Steklov特征值问题元后验误差估计

SteklovSteklov 特征值问题特征值问题元后验误差估计元后验误差估计 rot EQ1 马龙 刘杰 杨一都 贵州师范大学数计学院 贵阳 中国 摘要 摘要 本文在 Carstensen 等对二阶椭圆问题后验误差估计的基础上利用杨 一都分析特征值后验误差估计的方法 分析了 Steklov 特征值问题非协调 元逼近的后验误差估计 rot EQ1 关键词 关键词 Steklov 元 后验误差估计 rot EQ1 1 1 引言引言 Steklov 特征值问题有着重要而深刻的物理背景 其特征参数出现在边界 条件上并导致了许多应用 在 2008 年 Armentano 和 Padra 9 提出并分析了 Steklov 特征值问题线性有限元逼近的后验误差估计 他们的残差型后验误差 式可以利用近似特征对局部的进行计算得到 2010 年 李思锐讨论了非协调 元的后验误差估计 文 RC 本文参照 Carstensen 等 3 对二阶椭圆问题非协调元后验误差估计的框架 和杨一都 2 分析特征值后验误差估计的方法 分析了 Steklov 特征值问题非协 调元逼近的后验误差估计 rot EQ1 2 2 SteklovSteklov 特征值问题特征值问题元逼近元逼近 rot EQ1 考虑 Steklov 方程 inuu0 onu u 1 这里是有界的凸多边形区域 是沿着穿过边界的外法向导数 2 R 问题 1 的变分形式是 求 且 满足 1 HRu 1 b u 1 Hvvubvua 2 这里 显然 是dxuvvuvua dsuvvub 2 1 vubu b a 上对称 连续 椭圆的双线性 11 HH 元是林等在 2006 年提出的一种非协调元 文 10 设是的正 rot EQ1 h 则矩形剖分 见 8 带有网格直径 是位于内部的单元边界 h h 是位于边界上的单元边界 h 元空间定义为 rot EQ1 1 21 21 22 2 lKifKdsvdsvyxyxspanvLvS ll KKK h 2 的非协调有限元近似为 求 且 使得 h hh SuR 1 b h u h hhhh Svvubvua 3 这里 定义 易知是vdxuvuvua h k k hhh h 2 1 2 1 h kkh h 非协调有限元空间的范数 是一致椭圆的 事实上 h S h a h S h h h Svvvva 2 分别考虑 1 和 3 对应的源问题 求 使得 1 Hw 1 Hvvgbvwa 4 求 使得 h h Sw h hh Svvgbvwa 5 注意 是定义在区域上有实数 阶的 Sobolev 空间 是空间 S H s s 中的范数 规定 s H 2 0 LH 根据 2 对应的源问题 4 定义算子 1 2 3 2 HHLA 这里的符号 1 HvvfbvAfa 1 2 HLT AfTf 表示限制在边界上 Bramble 和 Osborn 7 证明了 2 有算子形式 wTw 1 6 注意到关于是一致椭圆的 3 对应的边值问题 5 有唯一的解 h ah 定义 h h SLA 2 h hh SvvfbvfAa 由 1 知 3 有算子形式 22 LSLT h h fAfT hh 7 h h hh wwT 1 和是自共轭全连续算子 并且 22 LLT 22 LLTh 0 0 hTT b h 3 3 非协调元后验误差恒等式非协调元后验误差恒等式 1 和 3 分别有算子形式 6 和 7 对 Steklov 问题有下列结论成 立 引理引理 3 13 1 设是 3 的第个特征对 是 2 的第 hh u k1 b h u 个特征值 则 且存在 使得k h Mu 1 b u 2 Ch h 8 2 3 ChuAAuu b h b h 9 ChuAAuuu h h h h 10 其中是对应的特征向量空间 证明见文 1 M 下面证明下列恒等式成立 定理定理 3 13 1 设是 3 的第个特征对 是 2 的第 hh u k1 b h u 个特征值 则存在 使得k Mu 1 b u 1 RuAAuuu h hhhh h h 11 这里 2 3 1 hoR 证明证明 参照文 2 的定理 3 1 的证明方法证明 由和的定义推出A h A hhhhhhhhhh uAAuuAAuuAAuuu 12 记 h hhh h h uAAuuR 1 由三角不等式和 12 8 9 式推出 h hhhh h hhh h h uAAuuuAAuuR 1 2 3 ChuuC b hhh 显然 是的高阶小量 于是 11 把非协调元特征函数的 1 R h hhh uAAu 误差估计转化为对应的源问题 带右端 非协调有限元解的误差分析 hhu g 于是原问题非协调有限元解的后验误差指示子可以作为非协调有限元特征函数 的后验误差指示子 为了讨论非协调有限元特征值的后验误差指示子 下面给出一个引理 见 1 2 引理引理 3 23 2 设和分别是 1 和 3 的特征对 则有展开式 u hh u h hhhh b hh h hh Svuvuauvubuuuu 2 2 22 13 4 4 SteklovSteklov 问题的问题的元特征函数的后验误差指示子元特征函数的后验误差指示子 rot EQ1 定义 h h SHI 1 考虑 1 对 h ll h ldsudsuI h kk h kdsuudsI 1 Hu 应的边值问题 求使得 1 Hw in on 0 ww g w 14 设是 14 的有限元解 作 14 的辅助问题 求使得 h w 1 H in on 0 h w g 15 设是 15 的元解 显然 h rot EQ1 hh w 文 3 给出二阶椭圆问题后验误差估计框架 文 4 指出元满足该框 rot EQ1 架 对问题 15 定义误差指示子 hh l l k k 222 满足 h k hhkk kwh 2 0 22 h l l l lll lJJh 2 0 2 0 22 这里 对每一条单元的边 h l 用表示单位外法向量 表示 21 l l J 沿方向穿过 时的跃度 即 hh l l h h hllhh l l w g l J 用表示沿方向穿过 时的跃度 即 l J hh 12 l l 0 h hllhh l l l J 这里 表示沿方向的单位切向量 khkhh 对 定义 及 h hh Suw dxw K w K hh 1 l gds l g 1 h k k hhkh wwhwosc 2 0 22 l l l gghgosc 2 0 22 对 15 Carstensen 等 3 证明了下面的后验误差估计 引理引理 4 14 1 存在一个仅和的最小内角有关的正常数使得 h a C goscwoscC ha h h 16 goscwoscC h h ha 17 基于 16 17 和定理 3 1 有 定理定理 4 14 1 令是 1 的第个非协调有限元特征对 hh u k1 0 h u 是 1 的第个准确特征值 则存在 使得 k Mu 1 0 u 2 3 houoscuoscCuu hhha h h 18 2 3 houoscuoscuuC hhh h h 19 其中是对应的特征向量空间 M 证明 证明 注意到 且由偏微先验误差估计知 hh w 2 3 02 2 Chwww h 所以 2 howww h h h h 由 16 推出 2 hogoscwoscCww ha h h 20 由 17 推出 2 hogoscwoscwwC h h ha 21 在源问题 4 和 5 中 取 则 hhu g hhAu w hhhhh uuAw 由 20 知 22 2 3 houoscuoscCuAAu hhha h hhhhh 把 22 代入 11 得 18 由 21 知 2 houoscuoscuAAuC hhh h hhhhh 2 11 houoscuoscRRuAAuC uhh h hhhhh 23 所以 2 11 houoscuoscRRuAAuC hhh h hhhhh 2 3 houoscuoscuuC hhh h h 即 19 得证 在定理 4 1 中 和比较通常 都是高阶小量 所以 h uosc hhu osc 是的可靠和有效的误差指示子 h u 由定理 4 1 和引理 3 2 可推出是的可靠和有效的后验误差指示子 2 h 定理定理 4 24 2 令是 1 的第个非协调有限元特征对 是 hh u k rot EQ11 0 h u 1 的第个准确特征对 则k 24 1 22 ruoscuoscC hhhh 25 2 22 ruoscuoscC hhhh 其中是比高阶的小量 21 r r 2 证明 证明 在本文的 14 中取 由文 1 的引理 4 2 知 14 式中右端第 4 项为 uIv h 由 9 和 10 h hhh vuChvuIuvuIua 2 3 Chuu h h 由文 5 第 3 项 2 3 Chuu b h 2 22 ChuuI bb h 联系 17 得 24 联系 18 得 25 参考文献 1 Y D Yang Qin Li Sirui Li Nonconforming finite element approximations of The Steklov eigenvalue problem Applied Numerical Mathematics 59 2009 2388 2401 2 Y D Yang A posteriori error analysis of conforming nonconforming fi nite elements in Chinese Sci Sin Math 2010 40 9 843 862 doi 10 1360 57 3 Carstensen J Hu Orlando Framework for the a posteriori error analysis of nonconforming finite elements SIAM JNumer Anal 2007 107 473 502 4 W Jiang Y D Yang Aposteriori error estimates for the nonconforming element ICCASM 2010 266 270 rot EQ1 5 M G Armentano R G Duran Asymptotic lower bounds for eigenvalues by nonconforming finite element methods Electronic Transactions on Numerical Analysis 2004 17 93 101 6 Y D Yang Z M Zhang F B Lin Eigenvalue approximation form below using nonconforming finite elements Sci China Mathe 2010 53 137 150 7 J H Bramble J E Osborn Approximation of Steklov eigenvalues of non selfadjoint second order elliptic operators A D Aziz Ed The Mathematical Foundations of the finite element Method with Applications to PDE Academic New York 1972 PP 387 408 8 Ciarlet P G Basic error estimates for elliptic proplems Handbook of Numerical Analysis vol 2