18年高考真题——理科数学(江苏卷)

第 1 页 共 8 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 I 卷 理 江苏卷 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 那么 0 1 2 8A 1 1 6 8B AB 2 若复数满足 其中 是虚数单位 则的实部为 z12i zi iz 3 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示 那么这 5 位裁判打出的分 数的平均数为 4 一个算法的伪代码如图所示 执行此算法 最后输出的的值为 S 5 函数的定义域为 2 log1f xx 6 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 现从中任选 2 名学生去参加活动 则恰 好选中 2 名女生的概率为 7 已知函数的图象关于直线对称 则 sin 2 22 yx 3 x 的值是 8 在平面直角坐标系中 若双曲线的右焦点 xOy 22 22 10 0 xy ab ab 到一条渐近线的距离为 则其离心率的值是 0F c 3 2 c 9 函数满足 且在区间上 f x 4f xf xxR 2 2 则的值为 cos02 2 1 20 2 x x f x xx 15ff 10 如图所示 正方体的棱长为 2 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11 若函数在内有且只有一个零点 则在上的最大 32 21f xxaxaR 0 f x 1 1 值与最小值的和为 12 在平面直角坐标系中 为直线 上在第一象限内的点 以为直径 xOy Al 2yx 5 0B AB 的圆与直线 交于另一点 若 则点的横坐标为 ClD0AB CD A 13 在中 角的对边分别为 的平分线交于点 ABC A B C a b c 0 120ABC ABC ACD 且 则的最小值为 1BD 4ac 14 已知集合 21 Ax xnnN 2 n Bx xnN 第 2 页 共 8 页 将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 记为数列的前项和 则使得AB n a n S n an 成立的的最小值为 1 12 nn Sa n 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题 14 分 在平行六面体中 求证 1111 ABCDABC D 1 AAAB 111 ABBC 平面 平面平面 AB 11 ABC 11 ABB A 1 ABC 16 本小题 14 分 已知为锐角 求 求 4 tan 3 5 cos 5 cos2 tan 17 本小题 14 分 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆的一段圆弧 为此圆弧OMPNP 的中点 和线段构成 已知圆的半径为 40 米 点到的距离MNOPMN 为 50 米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩 形 大棚 内的地块形状为 要求均在线段上 ABCDCDP A BMN 均在圆弧上 设与所成的角为 用分别表示矩形 C DOCMN 和的面积 并确定的取值范围 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 ABCDCDP sin 且甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 4 3 18 本小题 16 分 如图 在平面直角坐标系中 椭圆点xOyC 焦点 圆的直径为 求椭圆及 1 3 2 12 3 0 3 0FF O 12 FFC 圆的方程 设直线 与圆相切于第一象限内的点 若直线 与椭圆OlOPl 有且只有一个公共点 求点的坐标 直线 与椭圆交于两点 CPlC A B 若的面积为 求直线 的方程 OAB 2 6 7l 19 本小题 16 分 记分别为函数的导函数 若存在 满足 fxgx f xg x 0 xR 且 则称为函数与的一个 点 证明 函数 00 f xg x 00 fxgx 0 x f x g xs 与不存在 点 若函数与存在 点 求 f xx 2 22g xxx s 2 1f xax lng xx s 第 3 页 共 8 页 实数的值 已知函数 对任意 判断是否存在 使函数a 2 f xxa x be g x x 0a 0b 与在区间内存在 点 并说明理由 f x g x 0 s 20 本小题16分 设是首项为 公差为的等差数列 是首项为 公比为的等比数 n a 1 ad n b 1 bq 列 设 若对均成立 求的取值范围 若 1 0a 1 1b 2q 1 nn abb 1 2 3 4n d 证明 存在 使得对均成立 11 0ab mN 1 2 m q dR 1 nn abb 2 3 1nm 并求的取值范围 用表示 d 1 b m q 数 学 II 卷 选做题选做题 本题包括四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两本题包括四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两 小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 21 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 圆的半径为 2 为圆OAB 的直径 为延长线上一点 过作圆的切线 切点为 若OPABPOC 求的长 2 3PC BC 21 B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 求的逆 23 12 A A 矩阵 若点在矩阵对应的变换作用下得到点 求点的坐标 1 A PA 3 1 P P 21 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 直线 的方程为 曲线lsin2 6 的方程为 求直线 被曲线截得的弦长 C4cos lC 21 D 选修 4 5 不等式选讲 若为实数 且 求的最小值 x y z226xyz 222 xyz 必做题必做题 两题 每题两题 每题 10 分 共计分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时分 请在答题卡指定区域内作答 解答时 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 如图 在正三棱柱中 点分别为 111 ABCABC 1 2ABAA P Q 的中点 求异面直线与所成角的余弦值 求直线与平 11 AB BCBP 1 AC 1 CC 面所成角的正弦值 1 AQC 23 设 对的一个排列 如果当时 有 则称是排列nN 1 2 n 12 n i ii st st ii st i i 的一个逆序 排列的所有逆序的总个数称为其逆序数 例如 对的一个排列 12 n i ii 12 n i ii 1 2 3 第 4 页 共 8 页 只有两个逆序 则排列的逆序数为 2 记为的所有排列中逆序数231 2 1 3 1231 n fk1 2 n 为的全部排列的个数 求的值 求的表达式 用表示 k 34 2 2ff 25 n fn n 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 解答 1 2 2 3 90 4 8 5 6 7 8 2 9 10 11 1 1 8 2 3 106 2 2 4 3 3 2 3 13 9 14 27 15 证明 在平行六面体中 因为平面 平 1111 ABCDABC D 11 ABABAB 11 ABC 11 AB 面 所以平面 11 ABC AB 11 ABC 在平行六面体中 四边形为平行四边形 又因为 所以四边 1111 ABCDABC D 11 ABB A 1 ABAA 形为菱形 因此 又因为 所以 又 11 ABB A 11 ABAB 111 ABBC 11 BCBC 1 ABBC 平面 平面 故平面 因为平面 1 ABBCB 1 AB 1 ABCBC 1 ABC 1 AB 1 ABC 1 AB 11 ABB A 所以平面平面 11 ABB A 1 ABC 16 解 因 故 又 故 因 4sin tan 3cos 4 sincos 3 22 sincos1 2 9 cos 25 此 2 7 cos22cos1 25 因为锐角 故 又 故 因此 0 5 cos 5 2 5 sin 5 因 故 而 tan2 4 tan 3 2 2tan24 tan2 1tan7 因此 2 tan2tan2 tan 1tan2tan11 17 解 连并延长交于 则 故 POMNHPHMN 10OH 过作于 则 故 从而OOEBC E OEMNCOE 因此矩形的面积为40cosOE 40sinEC ABCD 的面积为 2 40cos40sin10800 4sincoscos CDP 过作 分别交圆弧和的延 1 2 40cos4040sin1600 cossincos 2 NGNMN OE 长线于和 则 令 则 当GK10GKKN 0 GOK 00 sin1 4 06 第 5 页 共 8 页 时 才能作出满足条件的矩形 所以 0 2 ABCD sin1 4 1 由题设甲的单位面积的年产值为 乙的单位面积的年产值为 则年总产值为4k 30k k 0 4800 4sincoscos31600 cossincos8000sincoscos2kkk 设 则 0 sincoscos2f 22 cossinsin12sin1 sinf 令 得 当时 为增函数 当时 0f 6 0 6 0f f 6 2 为减函数 因此 当时 取到最大值 从而能使甲 乙两种蔬菜的年 0f f 6 f 总产值最大 18 解 因为椭圆的焦点为 可设椭圆 又C 12 3 0 3 0FF C 22 22 10 xy ab ab 点在椭圆上 所以 解得 因此 椭圆的方程为 因为 1 3 2 C 22 22 31 1 4 3 ab ab 2 2 4 1 a b C 2 2 1 4 x y 圆的直径为 所以其方程为 O 12 FF 22 3xy 设直线 与圆相切于 则 因 lO 0000 0 0P xyxy 22 00 3xy l 即 由得 0 00 0 x yyxx y 00 3x xy y 2 2 00 1 4 3 x y x xy y 2222 0000 4243640 xyxx xy 因为直线 与椭圆有且只有一个公共点 所以lC 因 故 因此 2 22222 000000 244 43644820 xxyyyx 00 0 x y 0 2x 0 1y 点的坐标为 因 故 设 P 2 1 2 61 72 OAB SABOP 4 2 7 AB 1122 A x yB xy 由 得 所以 22 000 1 2 22 00 24482 2 4 xyx x xy 2 2 2 0 12 2 0 1 x ABxx y 因 故 即 解得 22 2 00 0 22 22 0 00 482 1 4 yx x y xy 22 00 3xy 2 0 2 2 2 0 162 32 49 1 x AB x 42 00 2451000 xx 舍 或 则 因此 从而直线 的方程为 2 0 20 x 2 0 5 2 x 2 0 1 2 y 102 22 P l53 20 xy 第 6 页 共 8 页 19 解 由题 由且 得 1fx 22gxx f xg x fxgx 此方程组无解 因此 与不存在 点 2 22 122 xxx x f x g xs 由题 设是与的 点 则 即 2fxax 1 gx x 0 x f x g xs 2 00 00 1ln 21 axx axx 可得 故 从而 当时 满足方 2 00 2 0 1ln 21 axx ax 0 1 ln 2 x 1 2 0 xe 2 0 1 22 e a x 2 e a 1 2 0 xe 程组 即是与的 点 因此 0 x f x g xs 2 e a 对任意 设 因 且的图象是0a 32 3h xxxaxa 00ha 120h h x 不间断的 所以存在 使得 令 则 由题 0 0 1x 0 0h x 0 3 0 0 2 1 x x b ex 0b 2fxx 故 即 此时 满足方 2 1 x bex gx x 2 2 1 2 x x be xa x bex x x 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2 1 12 2 1 x x x x xe xa exx exx x exx 0 x 程组 即是函数与在内的一个 点 因此 对任意 存在 使函 0 x f x g x 0 1s0a 0b 数与在内存在 点 f x g x 0 s 20 解 由条件知 因即对 1 n and 1 2n n b 1 nn abb 1 12 1 n nd 均成立 故 得 1 2 3 4n 1 1 13d 325d 739d 75 32 d 由题 若存在 使得成立 即 1 1 n abnd 1 1 n n bb q d 1 2 3 1 nn abb nm 因此当时 1 111 1 2 3 1 n bndbqb nm 2 3 1nm 11 11 2 11 nn qq bdb nn 因 故 从而 对均成立 所以 1 2 m q 1 12 nm qq 1 1 2 0 1 n q b n 1 1 0 1 n q b n 2 3 1nm 取时 均成立 下面讨论数列的最小0d 1 2 3 1 nn abb nm 1 2 2 3 1 1 n q nm n 值 当时 当2nm 1 11 2 222 111 nnn nnnnn n qqq qqnqqnq nnn nn n 第 7 页 共 8 页 时 有 从而 因此 当时 数列12 m q 2 nm qq 1 20 nnn n qqq 21nm 单调递增 故数列的最大值为 设 当时 1 2 1 n q n 1 2 1 n q n 2 m q m 21 x f xx 0 x 故单减 从而 当时 ln2 1ln2 20 x fxx f x 01f xf 2nm 因此 当时 数列单调递减 故 1 1 111 211 1 nn n q n qq f nnnnn 21nm 1 1 n q n 数列的最小值为 因此 的取值范围为 1 1 n q n m q m d 1 1 2 m m b q bq mm 21 A 解 连结 因为与圆相切 所以 又因为 所以OCPCOPCOC 2 3PC 2OC 因为 所以为斜边的中点 从而 22 4OPPCOC 2OB BRt OCP 2BC 21 B 解 因为 所以可逆 从而 23 12 A det2 23 10A A 1 23 12 A 设 则 所以 因此 点 P 的坐标为 P x y 233 121 x y 1 33 11 x A y 3 1 21 C 解 由题知曲线是以为圆心 半径为 2 的圆 由得 C 2 0C sin2 6 34xy 故直线 经过点 倾斜角为 因此点为直线 与圆的一个交点 设另一个交点为 则 l 4 0A6 AlCB 连 因为直径 故 所以 因此直线 被圆截 6 AOB OBOA2 OBA 4cos2 3 6 AB lC 得的弦长为 2 3 21 D 解 由柯西不等式得 故 2 222222 1222236xyzxyz 222 4xyz 当且仅当即 时取等号 所以的最小值为 4 122 xyz 2 3 x 4 3 yz 222 xyz 22 解 如图 在正三棱柱中 设的中点分别为 111 ABCABC 11 AC AC 则 以为基底 1 O OOBOC 1 OOOC 1 OOOB 1 OB OC OO 建立空间直角坐标系 因 故 Oxyz 1 2ABAA 0 1 0A 3 0 0B 0 1 0C 1 0 1 2A 1 3 0 2B 1 0 1 2C 第 8 页 共 8 页 因为的中点 故 从而 所以P 11 AB