5.倍长中线法

1 DCB A 全等三角形问题中常见的辅助线全等三角形问题中常见的辅助线 倍长中线法倍长中线法 ABC 中中 AD 是是 BC 边中线边中线 方式方式 1 直接倍长 直接倍长 图图 1 延长延长 AD 到到 E 使 使 DE AD 连接 连接 BE 方式方式 2 间接倍长 间接倍长 1 图 图 2 作 作 CF AD 于于 F 作 作 BE AD 的延长线于的延长线于 E 连接连接 BE 2 图 图 3 延长 延长 MD 到到 N 使 使 DN MD 连接 连接 CD 经典例题经典例题 例例 1 已知 如图已知 如图 ABC 中 中 AB 5 AC 3 则中线则中线 AD 的取值范围是的取值范围是 提示 画出图形 倍长中线 提示 画出图形 倍长中线 AD 利用三角形两边之和大于第三边 利用三角形两边之和大于第三边 例例 2 已知在 已知在 ABC 中 中 AB AC D 在在 AB 上 上 E 在在 AC 的延长线上 的延长线上 DE 交交 BC 于于 F 且 且 DF EF 求证 求证 BD CE 提示 方法 提示 方法 1 过 过 D 作作 DG AE 交交 BC 于于 G 证明 证明 DGF CEF E D A BC F E D CB A N D CB A M F E C A B D D A BC 2 E D F C B A 方法方法 2 过 过 E 作作 EG AB 交交 BC 的延长线于的延长线于 G 证明 证明 EFG DFB 方法方法 3 过 过 D 作作 DG BC 于于 G 过 过 E 作作 EH BC 的延长线于的延长线于 H 证明 证明 BDG ECH 例例 3 如图 如图 ABC 中 中 E F 分别在分别在 AB AC 上 上 DE DF D 是中点 试比较是中点 试比较 BE CF 与与 EF 的的 大小大小 F E C A B D F E C A B D 3 变式 如图 变式 如图 AD 为为的中线 的中线 DE 平分平分交交 AB 于于 E DF 平分平分交交 AC 于于 F 求求ABC BDA ADC 证 证 EFCFBE 提示 方法 提示 方法 1 在 在 DA 上截取上截取 DG BD 连结 连结 EG FG 证明证明 BDE GDE DCF DGF 所以所以 BE EG CF FG 利用三角形两边之和大于第三边利用三角形两边之和大于第三边 方法方法 2 倍长倍长 ED 至至 H 连结 连结 CH FH 证明 证明 FH EF CH BE 利用三角形两边之和大于第三边 利用三角形两边之和大于第三边 例例 4 已知在 已知在 ABC 中 中 AD 是是 BC 边上的中线 边上的中线 E 是是 AD 上一点 且上一点 且 BE AC 延长 延长 BE 交交 AC 于于 F 求证 求证 AF EF 提示 方法 提示 方法 1 倍长 倍长 AD 至至 G 连接 连接 BG 证明 证明 BDG CDA 三角形三角形 BEG 是等腰三角形 是等腰三角形 F E D A B C D F C B E A D F C B E A 4 方法方法 2 倍长 倍长 ED 试一试 怎么证明 试一试 怎么证明 例例 5 如图 如图 ABC 中 中 BD DC AC E 是是 DC 的中点 的中点 求证 求证 AD 平分平分 BAE 提示 倍长 提示 倍长 AE 至至 M 连接连接DM 变式一 已知变式一 已知 CD AB BDA BAD AE 是是 ABD 的中线 的中线 求证 求证 C BAE 提示 倍长提示 倍长 AE 至至 F 连结 连结 DF 证明证明 ABE FDE SAS 进而证明进而证明 ADF ADC SAS ED A BC EDC B A F E D A B C 5 变式二 已知变式二 已知 CD AB BDA BAD AE 是是 ABD 的中线 的中线 求证 求证 2AE AC 提示 借鉴变式一的方法 提示 借鉴变式一的方法 例例 6 已知 如图 在 已知 如图 在中 中 D E 在在 BC 上 且上 且 DE EC 过 过 D 作作交交ABC ACAB BADF AE 于点于点 F DF AC 求证 求证 AE 平分平分 BAC 提示 提示 方法方法 1 倍长 倍长 AE 至至 G 连结 连结 DG 方法方法 2 倍长 倍长 FE 至至 H 连结 连结 CH ED A BC A B D E C F A B D E C F 6 练习练习 1 在四边形 在四边形 ABCD 中 中 AB DC E 为为 BC 边的中点 边的中点 BAE EAF AF 与与 DC 的延长线相交的延长线相交 于点于点 F 试探究线段 试探究线段 AB 与与 AF CF 之间的数量关系 并证明你的结论之间的数量关系 并证明你的结论 提示 延长提示 延长 AE DF 交于交于 G 证明证明 AB GC AF GF 所以 所以 AB AF FC 2 已知 如图 已知 如图 ABC 中 中 C 90 CM AB 于于 M AT 平分平分 BAC 交交 CM 于于 D 交 交 BC 于于 T 过 过 D 作作 DE AB 交交 BC 于于 E 求证 求证 CT BE 提示 过提示 过 T 作作 TN AB 于于 N 证明证明 BTN ECD 3 在在 ABC 中 中 AD 平分平分 BAC CM AD 于于 M 若 若 AB AD 求证 求证 2AM AC AB F E A B C D D A B C M T E D A B C M 7 4 ABC 中 中 AD 是边是边 BC 上的中线