基于离散采样型的分数阶傅里叶变换的算法研究与实现.doc

西 南 交 通 大 学 毕 业 论 文 基于离散采样型的分数阶 FOURIER 变换算法 研究与实现 年 级 2011 学 号 20112627 姓 名 方威 专 业 自动化 交通信息工程及控制方向 指导老师 汪晓宁 二零一五年六月 西南交通大学本科毕业设计 第 页 院 系 专 业 年 级 姓 名 题 目 指导教师 评 语 指导教师 签章 评 阅 人 评 语 评 阅 人 签章 成 绩 答辩委员会主任 签章 年 月 日 此页为空白 西南交通大学本科毕业设计 第 页 毕业设计 论文 任务书毕业设计 论文 任务书 班 级 学生姓名 学 号 发题日期 2014 年 12 月 1 日 完成日期 2015 年 6 月 15 日 题 目 基于离散采样型的分数阶 Fourier 变换算法研究与实现 1 本论文的目的 意义 近年来 分数阶 Fourier 变换因其在光学 量子力学 模 式识别 时频分析 信号处理等领的广泛应用得到了越来越多的关注 分数阶 Fourier 变换可以看作是时频平面的旋转 并且与其他时频分布具有密切的联系 分数 阶 Fourier 变换是传统 Fourier 变换的推广 不但继承了传统傅里叶变换的基本性质 还具有其他的诸多优点 能够在介于时域和频域之间的分数域上分析信号 可以展 示出信号从时域逐渐变化到频域的所有特征 从而突出问题的某些方面的本质特征 由于分数阶 Fourier 变换的离散算法不像离散 Fourier 变换那样可以简单地通过 在时域直接离散化采样得到 因此分数阶 Fourier 变换的离散算法成为近年来的研究 重点 分数阶 Fourier 变换的离散算法主要有三种类型 离散采样型 线性组合型和 特征分解型 本设计主要针对离散采样型算法进行研究和算法实现 2 学生应完成的任务 1 了解分数阶 Fourier 变换的应用及离散化算法的发展动态 2 学习和掌握分数阶 Fourier 变换的机理及离散化算法的基本类型 重点研究和 掌握离散采样型算法 3 基于 MATLAB 编程实现分数阶 Fourier 变换的离散采样型离散算法 4 通过对一个典型的非平稳信号进行分数阶 Fourier 变换分析 研究信号的特征 并验证程序的可行性和正确性 西南交通大学本科毕业设计 第 I 页 3 论文各部分内容及时间分配 共 17 周 第一部分查阅资料 了解分数阶 Fourier 变换的应用及离散化算法的发展现状 1 周 第二部分学习和掌握分数阶 Fourier 变换的原理及离散化算法 重点研究离散采 样型的算法 3 周 第三部分采用 MATLAB 编程实现离散采样型离散化的算法 4 周 第四部分调试程序实现算法 并对一典型非平稳信号进行分析 验证算法及程序 的可行性和正确性 并与线性组合型算法进行比较 6 周 第五部分整理数据 撰写论文 2 周 评阅及答辩 1 周 备 注 指导教师 汪晓宁 2014 年 12 月 1 日 审 批 人 年 月 日 西南交通大学本科毕业设计 第 页 摘 要 自从法国科学家傅里叶提出 Fourier 变换以来 Fourier 变换被广泛地运用在科学 研究与工程技术领域 随着研究的深入 研究对象和研究范围也不断扩展 Fourier 变换的局限性也被逐渐地暴露出来 这种局限性主要体现在 Fourier 变换是一种从时 域到频域的全局变换 无法表示出信号的时域局部特性 而这种时域局部特性正是 非平稳信号的最根本和最关键的性质 作为傅里叶变换的推广 从分数阶 Fourier 域 与时域 频域间的关系可以看出分数阶 Fourier 变换实质上是一种统一的时频变换 它能够同时反映信号在时域和频域的信息 没有交叉项的困扰 在处理非平稳信号 时具有无可比拟的优势 而且由于分数阶傅里叶变换具有较为成熟的快速离散化算 法 因此在处理非平稳信号时 分数阶 Fourier 变换受到了广大科研人员的青睐 本文重点研究了分数阶 Fourier 变换的基本理论与离散化算法的实现 在简单地 回顾了分数阶 Fourier 变换的国内外研究进展的基础上 深入分析了分数阶 Fourier 变换的基本原理 详细研究了分数阶 Fourier 变换的离散化算法 尤其是对离散采样 型的分数阶 Fourier 变换的算法给出了详细的分解步骤 基于以上所做工作 通过 MATLAB 编程实现了分数阶 Fourier 变换的采样型离散化算法 并对多种类型的 chirp 信号进行分析 研究信号的特征 并验证程序的可行性和正确性 关键词 分数阶 Fourier 变换 离散化方法 离散采样型算法 chirp 信号 西南交通大学本科毕业设计 第 I 页 Abstract Since the French scientist Fourier put forward Fourier transform Fourier transform is widely used in the field of scientific research and engineering technology With further research object and scope has also been expanded limitations of Fourier Transform have been exposed this limitation is mainly reflected by that Fourier transform is a global transformation from time domain to the frequency domain it can not show the signal s time domain local properties but this time domain local characteristics is the most fundamental and critical nature of the non stationary signals As the promotion of the Fourier transform from the relationship of Fractional Fourier domain and time frequency domain we can see that the fractional Fourier transform is essentially a uniform time frequency conversion it can simultaneously reflected signal information in the time domain and frequency domain and it can avoid cross terms so fractional Fourier transform has unparalleled advantages in dealing with non stationary signals And because the fractional Fourier transform has mature fast discrete algorithm therefore when dealing with non stationary signals fractional Fourier transform is favored by the majority of researchers The thesis is focused on the fractional Fourier transform basic theory and the realization of its discrete algorithms In a brief review of the research progress of fractional Fourier transform the basic principles of Fractional Fourier Transform is analyzed deeply detailed study of the discrete fractional Fourier transform algorithm especially gives detailed decomposition steps for the discrete sampling algorithm type Fractional Fourier Transform Based on the work done by the above through MATLAB software simulating discrete sampling Fractional Fourier Transform algorithm On this basis analyzed the various types of chirp signal researching characteristics of signals and validating the feasibility and correctness of the program Keywords fractional Fourier transform discrete discrete sampling type algorithm chirp signal 西南交通大学本科毕业设计 第 II 页 目 录 摘 要 II ABSTRACT III 目 录 IV 第 1 章 绪 论 1 1 1 研究分数阶 FOURIER变换的背景和意义 1 1 2 分数阶 FOURIER的研究现状与应用 2 1 3 本论文的主要工作和结构安排 4 第 2 章 分数阶 FOURIER 变换的相关理论基础 5 2 1 传统傅里叶变换 5 2 1 1 连续时间傅里叶变换 5 2 1 2 离散傅里叶变换 DFT 6 2 2 WIGNER VILLE 分布 6 2 3 分数阶 FOURIER变换的基本概念 6 2 4 分数阶 FOURIER变换的基本性质 9 2 5 分数阶 FOURIER变换的离散化方法 10 2 5 1 离散采样型 DFRFT 11 2 5 2 线性组合型 DFRFT 13 2 5 3 特征分解型 DFRFT 14 2 5 4 三种离散化方法的优缺点 16 2 6 本章小结 17 第 3 章 离散采样型 FOURIER 变换的程序设计 18 3 1 量纲归一化处理和实现方法 18 3 1 1 量纲归一化原理 18 3 1 2 两种实用的量纲归一化方法 19 3 2 对离散采样型分数阶 FOURIER变换分解方法的分析 21 3 3 程序流程图 24 3 4 本章小结 27 第 4 章 分数阶 FOURIER 变换的实例分析 28 4 1 方波信号 28 4 2 CHIRP信号的分数阶傅里叶变换分析 30 4 2 1 chirp 信号的产生 30 西南交通大学本科毕业设计 第 III 页 4 2 2 chirp 信号分数阶傅里叶变换的最优阶次 p 分析 30 4 2 3 单分量 chirp 信号的分数阶傅里叶变换 33 4 2 4 多分量 chirp 信号处理 35 4 2 5 添加高斯白噪声下的 chirp 信号进行分离处理 36 4 5 本章总结 37 结论与展望 38 致 谢 39 参考文献 40 附 录 1 标题 42 附 录 2 标题 43 西南交通大学本科毕业设计 第 0 页 第 1 章 绪 论 在信号处理领域 传统的傅立叶变换是一种研究成熟 且被广泛使用的数学工 具 但是 传统傅里叶变换由于本身的局限性 表现为传统傅里叶变换是一种全局 变换 它把信号从时域旋转的角度后变换到频域 不能同时表现出信号的时频2 特性 因而不能满足非平稳信号处理的要求 为了满足对非平稳信号的处理的需要 在 1980 年 V Namias 从特征值和特征函数的角度出发 年提出了纯数学的分数阶傅 立叶变换的概念的 FRFT 分数阶傅立叶变换 1 然后有研究者从光学角度来分析 提出了分数阶傅里叶变换的概念 由于分数阶傅里叶变换可以通过简单的光学装置 来实现 所以分数阶傅里叶变换首先在光信号的处理中得到应用 直到最近几年 研究者们发现了几种 FRFT 的快速算法 使得分数阶傅里叶变换在信号处理的各个 领域得到了应用 1 1 研究分数阶 Fourier 变换的背景和意义 随着现代信号处理理论的飞速发展 信号处理已经逐渐从早期的稳定信号发展 到了非平稳 非高斯 非单采样率的复杂信号 为了满足科学研究和工程技术的需 要 研究人员发展了大量的新的信号处理工具 傅立叶变换把信号转换成具有不同频率的正弦分量的叠加 以获得该信号的整 体频谱 在连续时间信号和离散时间信号的处理中起着重要的作用 是分析和处理 平稳信号的强大工具 而在非平稳信号德处理中就变得无能为力了 作为非平稳信 号处理理论的一个重要分支 分数阶傅里叶变换由于其独特的特点和性质 在量子 光学 量子力学 模式识别 时频分析 信号处理等领域得到了广大科学研究人员 的青睐 在过去的十年里新的研究成果不断涌现 分数阶傅里叶变换可以被看作是时间 频率平面的旋转 和其他的时间 频率 分布有着密切的联系 分数傅里叶变换是传统傅立叶变换推广 不仅继承了传统傅 立叶的基本性质 还具有很多其他的优点 分数阶傅里叶变换能够在介于时域和频 域之间的分数阶域上分析和处理信号 可以呈现出信号逐渐从时域到频域变换的所 有特征 从而在某一方面突出问题的某个特征 因为分数阶傅立叶变换的离散化算法不同于传统傅里叶变换可以简单地在时域通过 直接抽样来得到 所以分数阶傅立叶变换的离散化算法已经成为最近的研究的重点 分数阶傅立叶变换的离散化算法主要有一下三种类型 离散采样型 线性组合和特 征分解型分解型 5 本文主要是针对离散采样型的分数阶傅里叶变换算法进行重点研 究 西南交通大学本科毕业设计 第 1 页 1 2 分数阶 Fourier 的研究现状与应用 傅里叶变换在研究线性系统和进行信号处理时具有非常重要的作用 但是随着 研究领域的不断发展 而且傅里叶变换本身也具有局限性 普通的傅里叶变换已经 跟不上科学研究与工程技术的需要 于是分数阶分数阶傅里叶变换应运而生 作为傅里叶变换的推广 分数阶傅里叶变换是广义上的傅里叶变换 由于通过 光学设备很容易实现分数阶傅里叶变换 因此分数阶傅里叶变换首先在在光学领域 尤其是光信号处理中得到了广泛应用 研究工作者将数学中的分数阶傅里叶变换引 入光学 形成了现代光学新分支 它是傅里叶光学的发展和延拓 通过分数阶傅里 叶变换 我们可以用一个新的观点去审视光的传播 成像 信息处理等问题 而且 还可以作为一种新的处理工具为我们处理这些问题 由于具有分数阶这一参量 使 得分数阶傅里叶变换比普通傅里叶变换具有更多的功能 从而导致它在光学和信息 处理中必将有更多的应用 因此 分数傅里叶光学已成为近年来信息光学前沿研究 的一个热点 分数阶傅里叶变换这一概念的提出最早可以追溯到 1929 年 众所周知 傅里叶 变换的特征函数是 Hermite 函数乘以 相应的特征值为 在 1929 年 exp 2 t n j Wiener 寻找到了这样一种变换核 它的特征函数是 Hermite Gauss 函数 但是它的特 征值形式比普通的傅里叶变换更完备 最后 Wiener 将这一特征值修改为 这大概就是分数阶傅里叶变换的最早工作 在 1937 年 Condon 开始独 exp jn 立地研究了分数阶傅里叶变换的基本定义 尽管 Condon 在论文中没有使用分数阶傅 里叶变换这一术语 也没有讨论分数阶傅里叶变换的基本属性 但是 Condon 有可能 世界上是第一个直接研究分数阶傅里叶定义的人 早期 对分数阶傅里叶变换的发 展做出了较大贡献的人还有 Kober 在 1939 年 他提出了另外一个不同于 Wiener 形 式的定义 在定义分数阶傅里叶变换的时候 Kober 采用了类似于傅里叶变换分数幂 形式的理论 在 1956 年 Guinand 引用了 Kober 的结论讨论了整数阶与分数阶傅里 叶变换的关系 在 1961 年 Bargmann 指出了可以用厄米多项式和积分变换的理论 来分别定义分数阶傅里叶变换 1973 年 De Bruijn 也根据了 Kober 的理论简要地在 更广泛的范围内讨论了分数阶傅里叶变换 另外 Patterson 也是一个有杰出贡献的 早期研究者 1959 年 Patterson 在一篇文章中提到的广义变换工具中就包括分数阶 傅里叶变换 1974 年 Patterson 的理论被 Knare 证明 1980 年 V Namias 为了解决 量子力学中各种条件下的 Schrodinger 方程 通过研究分析 提出了比较系统的分数 阶傅里叶变换的数学定义和基本性质 而且还讨论了其本征函数 1 1987 年 A C McBride 和 F H Kerr 在前人的基础上又更进一步研究了分数阶傅里叶变换 把分 数阶傅里叶变换看作充分光滑的函数构成的向量空间中的算子 由此建立了分数傅 里叶变换完整的理论系统 2 西南交通大学本科毕业设计 第 2 页 虽然早在 20 世纪 20 年代 分数阶 Fourier 变换的研究就已经开始了 但是 严 格来说 分数阶傅里叶变换真正受到重视则是在 1980 年 Namis 的工作后开始的 Namis 把分数阶傅里叶变换定义成传统傅里叶变换的分数幂形式 并揭示了分数阶 傅里叶变换的几种性质 这是从数学意义上开始对分数阶傅里叶变换进行了严格的 定义 1992 年 Mendlovic Lohamann 和 Ozaktas 再次开始了研究分数阶傅里叶 1 变换的工作 开始对分数阶傅里叶变换的物理意义进行定义 即把分数阶傅里叶变 换解释为信号的表示轴在时频平面的旋转 在 1993 1994 年期间 Almeida 也再次分 析了分数阶傅里叶变换 最后把分数阶傅里叶变换解释成了一种 角度 变换 在 时频平面内 信号的表示轴沿坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分数阶傅 里叶域上的表示方法 一直到 2001 年 土耳其大学的 Haldun M Ozaktas 教授 3 在他的专著 The Fractional Fourier Transform with Application in Optics and Signal processing 中为分数阶傅里叶变换的研究进行了一次全面介绍和总结 分数阶傅里叶变换具有很多传统傅里叶变换所不具备的性质 在科学研究和工 程技术等诸多领域得到了广泛应用 然而 一直以来由于缺乏分数阶傅里叶变换的 快速算法 所以在电信号处理应用的领域中 分数阶傅里叶变换一直没能占据其应 有的位置 直到 20 世纪 90 年代中期 研究人员才提出了几种分数阶傅里叶变换的 离散化方法 其中 Ozaktas 教授所提出的分解型的离散化快速算法最具应用价值 Ozaktas 将分数阶傅里叶变换的离散化过程分解为离散卷积的运算 并借助傅里叶变 换的快速算法 FFT 来实现 从而使离散 FRFT 的计算具有和 DFT 的计算相同的运 算量 这样 分数阶傅里叶变换的理论和应用方法才能够在电信号处理领域得到广 泛应用 7 研究人员之所以对分数阶傅里叶变换情有独钟 就是因为分数阶傅里叶变换具 有很多传统傅里叶变换所不具备的特殊性质 自从分数阶傅里叶变换被引人光学研 究以来 近十多年时间里 国内外研究学者围绕着分数阶傅里叶变换的定义 光学 实现 分数傅里叶变换域滤波 自成像效应 快速算法等方面进行研究 并取得了 很大的突破 分数阶次是分数阶傅里叶变换的最重要参量 分数阶次的引入使得传 统的傅里叶变换成为了分数阶傅里叶变换的一种特殊情况 同样可以说 分数阶傅 里叶变换是傅里叶变换的广义推广 传统傅里叶变换中的每一种特性和每一种应用 都是分数阶傅里叶变换的一种特殊情况 因此 在发展已相对比较成熟的情况下 分数阶 Fourier 变换已经被用在科学研究和工程技术的很多方面 如扫频滤波器 人 工神经网络 小波变换 时频分析 时频滤波和多路传输等 西南交通大学本科毕业设计 第 3 页 1 3 本论文的主要工作和结构安排 本论文的主要工作是 首先在学习传统傅里叶变换的基本理论的基础上 重点深入了解分数阶傅里叶 变换的应用 以及分数阶傅里叶变换的发展动态 然后重点学习分数阶傅里叶变换 的原理以及离散化算法的基本类型 深入探讨了基于离散采样型的分数阶傅里叶变 换的离散化算法 并对采样型的分数阶傅里叶变换的分解过程进行了细致研究 给 出了程序流程图 基于 MATLAB 编程 实现了分数阶傅里叶变换的离散采样型算法 最后通过对典型的非平稳信号进行分数阶 Fourier 变换分析 研究信号的特征 并验 证程序的可行性和正确性 论文的组织结构安排如下 第一章是绪论 简要说明本课题的研究背景和意义 简要说明了分数阶傅里叶 变换的研究进展与相关领域的应用 第二章讨论了分数阶 Fourier 变换的相关理论基础 先简单介绍了传统 Fourier 变换的发展与基本原理 从而引出分数阶 Fourier 变换 介绍分数阶傅里叶变换的基 本原理 基本性质 第三章主要分析了分数阶 Fourier 变换的离散化方法 并分析了各自的优缺点 然后着重讨论了离散采样型的离散化方法 并给出了算法流程图 第四章是对分数阶 Fourier 变换的综合实例分析与计算 通过对不同类型的非平 稳信号进行分析计算 验证程序的可行性 并与线性组合型算法进行比较 得出两 者的优缺点 最后总结与展望 对全文所做的工作进行概括性总结 并展望今后的研究方向 西南交通大学本科毕业设计 第 4 页 第 2 章 分数阶 Fourier 变换的相关理论基础 2 1 传统傅里叶变换 传统傅里叶变换的特点是将两个相对独立的时域和频域联系起来 将信号分解 成若干正弦信号的叠加 从整体上展示信号曾经出现过的所有的频率成分 适用于 对确定性信号和平稳信号进行分析 在时频平面上 可以把传统的傅里叶变换看作 是从时间轴逆时针旋转的角度后到频率轴的一个旋转变换 2 2 1 1 连续时间傅里叶变换 连续时间信号的频域可以通过连续时间信号的傅里叶变换给出 tx 2 1 dtetxjX tj 通常把连续傅里叶变换称为傅里叶谱 或者也可以称为连续时间信号谱 连续时间 信号可以由其逆变换得来 采用的是傅里叶积分 tx jX 2 2 dejXtx tj 2 1 在式 2 1 和 2 2 中 是实数 它表示的是连续时间的角频率变量 量纲为弧 度 式 2 2 给出的是傅里叶逆变换式 可将其理解成形如的无穷小负指 de tj 2 1 数信号的线性组合 其权重是角频率满足从到的复常量 由式 2 jX 2 定义可以看出通常的连续傅里叶变换都是角频率满足时的复函数 可用极坐标表示为 j ejXjX 其中 arg jX 式中 量称为傅里叶变换的幅度谱 量称为傅里叶变换的相位谱 两者 jX 都是的实函数 10 一般来说 由式 2 1 定义的的连续傅里叶变换若存在 则必 tx jX tx 须满足如下的狄里克雷 Dirichlet 条件 1 在任意的一个有限区间内 信号具有有限个不连续点 且极值的数目有限 2 该信号绝对可积 即 dttx 西南交通大学本科毕业设计 第 5 页 2 1 2 离散傅里叶变换 DFT 离散傅里叶变换 Discrete Fourier Transform DFT 的实质是对有限长序列的 傅里叶变换的有限点进行离散采样 从而实现频域的离散化 在频域 可以采用数 值计算的方法来进行数字信号的处理 这样就使得数字信号处理的灵活性增加了 设是一个有限长序列 它的长度为 M 则把的 N 点离散傅里叶变换定 nx nx 义为 2 3 kn N N n WnxnxDFTkX 1 0 1 1 0 Nk 把的离散傅里叶的逆变换定义为 kX 2 4 1 0 1 N k kn N WkX N kXIDFTnx1 1 0 Nn 式 2 3 2 4 中 N 表示为 DFT 的变换区间长度 N j N eW 2 通常把 2 3 和 2 4 称为离散傅里叶变换对 9 MN 2 2 Wigner Ville 分布 在介绍分数阶傅里叶变换之前 先介绍一个时频理论的重要概念 Wigner Ville 分布 前面讲到 由于传统傅立叶变换在处理非平稳信号时具有局限性 所以人们 又开始对时频理论进行了新的探索 在研究的过程中 有人却发现一种早己存在的 Wigner 分布对信号分析十分有效 Wigner 分布是由 E Wigner 在 1932 年提出的 直到 1948 年 Ville 才将其引入信号分析领域 所以 人们将 Wigner 分布又称之为 Wigner Ville 分布 Wigner Ville 分布的定义为 2 5 dtxtxeftW fj x 2 2 2 2 3 分数阶 Fourier 变换的基本概念 传统傅里叶变换由于研究的最为成熟 所以在信号处理领域中 传统傅里叶变 换是一种应用最为广泛的数学工具 可以把傅里叶变换看作是一种线性算子 如果 把传统傅里叶变换看做是从时间轴逆时针旋转后到频率轴的一种变换 那么则2 可以把分数阶傅里叶变换算子看作是任意角度的算子 并因此得到信号新的表示 分数阶傅里叶变换在保留了传统傅里叶变换原有性质的基础上又添加了其特有的新 特点 所以可以认为分数阶傅里叶变换是一种广义的傅里叶变换 3 西南交通大学本科毕业设计 第 6 页 可以由若干种不同的定义方式来定义分数阶傅里叶变换 需要说明的是 不同 的定义方式有不同的物理解释 在实际应用中也各有不同 所以我们根据自己的研 究需要找到合适的分数阶傅里叶变换的定义方式 一般地 函数的阶分数阶傅里叶变换可以根据需要表示为或 txp uX p txF p 可以看作算子作用在信号上 txF pp F tx 下面从线性积分变换的角度给出分数阶傅里叶变换的基本定义 定义在时域的 函数的阶分数阶傅里叶变换是一个线性积分运算 txp 2 6 dttxtuKuX pp 其中 把称为分数阶傅里 cotcsc2cot exp 22 tutujAtuKp tuKp 叶变换的核函数 其中 是整数 cot1jA 2 p np2 n 通过变量代换和式 2 6 可以进一步地表示为 2 uu 2 tt dttxtuKutxFuX p p p 20 p 0 2 7 sin cot 2 exp 22 tx tx dttx jtuut jB 12 2 n n n 其中 式 2 7 中所给出的分数阶傅里叶变换的定义是线性的 2 cot1j B 但是并不能说明它是不变的除外 因为核函数不但是的函数 还是阶数 4 np tu 的函数 对 1 有 且pp2 1 A 2 8 dtetxuX utj 2 1 可见 就是的普通 Fourier 变换 同样可以看出就是的传统 1 uX tx 1 uX tx 傅里叶变换的逆变换 因为只能出现在三角函数的参数位置上 所以 以2 p 为参数的定义是以 4 为周期的 所以只需要考察区间 即可 当 时 p 2 2 p0 p 当时 0 ufuf 2 p 2 ufuf 上述事实用算子表述为 西南交通大学本科毕业设计 第 7 页 ppnpn FFF IFF PFFPF PF FF IF 44 04 3 2 1 0 其中 是任意的整数 nn 分数阶次的可加性是分数阶傅里叶变换的一个非常重要的性质 可以这样表示 为 2 9 122121 pppppp FFFFF 这一特性可以通过重复使用式 2 1 得以证明 但系数中的平方根会使这一 A 过程复杂化 通过运用高斯积分给出直接积分表示使运算更简单 即 2 10 2112 tuKuduuKuuK pppp 综上所述 可以对分数阶傅里叶变换做出第一种解释 即仅考虑区间 10 p 时分数阶傅里叶变换就是原函数 时分数阶傅里叶变换就是普通的傅里叶0 p1 p 变换 当从 0 逐渐地变化到 1 时 其分数阶傅里叶变换则平滑地从原函数变化到p 一般的傅里叶变换 还可以把分数阶傅里叶变换定义成时间 频率平面的旋转 阶分数阶傅里叶p 变换是由变换矩阵定义的线性正则变换 变换矩阵为 2 11 cossin sincos DC BA M 其中 根据 Radon 变换 在一个平面内沿不同的直线 直线与原点距离2 p 为 方向角为 对 f x y 做线积分 得到的像就是函数的 Radond dFf 变换 的定义 可以把该矩阵看成为时 频平面上的二维旋转矩阵 图 2 1 平面旋转角到平面 wt vu 西南交通大学本科毕业设计 第 8 页 如图 2 1 所示 可以把傅里叶变换认为是 在时 频平面上将函数由 轴旋 txt 转的角度后到轴的表示形式 即原来的函数通过傅里叶变换由时域映射到夹2 w 角为的频域 以此为参照 对函数分别做 阶的分数阶傅里叶变换时 即2 1 p 2 p 分数阶算子 将函数分别旋转角度 和角度 1 p F 2 p F 1 2 11 p 2 之后 再分别映射到和阶域上的情况 2 22 p 1 p 2 p 2 4 分数阶 Fourier 变换的基本性质 与传统傅里叶变换变换的性质类似 分数阶傅里叶变换也具有许多重要的性质 根据分数阶傅里叶变换的基本定义 可以总结出如下重要的性质 1 线性性质 几个函数线性叠加的分数阶傅里叶变换等于这几个函数同级次的分数阶傅里叶 变换的线性叠加 2 12 2121 txcFtxFctxctxcF ppp 其中 是任意复常数 1 c 2 c 2 连续性质 对一个函数作 两次分数阶傅里叶变换 有 1 p 2 p 2 13 112222112211 txFFtxFFtxF pcpcpcpcpcpc 3 指数可加性和交换性 分数阶傅里叶变换可以改变其变换的先后次序 并且有可加性和交换性 2 14 211221 txFtxFFxxFF pppppp 4 可逆性质 先对一个信号进行 p 阶分数阶傅里叶变换 再对该信号进行 p 阶分数阶傅里 叶变换 则可得到原函数 2 15 0 txtxFtxFF pp 5 周期性质 分数阶傅里叶变换以 4 为周期 2 16 4 txFtxF pp 特别是当 2 16 式中 时 有4 22 pc 2 17 111111 44 txFtxFFtxF pcpcpc 西南交通大学本科毕业设计 第 9 页 这是变换面的自成像 6 平移性质 分数阶傅里叶变换平移性质 即 2 18 cos 2 cos sinexp mv pp txFmvimmtxF 其中是输入平移量 由此可见 输入信号的平移不仅会导致附加的位相因子 还m 会使分数阶傅里叶变换的输出信号产生了平移 7 相似性质 分数阶傅里叶变换的输入信号发生尺度变换时 不但会带来与尺度因子有关的 二次位相 而且还会引起分数阶傅里叶变换的级次变化 2 19 sin sin 2 22 2 cos cos 1 cot 2 exp cot cot1 c v pp txF v i ic i ctxF 其中 是输入信号的尺度变化因子 并且有 这和传统傅c2 p tantan 2 c 里叶变换有着非常大的不同 8 部分卷积与相关 可如下定义函数 的卷积操作 1 tx 2 tx 2 20 2 1 1 11 21 txFtxFFxxCONV 同理可以定义分数阶的卷积为 2 21 2121 txFtxFFxxCONV pppp 9 帕色伐定律 与传统傅里叶变换一样 分数傅里叶变换同样遵守能量守恒定理 满足帕色伐 定律 即 2 22 dvtxFdttx p 22 10 Wigner 分布 2 23 cossin sincos uuWuW ffp 这一性质表明了信号的分数阶傅里叶变换的 Wigner 分布是原函数 Wigner 分布的旋 转 2 5 分数阶 Fourier 变换的离散化方法 正如快速傅里叶变换的出现大大推动了傅里叶变换的发展一样 分数阶傅里叶 变换的快速算法也将会推动分数阶傅里叶变换在信号处理领域的快速发展 这使得 对离散分数阶傅里叶变换快速算法的研究显得特别重要 4 由分数阶傅里叶变换的定义可以明显看出 离散分数阶傅里叶变换 Discrete Fractional Fourier Transform DFRFT 的计算比 DFT 的计算复杂度要大的多 H M Ozaktas 提出 为了保证 DFRFT 定义的严密性 任何一种形式的 DFRFT 都应该 西南交通大学本科毕业设计 第 10 页 具有以下特性 7 1 酉性 即 从变换核的角度表述为 pHp FF 1 uuKuuK pp 2 旋转相加性 即 qpqp FFF 3 阶运算退化为 DFT 即 为 DFT 算子 1 pFF 1 F 4 与连续 FRFT 的近似性 5 阶数取值的连续性 此外 从实际应用来看 DFRFT 的计算复杂度要求尽可能的低 通常我们希望 DFRFT 的计算复杂度与 FFT 的计算复杂度具有可比性 如果一个信号的序列长度为 N 那么该信号的 DFRFT 的计算复杂度应为 近年来 国内外研究学者 log 2N NO 与工程人员相继提出了多种 DFRFT 的定义和快速算法 目前比较主流的 DFRFT 算 法主要有以下三种形式 1 采样型 DFRFT 2 特征分解型 DFRFT 3 线 性加权型 DFRFT 2 5 1 离散采样型 DFRFT 通过直接采样连续分数阶傅里叶变换核 我们可以得到 DFRFT 的核矩阵 对于 这种类型的 DFRFT 考虑的主要因素是分数阶傅里叶变换数值计算 由于这时只对 计算连续分数阶傅里叶变换的方法感兴趣 所以要求在这种情况下的 DFRFT 要近 似于连续分数阶傅里叶变换 同时希望所定义的 DFRFT 算法具有快速算法 一般情 况下 DFRFT 的离散化算法有下面这三种方式 1 Kraniauskas 等通过直接在信号的时域和分数阶傅里叶域采样得 DFRFT 定义的 为 6 2 24 1 0 2 cot 2 1 cot 2 1 22 N n nk N jnTjkFj enTxeAkFX 其中 T 为时域采样间隔 是分数阶傅里叶域的采样间隔 csc 2 NTF 2 Ozaktas 推导出了一种高效精确的分数阶傅里叶变换的计算方法 这种方法对原 函数的时域进行 N 点采样 并且把它映射为分数阶傅里叶域的 N 个采样点 值得说 明的是 这种算法的计算复杂度为 O N log N 满足实际工程上快速计算的需要 3 Pei 定义了另一种采样型的 DFRFT 算法 这种算法分别对连续分数阶傅里叶变换 在时域和分数阶傅里叶域选择合适的采样间隔 使 DFRFT 满足正交性和可逆性 值 得说明的是 该 DFRFT 算法比 Ozaktas 的 DFRFT 算法具有更低的计算复杂度 8 本文主要针对 Ozaktas 的算法进行着重介绍 Ozaktas 推导出了两种高效精确的 分数阶傅里叶变换的计算方法 这种方法对原函数的时域进行 N 点采样 并且把它 映射为分数阶傅里叶域的 N 个采样点 算法的计算复杂度为 O N log N 在使用这 种方法计算分数阶傅里叶变换之前 必须先对原信号做量纲归一化处理 经过量纲 西南交通大学本科毕业设计 第 11 页 归一化处理之后 信号在时域和频域的表示都是无量纲的 并且在时域和频域的支 撑长度都等于 这也说明 信号的 Wigner 分布被限制在以为半径 时频x 2 x 平面原点为中心的单位圆内 为了得到高效计算方法 这里把分数阶 Fourier 变换的 计算分解为卷积形式 根据分数阶 Fourier 变换的定义 信号的阶分数阶傅里 txa 叶变换可以写做 2 25 dteetxeAuX tujtjuj csc 2 1 2 tan 2 1 2 tan 2 1 222 由式 2 24 可以看出 分数阶傅里叶变换的计算可以分解为 3 个步骤 第一步对信号 x t 乘以一个 chirp 函数 得到的中间结果记为个 g t 通过这 一步操作使得 g t 的频域带宽变为信号 x t 的频域带宽的 2 倍 因此 g t 的采样间隔 应该为 而原始信号 x t 的采样间隔为 如果这时想要使得 x t 的采样间x 2 1x 1 隔变成 这时就需要对信号 x t 进行 2 倍插值 得到采样间隔为的信x 2 1x 2 1 号 x t 然后乘以采样间隔为的中间信号 g t x 2 1 第二步用信号 g t 和一个 chirp 信号做卷积 因为这时 g t 的带宽为 所以根x 2 据卷积定理 该 chirp 信号可以用其的带限形式表示 记为 h t x 2 2 26 deHth tj x x 其中为所卷积 chirp 信号的 Fourier 变换 H 把卷积写成离散形式 有 2 27 2 2 2 x n g x nm h x m g N Nn 这个卷积公式可以利用 FFT 去计算 第三步是乘以另外的一个 chirp 信号 这样就得到了的采样间隔为 uX 的 2N 个采样点 因为是时域 N 个采样点到分数阶傅里叶域 N 个采样点的映x 2 1 射 所以再对做 2 倍的抽取就可以得到以采样间隔为的采样 uX x 1 uX 令和 x 分别表示由和 x t 的 N 个采样点组成的列向量 那么上述计算 X uX 过程可以写成矩阵形式 2 28 xFX a I 2 29 JHDF a I 其中和表示抽取和插值操作 和分别对应 chirp 乘和 chirp 卷积操作 DJ H 上面是把分数阶 Fourier 变换表示成卷积运算的第一种方法 5 还可以把分数阶 傅里叶变换表示成另一个形式 2 30 dteetxeAuX tujtjuj csc 2 1 csc cot 2 1 csc cot 2 1 222 西南交通大学本科毕业设计 第 12 页 对式 2 30 进行采样得到 2 31 csc 2 2 1 csc cot 2 2 1 csc cot 2 2 1 222 2 2 x nm j N Nn x n j x m j ee x n xeA x m X 式 2 31 的求和可以表示成信号的卷积形式 利用 FFT 进行计算 最后对 进行 2 倍的抽取 就可以得到以为采样间隔为的采样 同样地 uX x 1 uX 上述采样过程可以用矩阵形式表示为 2 32 xFX a 2 33 JDKF a a 其中 2 34 csc 2 2 1 csc cot 2 2 1 csc cot 2 2 1 222 x nm j x n j x m j a eAnmK 2 5 2 线性组合型 DFRFT 线性组合型的 DFRFT 通过在时域和分数阶傅里叶域进行直接离散化 通过这一 操作可以把连续分数阶傅里叶变换中的变量 t 和 u 转换成变量离散傅里叶变换中的 n 和 k 得到相应的 DFRFT 因为离散化的网格 n k 不允许含有非整数的变量 也就 是说对于离散化的网格 n k 不满足旋转操作 所以这种直接离散化的方法不能产生 一个离散化的旋转算子 因此这种定义 DFRFT 的方法不会满足旋转相加性 可以考 虑从 DFT 矩阵的分数阶幂入手 去推导分数阶 Fourier 变换的离散化形式 当然 由于这种离散化分数阶 Fourier 变换的方法只是从 DFT 矩阵的分数阶幂入手 而并 没有考虑同连续分数阶 Fourier 变换的关系 因此通过这种方法得到 DFRFT 虽然满 足旋转相加性 但是得到的离散变换结果和分数阶 Fourier 变换结果差别可能会很大 12 Dickinson 和 Santhanam 通过直接取 DFT 矩阵 F的a 阶幂得到 DFRFT 矩阵 a F 2 35 3 0 i i i a FaF 其中 F 为 DFT 矩阵 为加权系数 由 2 35 给出 a i 西南交通大学本科毕业设计 第 13 页 2 36 2sin 1 2 1 2cos 1 2 1 2sin 1 2 1 2cos 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 0 ajea aea aea aea aj aj dj dj 在定义了 DFRFT 矩阵之后 离散时间信号的阶 DFRFT 表示为 txa 2 37 xFX a 由 2 36 式可知 线性组合型的 DFRFT 定义为单位矩阵 DFT 矩阵 翻转矩阵 和 IDFT 矩阵的线性加权组合 这种 DFRFT 核矩阵满足旋转相加性 由于表示为 DFT 矩阵的线性加权 所以这种算法也具有快速算法 但是 线性加权型的 DFRFT 的主要问题是 其分数阶傅里叶变换后得到的结果与本文所定义的分数阶 Fourier 变 换的结果并不匹配 即 其变换的结果和分数阶傅里叶变换的结果不具有相似性 而是否具有和连续变换相似的变换结果是一个离散变换可以称为连续变换的离散形 式的一个基本条件 12 2 5 3 特征分解型 DFRFT 从连续傅里叶变换的特征函数 Hermite 函数出发 特征分解型 DFRFT 通过 对 Hermite 函数进行近似离散化和正交投影 得到了一组正交离散化的 Hermite 特征 向量 该向量与 DFT 矩阵的 Hermite 函数形状相似 然后 按照连续分数阶傅里叶 变换的核函数谱分解表达式 构造离散分数阶傅里叶的变换矩阵 特征分解型 DFRFT 定义为 2 38 为偶数 为奇数 N N 2 2 0 2 1 0 2 T kk Naj T kk N k kaj N k T kk kaj Taa s vvevve vve VVDF 式中 为偶数 为奇数 Nvvvv Nvvvv V NN NN 210 1210 其中 V 表示为行向量 是 k 个零交点的 k 阶近似离散 Hermite 函数 通过与 F 的可交换对角矩阵 S k v 特征向量的标准正交化得来 D 是对角矩阵 其对角线元素与 V 中的列向量相对应 西南交通大学本科毕业设计 第 14 页 2 39 为偶数 为奇数 Neeediag Neeediag D jaNNjaja NjaNjaja 1 1 22 2 2 2 1 2 2 2 DFT 变换矩阵特征值的赋值规则如表 2 1 所示 需要注意的地方是当 N 为偶 数时 最后一个特征值出现跳跃 这与特征值的多样性是一致的 为了改进特征分解型的离散化算法 引入一个新的可交换对角矩阵 T 公式为 2 2 2 2 1 cos cos2 1 cos 2 cos 005 0 cos2 1 cos 2 cos 2 cos 000 00 2 cos cos2 2 coscos 0 00 cos2 2 coscos cos5 0 5 00 05 01 N N N N N N N N N N N N N N N N NN N NN N T 表 2 1 DFRFT 特征值赋值规则 特征值N 4m mmke jka 4 24 2 1 0 2 4m 1 mmke jka 4 14 2 1 0 2 4m 2 24 4 2 1 0 2 mmke jka 4m 3 24 14 2