差分方程基本概念和方法

1 差分方程基本概念和方法差分方程基本概念和方法 考察定义在整数集上的函数 2 1 0 1 2 n xf n n 函数在时刻的一阶差分定义为 n xf n n 1 1 nnn xxxf nf n 函数在时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分 n xf n n 2 121 2 nnnnnn xxxxxx 同理可依次定义阶差分k k n x 定义定义 1 含有自变量 未知函数以及的差分的函数方程 称为n n x n x 2 nn xx 常差分方程 简称为差分方程 出现在差分方程中的差分的最高阶数 称为差 分方程的阶 阶差分方程的一般形式为k 0 k nnn F n xxx 其中为的已知函数 且至少要在式中 k nnn F n xxx k nnn n xxx k n x 出现 定义定义 2 含有自变量和两个或两个以上函数值的函数方程 称为n 1 nn x x 常 差分方程 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程 的阶 阶差分方程的一般形式为k 1 0 nnn k F n x xx 其中为的已知函数 且和要在式中一 1 nnn k F n x xx 1 nnn k n x xx n x n k x 定要出现 定义定义 3 如果将已知函数代入上述差分方程 使其对成为 n xn 0 1 2 n 2 恒等式 则称为差分方程的解 如果差分方程的解中含有个独立的 n xn k 任意常数 则称这样的解为差分方程的通解 而通解中给任意常数以确定值的 解 称为差分方程的特解 例如 设二阶差分方程 可以验证 21nnn FFF 是其通解 其满足条件的特解为 12 1515 22 nn n Fcc 12 1FF 11515 225 nn n F 这里即为著名的 Fibonacci 数列 n F 定义定义 形如 1122n kn kn kkn xb xb xb xf n 为常数 1 k bb 0 0 k bf nnk 的差分方程称为 k 阶常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程 1122n kn kn kkn xb xb xb xf n 对应的齐次差分方程为 1122 0 n kn kn kkn xb xb xb x 定理 4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上 非齐次方程的特解 即 nnn xxx 其中 是对应齐次差分方程的通解 n x 是非齐次差分方程的特解 n x 3 对于线性齐次差分方程 1122 0 n kn kn kkn xb xb xb x 定义其特征方程为 称该特征 1 11 0 kk kk bbb 方程的 k 个根为特征根 若此 k 个特征根互异 分别为 12 k 则齐次差分方程的通解可表为 1122 nnn nkk xccc 差分方程的平衡点及稳定性差分方程的平衡点及稳定性 一阶线性差分方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数差分方程 1 0 1 2 kk xaxb k 1 的平衡点由解得 为 xaxb 1 b x a 当时 若 则平衡点是稳定的 否则是不稳定的 k k xx x 容易看出 可以用变量代换方法将方程 1 的平衡点的稳定性问题转换为 2 1 0 0 1 2 kk xaxk 的平衡点 的稳定性问题 0 x 对于方程 2 因为其解可表为 0 1 2 k k xax k 所以当且仅当时 方程 2 的平衡点 从而方程 1 的平衡点 才是稳1a 定的 对于二阶线性常系数差分方程 我们考查 3 2112 0 kkk xa xa x 的平衡点的稳定性 其特征方程为 记特征根为 0 x 2 12 0aa 4 则 3 的通解为 不难验证当且仅当满足 12 1122 kk k xcc 12 12 1 1 时方程 3 的平衡点才是稳定的 二二 层层次次分分析析法法的的广广泛泛应应用用 应应用用领领域域 经经济济计计划划和和管管理理 能能源源政政策策和和分分配配 人人才才选选拔拔和和评评价价 生生产产决决策策 交交通通运运输输 科科研研选选 题题 产产业业结结构构 教教育育 医医疗疗 环环境境 军军事事等等 处处理理问问题题类类型型 决决策策 评评价价 分分析析 预预测测等等 建建立立层层次次分分析析结结构构模模型型是是关关键键一一步步 要要有有主主要要决决 策策层层参参与与 构构造造成成对对比比较较阵阵是是数数量量依依据据 应应由由经经验验丰丰富富 判判 断断力力强强的的专专家家给给出出 国国家家综综合合实实力力 国国民民 收收入入 军军事事 力力量量 科科技技 水水平平 社社会会 稳稳定定 对对外外 贸贸易易 美美 俄俄 中中 日日 德德等等大大国国 工工作作选选择择 贡贡 献献 收收 入入 发发 展展 声声 誉誉 关关 系系 位位 置置 供供选选择择的的岗岗位位 例例1国国家家 实实力力分分析析 例例2 工工作作选选择择 5 过过河河的的效效益益 A 经经济济效效益益 B1 社社会会效效益益 B2 环环境境效效益益 B3 节节 省省 时时 间间 C1 收收 入入 C2 岸岸 间间 商商 业业 C3 当当 地地 商商 业业 C4 建建 筑筑 就就 业业 C5 安安 全全 可可 靠靠 C6 交交 往往 沟沟 通通 C7 自自 豪豪 感感 C8 舒舒 适适 C9 进进 出出 方方 便便 C10 美美 化化 C11 桥桥梁梁 D1 隧隧道道 D2 渡渡船船 D3 1 过过河河效效益益层层次次结结构构 例例3横横渡渡 江江河河 海海峡峡 方方案案的的抉抉择择 过过河河的的代代价价 A 经经济济代代价价 B1 环环境境代代价价 B3 社社会会代代价价 B2 投投 入入 资资 金金 C1 操操 作作 维维 护护 C2 冲冲 击击 渡渡 船船 业业 C3 冲冲 击击 生生 活活 方方 式式 C4 交交 通通 拥拥 挤挤 C5 居居 民民 搬搬 迁迁 C6 汽汽 车车 排排 放放 物物 C7 对对 水水 的的 污污 染染 C8 对对 生生 态态 的的 破破 坏坏 C9 桥桥梁梁 D1 隧隧道道 D2 渡渡船船 D2 2 过过河河代代价价层层次次结结构构 例例3横横渡渡 江江河河 海海峡峡 方方案案的的抉抉择择 6 待待评评价价的的科科技技成成果果 直直接接 经经济济 效效益益 C11 间间接接 经经济济 效效益益 C12 社社会会 效效益益 C13 学学识识 水水平平 C21 学学术术 创创新新 C22 技技术术 水水平平 C23 技技术术 创创新新 C24 效效益益C1水水平平C2 规规模模C3 科科技技成成果果评评价价 例例4 科科技技成成果果 的的综综合合评评价价 消费者均衡消费者均衡 q2 U q1 q2 c q1 0 1 l 2 l 3 l 消消费费者者均均衡衡 问问题题 消消费费者者对对甲甲乙乙两两种种商商品品的的偏偏爱爱程程度度用用无无差差别别 曲曲线线族族表表示示 问问他他如如何何分分配配一一定定数数量量的的钱钱 购购买买这这两两种种商商品品 以以达达到到最最大大的的满满意意度度 设设甲甲乙乙数数量量为为q1 q2 消消 费费者者的的无无差差别别曲曲线线族族 单单调调减减 下下凸凸 不不相相 交交 记记作作 U q1 q2 c U q1 q2 效效用用函函数数 已已知知甲甲乙乙价价格格 p1 p2 有 有钱钱s 试试分分配配s 购购买买甲甲乙乙数数量量 q1 q2 使 使 U q1 q2 最最大大 7 s p2 s p1 q2 U q1 q2 c q1 0 1 l 2 l 3 l 模模型型 及及 求求解解 已已知知价价格格 p1 p2 钱 钱 s 求求q1 q2 或 或 p1q1 p2q2 使使 U q1 q2 最最大大 sqpqpts qqUZ 2211 21 max 1 122 LUpqp qs 2 1 0 i q L i 2 1 2 1 p p q U q U 1 2 2 dq dq Kl 几几 何何 解解 释释 sqpqp 2211 直直线线MN 最最优优解解Q MN与与 l2切切点点 21 p pKMN 斜斜率率 M Q N 21 q U q U 0 0 0 0 0 B 21 2 2 2 2 2 1 2 21 qq U q U q U q U q U 2 1 2 1 p p q U q U 结结果果 解解释释 21 q U q U 边边际际效效用用 消消费费者者均均衡衡状状态态在在两两种种商商品品 的的边边际际效效用用之之比比恰恰等等于于它它们们 价价格格之之比比时时达达到到 效效用用函函数数U q1 q2 应应满满足足的的条条件件 A U q1 q2 c 所所确确定定的的函函数数 q2 q2 q1 单单调调减减 下下凸凸 解解释释 B的的实实际际意意义义AB 8 0 1 1 21 qq U 效效用用函函数数U q1 q2 几几种种常常用用的的形形式式 2 1 2 1 p p q U q U 2 1 22 11 p p qp qp 消消费费者者均均衡衡状状态态下下购购买买两两种种商商品品费费用用之之比比 与与二二者者价价格格之之比比的的平平方方根根成成正正比比 U q1 q2 中中参参数数 分分别别表表示示消消费费者者对对甲甲乙乙 两两种种商商品品的的偏偏爱爱程程度度