圆周角与圆心角复习讲义

1 知识框架知识框架 圆心角定理 圆心角定理 同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对的弧相等 弦心距相等 此定 理也称 1 推 3 定理 即上述四个结论中 只要知道其中的 1 个相等 则可以推出其它的 3 个结论 即 AOB DOE AB DE OC OF 弧 弧BABD 1 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即 AOB 和 ACB 是弧所对的圆心角和圆周角AB AOB 2 ACB 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的 弧是等弧 即 在 中 C D 都是所对的圆周角O C D 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧是半 圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 或 C 90 OAB C 90 是直径AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 即 在 中 OC OA OBABC 是直角三角形或 C 90 ABC 注 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边上的 中线等于斜边的一半的逆定理 圆内接四边形 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 外角等于它的内对角 典型例题典型例题 考点一 圆心角 弧 弦的位置关系考点一 圆心角 弧 弦的位置关系 例例 1 如图 BE 是半径为 6 的圆 D 的 四分之一圆周 C 点是 BE 上的任意一点 ABD 是等边三角形 则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是 例例 2 下列语句中正确的是 A 相等的圆心角所对的弧相等 B 平分弦的直径垂直于弦 C 长度相等的两条弧是等弧 D 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 例例 3 有下列说法 等弧的长度相等 直径是圆中最长的弦 相等的圆心角对的弧相等 圆 中 90 角所对的弦是直径 同圆中等弦所对的圆周角相等 其中正确的有 例例 4 2007 重庆 如图 AB 是 O 的直径 AB AC BC 交 O 于点 D AC 交 O 于点 E BAC 45 给出下列五个结论 EBC 22 5 BD DC AE 2EC 劣弧 AE 是劣 孤 DE 的 2 倍 AE BC 其中正确结论的序号是 考点二 圆周角定理考点二 圆周角定理 例例1 如图 ABC 中 A 60 BC 为定长 以 BC 为直径的 O 分别交 AB AC 于点 D E 连接 DE 已知 DE EC 下列结论 BC 2DE BD CE 2DE 其中一定正确的有 F E D C B A O D C B A O C BA O C BA O 2 D C B E A O A C B E D O A C B 例例2 2011 衢州 一个圆形人工湖如图所示 弦 AB 是湖上的一座桥 已知桥 AB 长100m 测得 圆周角 ACB 45 则这个人工湖的直径 AD 为 例例 3 2010 荆门 如图 MN 是 O 的直径 MN 2 点 A 在 O 上 AMN 30 B 为 AN 的中点 P 是直径 MN 上一动点 则 PA PB 的最小值为 考点三 内接圆的四边形的性质考点三 内接圆的四边形的性质 例例1 2006 宁德 如图 四边形 ABCD 为 O 的内接四边形 若 BCD 110 则 BAD 为 例例 2 2008 济宁 如图 四边形 ABCD 中 AB AC AD 若 CAD 76 则 CBD 度 例例 3 如图 四边形 ABCD 内接于 O AC 平分 BAD 交 BD 于点 E O 的半径为 4 BAD 60 BCA 15 则 AE 课堂练习课堂练习 1 2004 南宁 如图 D E 分别是 O 的半径 OA OB 上的点 CD OA CE OB CD CE 则 AC 与 CB 弧长的大小关系是 2 如图 已知 AB 是 O 的直径 PA PB P 60 则弧 CD 所对的圆心角等于 度 3 2009 哈尔滨 如图 在 O 中 D E 分别为半径 OA OB 上的点 且 AD BE 点 C 为弧 AB 上一点 连接 CD CE CO AOC BOC 求证 CD CE 4 2011 重庆 如图 O 是 ABC 的外接圆 OCB 40 则 A 的度数等于 5 2011 福建 如图 AB 是 O 的直径 C D 两点在 O 上 若 C 40 则 ABD 的度数为 6 2005 镇江 如图 O 是等边三角形 ABC 的外接圆 D E 是 O 上两点 则 D 度 E 度 7 在 ABC 中 A 150 BC 6cm 则 ABC 的外接圆的半径为 cm 8 如图 点 A B C D E 将圆五等分 则 CAD 度 9 如图 点 A B C 在 O 上 C 150 则 AOB 10 如图 ABC 内接于 O AD 是直径 AD BC 相交于点 E 若 ABC 50 通过计算 请 再写出其他两个角的度数 不添加新的字母或线段 3 第 8 题 第 9 题 第 10 题 11 如图所示 已知 AB 和 DE 是 O 的直径 弦 AC DE 求证 CE BE 12 如图所示 ABC 为圆内接三角形 AB AC A 的平分线 AD 交圆于 D 作 DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 BE CF 13 如图所示 在 ABC 中 BAC 与 ABC 的平分线 AE BE 相交于点 E 延长 AE 交 ABC