全等三角形(历年中考难题)

红城教育培训学校数学教研组制作红城教育培训学校数学教研组制作 制作人 汪皞 监制 汪校长 黄校长 童老师 全等三角形专题 一 全等三角形专题 一 姓名 姓名 1 1 如图 平分于点 点是射线上的一个动点 OP MON PAON AQOM 若 则的最小值为 2PA PQ A 1 B 2 C 3 D 4 2 2 如图所示 两块完全相同的含 30 角的直角三角形叠放在一起 且 DAB 30 有以下四个结论 AF BC ADG ACF O为BC的中点 AG DE 4 其中正确结论的序号是 错填3 得 0 分 少填酌情给分 3 3 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 AC 2AB 点 D 是 AC 的中点 将一块锐角为 45 的直角三角板如图放置 使三角板斜边的两个端点分别与 A D 重合 连结 BE EC 试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系 并证明你的猜想 A B C D E 4 4 八 1 班同学上数学活动课 利用角尺平分一个角 如图 设计了如下方案 AOB 是一个任意角 将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA OB 之间 移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M N 重合 即 PM PN 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是 AOB 的平分线 AOB 是一个任意角 在边 OA OB 上分别取 OM ON 将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA OB 之间 移动角尺 使角尺两边相同的刻度与 M N 重合 即 PM PN 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是 AOB 的平分线 1 方案 方案 是否可行 若可行 请证明 若不可行 请说明理由 2 在方案 PM PN 的情况下 继续移动角尺 同时使 PM OA PN OB 此方案是否可行 请说明理由 第 6 题 A O N M Q P 5 5 2010 湖南娄底 湖南娄底 如图 10 在四边形 ABCD 中 AD BC E 为 CD 的中点 连结 AE BE BE AE 延 长 AE 交 BC 的延长线于点 F 求证 1 FC AD 2 AB BC AD 6 6 2010 江苏扬州 江苏扬州 电子跳蚤游戏盘是如图所示的 ABC AB 6 AC 7 BC 8 如果跳蚤开始时在 BC 边的 P0 处 BP0 2 跳蚤第一步从 P0跳到 AC 边的 P1 第一次落点 处 且 CP1 CP0 第二步从 P1跳到 AB 边的 P2 第一 次落点 处 且 AP2 AP1 第三步从 P2跳到 BC 边的 P3 第三次落点 处 且 BP3 BP2 跳蚤按上述规则一致 跳下去 第 n 次落点为 Pn n 为正整数 则点 P2007与 P2010之间的距离为 A 1 B 2 C 3 D 4 A BC P0P3 P2 P1 第 8 题 7 7 2010 安徽蚌埠 安徽蚌埠 在中 分别是上的点 交于点ABC ED ACBC CDBDCEAE2 2 BEAD 若 则四边形的面积为 F3 ABC SDCEF 8 8 2010 安徽蚌埠 安徽蚌埠 三角形纸片内有 100 个点 连同三角形的顶点共 103 个点 其中任意三点都不共线 现以这 些点为顶点作三角形 并把纸片剪成小三角形 则这样的三角形的个数为 9 观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律 则第 5 个大三角形中白色三角形有 个 第1个第2个第3个 10 2009 临沂 数学课上 张老师出示了问题 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中点 且 EF 交正方形外角的平行线 CF 于点 F 求证 AE EF 90AEF DCG 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取 AB 的中点 M 连接 ME 则 AM EC 易证 所以 AMEECF AEEF 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 2 如果把 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 上 除 B C 外 的任意一点 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成立 你认为小颖的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正 确 请说明理由 2 小华提出 如图 3 点 E 是 BC 的延长线上 除 C 点外 的任意一点 其他条件不变 结论 AE EF 仍 然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 A D F CGE B 图 1 A D F CGE B 图 2 A D F CGE B 图 3 11 2009 年牡丹江 已知中 为边的中点 RtABC 90ACBCCD AB90EDF 绕点旋转 它的两边分别交 或它们的延长线 于 EDF DACCBEF 当绕点旋转到于时 如图 1 易证EDF DDEAC E 1 2 DEFCEFABC SSS 当绕点旋转到不垂直时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成立 若成立 请给予EDF DDEAC和 证明 若不成立 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需证明 DEF S CEF S ABC S A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F 12 2008 山东泰安 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置 图 2 是由它抽象出的几何图形 在同一条直线上 连结 BCE DC 图 1图 2 D C E A B 第 22 题 1 请找出图 2 中的全等三角形 并给予证明 说明 结论中不得含有未标识的字母 2 证明 DCBE 13 在等边的两边 AB AC 所在直线上分别有两点 M N D 为外一点 且 ABC ABCA 60MDN BD DC 探究 当 M N 分别在直线 AB AC 上移动时 BM NC MN 之间的数量关系及 120BDC 的周长 Q 与等边的周长 L 的关系 AMN ABC 图 1 图 2 图 3 I 如图 1 当点 M N 边 AB AC 上 且 DM DN 时 BM NC MN 之间的数量关系是 此时 L Q II 如图 2 点 M N 边 AB AC 上 且当 DMDN 时 猜想 I 问的两个结论还成立吗 写出你的猜想 并加以证明 III 如图 3 当 M N 分别在边 AB CA 的延长线上时 若 AN 则 Q 用 L 表示 xx F E D CB A 14 已知四边形中 绕ABCDABAD BCCD ABBC 120ABC 60MBN MBN 点旋转 它的两边分别交 或它们的延长线 于 BADDC EF 当绕点旋转到时 如图 1 易证 MBN BAECF AECFEF 当绕点旋转到时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成立 若成立 请给予证MBN BAECF 明 若不成立 线段 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需证明 AECF EF 15 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 BE DF EF 求 EAF 的度数 16 如图 OP 是 MON 的平分线 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形 请你参考 这个作全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系 2 如图 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中所得结论是否 仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 图 1 A B CD E F M N 图 2 A B CD E F M N 图 3 A B C D E F M N 第 23 题图 OP A M N E B C DF A C E F B D 图 图 图 O E D CB A 17 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 求证 OE OD 18 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 说明 BE CF 的理由 2 如果 AB AC 求 AE BE 的长 ab 1 如图 中 AB 2AC AD 平分 且 AD BD 求证 CD ACABC BAC E D G F C B A C D B A 全等三角形难题 1 在 ABC 中 AB AC A 20 D E 分别是AB AC 上的点 DCB 50 EBC 60 求 DEB 的度数 2 在三角形 ABC 中 AB AC AD 平分角 ABC 交 AC 于 D AD BD BC 求角 A 的度数 3 在直角三角形ABC 中 BAC 90 AB AC 点D E 是直线AC 上的两个动点 且AD EC AM BD 垂足为M AM 的延长线交BC 于N 直线BD 直线NE 相交于点F 试判断三角形DEF 的形状 并加以证明 4 如图 在 ABC 中 C 2 B D 是BC 上的一点 且AD AB 点E 是BD的中 点 连结AE 1 求证 AEC C 2 求证 BD 2AC 3 若AE 6 5 AD 5 那么 ABE 的周长是多少 全等三角形中的动态几何问题全等三角形中的动态几何问题 汪老师 动态几何题 是指以几何知识和几何图形为背景 渗透运动变化观点的一类试题 而通过对几何图 形运动变化 使同学们经历由观察 想象 推理等发现 探索的过程 是中考数学试题中 考查创新意识 创新 能力的重要题型 解决这类问题 要善于探索图形的运动特点和规律 抓住变化中图形的性质与特征 化动为静 以静制动 本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例 谈谈这类问题的解题思路 供同学们学习时参考 例 1 扬州 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADC CEB DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DE AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系 并加以证明 证明 评注 本题以直线 MN 绕点 C 旋转过程中与 ABC 的不同的位置关系为背景设置的三个小题 第 1 小题的两个 小题中 是 的台阶 只要证明了 不难得到 第 1 小题思路又作为解决第 2 小题的借鉴 第 3 小 题为探索性问题 探索的结论及证明过程可借鉴第 1 2 两小题 整个试题考查了同学们从具体 特殊的情形出 发去探究运动变化过程中的规律的能力 C B A E D 图 1 N M A B C D E M N 图 2 A C B E D N M 图 3 例 2 锦州 如图 A ABC 和 CEF 是两个大小不等的等边三角形 且有一个公共顶点 C 连接 AF 和 BE 1 线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系 请证明你的结论 2 将图 A 中的 CEF 绕点 C 旋转一定的角度 得到图 B 1 中的结论还成立吗 作出判断并说明理由 3 若将图 A 中的 ABC 绕点 C 旋转一定的角度 请你画山一个变换后的图形 C 草图即可 1 中的结 论还成立吗 作出判断不必说明理由 4 根据以上证明 说理 画图 归纳你的发现 答 B A A B O C 全等三角形提高练习全等三角形提高练习 1 如图所示 ABC ADE BC 的延长线过点 E ACB AED 105 CAD 10 B 50 求 DEF 的度数 AB C F D E 2 如图 AOB 中 B 30 将 AOB 绕点 O 顺时针旋转 52 得到 A OB 边 A B 与边 OB 交 于点 C A 不在 OB 上 则 A CO 的度数为 3 如图所示 在 ABC 中 A 90 D E 分别是 AC BC 上的点 若 ADB EDB EDC 则 C 的度数是 D E CB A 4 如图所示 把 ABC 绕点 C 顺时针旋转 35 得到 A B C A B 交 AC 于点 D 若 A DC 90 则 A B D A C B A 5 已知 如图所示 AB AC AD BC 于 D 且 AB AC BC 50cm 而 AB BD AD 40cm 则 AD A B D C 6 如图 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC 分别过点 B C 作过点 A 的直线的垂线 BD CE 垂足为 D E 若 BD 3 CE 2 则 DE DAE C B 7 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DE AB DF AC 垂足分别是 E F 连接 EF 交 AD 于 G AD 与 EF 垂直吗 证明你的结论 BDC F A EG 8 如图所示 在 ABC 中 AD 为 BAC 的角平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F ABC 的面积是 28cm2 AB 20cm AC 8cm 求 DE 的长 A E F B D C 9 已知 如图 AB AE B E BAC EAD CAF DAF 求证 AF CD B E DF C 10 如图 AD BD AD BC 于 D BE AC 于 E AD 于 BE 相交于点 H 则 BH 与 AC 相等吗 为什么 A A B D C EF G F H A D C E B 11 如图所示 已知 AD 为 ABC 的高 E 为 AC 上一点 BE 交 AD 于 F 且有 BF AC FD CD 求证 BE AC B A E H D C 12 DAC EBC 均是等边三角形 AE BD 分别与 CD CE 交于点 M N 求证 1 AE BD 2 CM CN 3 CMN 为等边三角形 4 MN BC D A CB NM 13 已知 如图 1 点 C 为线段 AB 上一点 ACM CBN 都是等边三角形 AN 交 MC 于点 E BM 交 CN 于点 F 1 求证 AN BM 2 求证 CEF 为等边三角形 3 将 ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90 O 其他条件不变 在图 2 中补出符合要求的图形 并 判断第 1 2 两小题的结论是否仍然成立 不要求证明 14 如图所示 已知 ABC 和 BDE 都是等边三角形 下列结论 AE CD BF BG BH 平分 AHD AHC 600 BFG 是等边三角形 FG AD 其中正确的有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 E E 15 已知 BD CE 是 ABC 的高 点 F 在 BD 上 BF AC 点 G 在 CE 的延长线上 CG AB 求证 AG AF BC D A G E F 16 如图 在 ABC 中 BE CF 分别是 AC AB 两边上的高 在 BE 上截取 BD AC 在 CF 的延长线上截 取 CG AB 连结 AD AG 求证 1 AD AG 2 AD 与 AG 的位置关系如何 17 如图 已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点 点 F 在 BC 上 且 DAE FAE 求证 AF AD CF A B F C E D 18 如图所示 已知 ABC 中 AB AC D 是 CB 延长线上一点 ADB 60 E 是 AD 上一点 且 DE DB 求 证 AC BE BC A D E B C G H F E D C B A 19 如图所示 已知在 AEC 中 E 90 AD 平分 EAC DF AC 垂足为 F DB DC 求证 BE CF A B F C D E 20 已知 如图 3 50 AB DE 直线 AE BD 相交于 C B D 180 AF DE 交 BD 于 F 求证 CF CD 21 如图 OC 是 AOB 的平分线 P 是 OC 上一点 PD OA 于 D PE OB 于 E F 是 OC 上一点 连接 DF 和 EF 求证 DF EF 22 已知 如图 BF AC 于点 F CE AB 于点 E 且 BD CD 求证 BDE CDF 点 D 在 A 的平分线上 23 如图 已知