDB BDG 90 直线 DM 是 O 的切线 答图 1 答图 2 2 如答图 2 连接 BE 点 E 是 ABC 的内心 ABE CBE BAD CAD EBD CBE CBD BED ABE BAD CBD CAD EBD BED DB DE CBD BAD ADB ADB DBF DAB BD2 DF DA DE2 DF DA A MD B O E F C A MD B O E F C G MDB OEFC 24 2017 浙江温州 如图 已知线段 AB 2 MN AB 于点 M 且 AM BM P 是射线 MN 上一动 点 E D 分别是 PA PB 的中点 过点 A M D 的圆与 BP 的另一交点 C 点 C 在线段 BD 上 连 结 AC DE 1 当 APB 28 时 求 B 和的度数 2 求证 AC AB 3 在点 P 的运动过程中 当 MP 4 时 取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q 若以这三点为顶点的三角形是直 角三角形 且 Q 为锐角顶点 求所有满足条件的 MQ 的值 记 AP 与圆的另一个交点为 F 将点 F 绕点 D 旋转 90 得到点 G 当点 G 恰好落在 MN 上时 连结 AG CG DG EG 直接写出 ACG 和 DEG 的面积之比 考点 MR 圆的综合题 分析 1 根据三角形 ABP 是等腰三角形 可得 B 的度数 再连接 MD 根据 MD 为 PAB 的 中位线 可得 MDB APB 28 进而得到 2 MDB 56 2 根据 BAP ACB BAP B 即可得到 ACB B 进而得出 AC AB 3 记 MP 与圆的另一个交点为 R 根据 AM2 MR2 AR