2009年全国高中数学联赛试题及答案

声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 20092009 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 受中国数学会委托 2009 年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办 中国数学会普 及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作 2009 年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部 2000 年 全日制普通高级中学数 学教学大纲 中所规定的教学要求和内容 但在方法的要求上有所提高 主要考查学生对 基础知识和基本技能的掌握情况 以及综合和灵活运用的能力 全卷包括 8 填空题和 3 道 大题 满分 100 分 答卷时间为 80 分钟 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨 在知识方面有所扩展 适当 增加一些竞赛教学大纲的内容 全卷包括 4 道大题 其中一道平面几何题 试卷满分 200 分 答卷时问为 150 分钟 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 一一 试试 一 填空 每小题 7 分 共 56 分 1 若函数且 则 2 1 x f x x n n fxffff x 99 1f 2 已知直线和圆 点在直线上 90L xy 22 228810Mxyxy AL 为圆上两点 在中 过圆心 则点横坐标范围为 BCMABC 45BAC ABMA 3 在坐标平面上有两个区域和 为 是随 变化的区域 它由MNM 0 2 y yx yx Nt 不等式所确定 的取值范围是 则和的公共面积是函数 1txt t01t MN f t 4 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数 1111 2007 12213 a nnn n 的值为 a 5 椭圆上任意两点 若 则乘积的 22 22 1 xy ab 0ab PQOPOQ OPOQ 最小值为 6 若方程仅有一个实根 那么的取值范围是 lg2lg1kxx k 7 一个由若干行数字组成的数表 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个 数之和 最后一行仅有一个数 第一行是前个正整数按从小到大排成的行 则最后一100 行的数是 可以用指数表示 8 某车站每天 都恰有一辆客车到站 但到站的时刻是随8 00 9 00 9 00 10 00 机的 且两者到站的时间是相互独立的 其规律为 到站时刻 8 10 9 10 8 30 9 30 8 50 9 50 概率 1 6 1 2 1 3 一旅客到车站 则它候车时间的数学期望为 精确到分 8 20 二 解答题 1 14 分 设直线 其中 为整数 与椭圆交于不同两 l ykxm km 22 1 1612 xy 点 与双曲线交于不同两点 问是否存在直线 使得向量AB 22 1 412 xy CDl 若存在 指出这样的直线有多少条 若不存在 请说明理由 0ACBD 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 2 15 分 已知 是实数 方程有两个实根 数列p 0q q 2 0 xpxq 满足 n a 1 ap 2 2 apq 12 34 nnn apaqan 求数列的通项公式 用 表示 n a 若 求的前项和 1p 1 4 q n an 3 15 分 求函数的最大和最小值 2713yxxx 加试加试 一 填空 共 4 小题 每小题 50 分 共 200 分 9 如图 分别为锐角三角形 的外接圆上弧 MNABC AB A BC 的中点 过点作交圆于点 为的内心 连接并延长交圆 A ACCPCMN PIABC PI 于 T 求证 MP MTNP NT 在弧 不含点 上任取一点 记 的内 A ABCQQA TBAQC QCB 心分别为 1 I 2 I I T Q P NM C B A 求证 四点共圆 Q 1 I 2 IT 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 10 求证不等式 2 2 1 1 1ln 12 n k k n k 1n 11 设 是给定的两个正整数 证明 有无穷多个正整数 使得与 互klmk Ck m l 素 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 12 在非负数构成的数表3 9 111213141516171819 212223242526272829 313233343536373839 xxxxxxxxx Pxxxxxxxxx xxxxxxxxx 中每行的数互不相同 前 6 列中每列的三数之和为 1 172839 0 xxx 27 x 37 x 18 x 均大于 如果的前三列构成的数表 38 x 19 x 29 xP 111213 212223 313233 xxx Sxxx xxx 满足下面的性质 对于数表中的任意一列 2 9 均存在某个 OP 1 2 3 k k k x x x 1k 使得 123i 求证 123 min ikiiii xuxxx 最小值 2 3 一定自数表的不同列 123 min iiii uxxx 1i S 存在数表中唯一的一列 2 3 使得数表P 1 2 3 k k k x x x 1k 3 3 1112 1 2122 2 3132 3 k k k xxx Sxxx xxx 仍然具有性质 O 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错误 敬请谅解 更多资料详见华东师大版 高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦 20 声明 本资料未经过编辑加工 可能存在错