【创新设计】2011高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题二 专题检测（二） 理

用心 爱心 专心 1 专题检测卷专题检测卷 二二 集合与常用逻辑用语 函数 导数集合与常用逻辑用语 函数 导数 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共计 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 2010 课标全国 已知集合A x x 2 x R R B x 4 x Z Z 则A B x A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 1 2 解析 由已知A x x 2 x R R x 2 x 2 B x 4 x Z Z x 0 x 16 x Z Z x 则A B x 0 x 2 x Z Z 0 1 2 故选 D 答案 D 2 2010 海南三亚模拟 设A x x 3 B y y x2 t 若A B 则实数t的取值范围是 A t 3 B t 3 C t 3 D t 3 解析 A 3 3 B t 由A B 知t 3 答案 A 3 已知M x y x2 1 N y y x2 1 那么M N等于 A B M C N D R R 解析 M R R N y y 1 M N N 答案 C 4 2010 广东广州模拟 若函数f x loga x 1 a 0 a 1 的定义域和值域都是 0 1 则a等于 A B 1 32 C D 2 2 2 解析 f x loga x 1 的定义域是 0 1 0 x 1 则 1 x 1 2 当a 1 时 0 loga1 loga x 1 loga2 1 a 2 当 0 a 1 时 loga 2 loga x 1 loga1 0 与值域是 0 1 矛盾 综上 a 2 答案 D 5 2010 海南三亚质检 已知函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 则 用心 爱心 专心 2 A f 0 f 1 f 2 B f 1 f 0 f 2 C f 1 f 2 f 0 D f 2 f 1 f 0 解析 由f x 2 在 0 2 上单调递减 f x 在 2 0 上单调递减 y f x 是偶函数 f x 在 0 2 上单调递增 又f 1 f 1 f 0 f 1 f 2 答案 A 6 已知函数f x x3 bx2 cx d在区间 1 2 上是减函数 那么b c A 有最大值 B 有最大值 15 2 15 2 C 有最小值 D 有最小值 15 2 15 2 解析 由f x 在 1 2 上是减函数 知 f x 3x2 2bx c 0 x 1 2 则Error 15 2b 2c 0 b c 15 2 答案 B 7 2010 山东聊城摸底 函数f x 的图象如下图所示 下列数值排序正确的是 A 0 f 2 f 3 f 3 f 2 B 0 f 3 f 3 f 2 f 2 用心 爱心 专心 3 C 0 f 3 f 2 f 3 f 2 D 0 f 3 f 2 f 2 f 3 解析 f 2 f 3 是x分别为 2 3 时对应图象上点的切线斜率 f 3 f 2 f 3 f 2 3 2 f 3 f 2 是图象上x为 2 和 3 对应两点连线的斜率 故选 B 答案 B 8 2010 济宁质检 下列各小题中 p是q的充要条件的是 p m6 q y x2 mx m 3 有两个不同的零点 p 1 q y f x 是偶函数 f x f x p cos cos q tan tan p A B A q UB UA A B C D 解析 对于 q y x2 mx m 3 有两个不同的零点 m2 4 m 3 0 p m 2 或m 6 对于 y f x 为偶函数 但不一定满足 1 f x f x 不是充要条件 对于 若 满足 cos cos 但不满足 tan tan 不是充要条件 6 6 对于 p A B A A B q UB UA 答案 D 9 2010 山东临沂模拟 已知函数f x x log3x 若实数x0是方程f x 0 的解 且 0 x1 x0 则 1 5 f x1 的值 A 恒为正 B 等于零 C 恒为负 D 不大于零 解析 数形结合 由于f 1 0 f 3 0 所以x0 1 3 在 1 3 上g x x是减函数 x log3x是增函数 所以f x x log3x在 1 3 上是减函数 所 1 5 1 5 以f x1 f x0 0 故选 A 答案 A 10 2010 江苏无锡摸底 若a 2 则方程x3 ax2 1 0 在 0 2 上恰好有 1 3 A 0 个根 B 1 个根 C 2 个根 D 3 个根 解析 设f x x3 ax2 1 则f x x2 2ax x x 2a 1 3 用心 爱心 专心 4 当x 0 2 时 f x 0 f x 在 0 2 上为减函数 又f 0 f 2 1 4a 0 f x 0 在 0 2 上恰好有 1 个根 故选 B 8 3 4a 1 11 3 答案 B 11 2010 山东泰安联考 已知函数f x 的定义域为 2 部分对应值如下表 f x 为f x 的 导函数 函数y f x 的图象如图所示 若两正数a b满足f 2a b 1 则的取值范围是 b 3 a 3 x 2 04 f x 1 1 1 A B 6 7 4 3 3 5 7 3 C D 2 3 6 5 1 3 3 解析 由f 2a b 1 及a 0 b 0 得f 2a b f 4 又f x 在 0 上单增 0 2a b 4 如图 kPA kPB b 3 a 3 P 3 3 kPA kPB 3 5 7 3 故 故选 B 3 5 b 3 a 3 7 3 答案 B 12 2010 全国 已知函数f x lg x 若 0 a b 且f a f b 则a 2b的取值范围是 A 2 B 2 22 C 3 D 3 解析 f x lg x 的图象如图所示 由图知f a f b 则有 0 a 1 b f a lg a lg a f b lg b lg b 用心 爱心 专心 5 即 lg a lg b 得a 1 b a 2b 2b 1 b 令g b 2b g b 2 1 b 1 b2 显然b 1 时 g b 0 g b 在 1 上为增函数 得g b 2b 3 故选 C 1 b 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共计 16 分 把答案填在题中的横线上 13 2010 江苏 函数y x2 x 0 的图象在点 ak a 处的切线与x轴的交点的横坐标为ak 1 其中 2k k N N 若a1 16 则a1 a3 a5的值是 解析 对函数y x2 y 2x 函数y x2 x 0 在点 ak a 处的切线方程为y a 2ak x ak 2k2k 令y 0 得ak 1 ak 1 2 又 a1 16 a3 a2 a1 4 1 2 1 4 a5 a3 1 a1 a3 a5 16 4 1 21 1 4 答案 21 14 2010 重庆 已知函数f x 满足 f 1 4f x f y f x y f x y x y R R 则f 2 010 1 4 解析 解法一 当x 1 y 0 时 f 0 当x 1 y 1 时 f 2 当x 2 y 1 时 1 2 1 4 f 3 当x 2 y 2 时 f 4 当x 3 y 2 时 f 5 当x 3 y 3 时 f 6 当 1 2 1 4 1 4 1 2 x 4 y 3 时 f 7 当x 4 y 4 时 f 8 1 4 1 4 f x 是以 6 为周期的函数 f 2 010 f 0 335 6 f 0 1 2 解法二 f 1 4f x f y f x y f x y 1 4 构造符合题意的函数f x cosx 1 2 3 用心 爱心 专心 6 f 2 010 cos 1 2 3 2 010 1 2 答案 1 2 15 2010 宁夏银川摸底 已知函数y f x 是 R R 上的偶函数 对于x R R 都有f x 6 f x f 3 成立 当x1 x2 0 3 且x1 x2时 都有 0 给出下列命题 f x1 f x2 x1 x2 f 3 0 直线x 6 是函数y f x 的图象的一条对称轴 函数y f x 在 9 6 上为增函数 函数y f x 在 9 9 上有四个零点 其中所有正确命题的序号为 把所有正确命题的序号都填上 解析 令x 3 可得f 3 f 3 0 知 正确 f x 6 f x 又f x 为偶函数 f x 的图象关于直线x 6 对称 正确 由题意知 x 0 3 时 f x 单调递增 又f x 为偶函数 f x 6 f x f x 在 9 6 上单调递减 不正确 由f 3 0 可知 f 3 f 9 f 9 0 正确 答案 16 2010 滨州模拟 给出下列四个结论 命题 x R R x2 x 0 的否定是 x R R x2 x 0 若am2 bm2 则a b 的逆命题为真 函数f x x sin x x R R 有 3 个零点 对于任意实数x 有f x f x g x g x 且x 0 时 f x 0 g x 0 则x 0 时 f x g x 其中正确结论的序号是 填上所有正确结论的序号 解析 显然 正确 而 的逆命题为若a b 则am2 bm2 当m2 0 时不成立 故 不正确 中f x 1 cos x 0 f x 在 R R 上为单调增函数 在 R R 上有且仅有一个零点 故 不正确 对于 由已知f x 为奇函数 又在 0 时f x 0 f x 在 0 上为增函数 在x 0 时亦为增函数 f x 0 同理g x 在 0 上为减函数 用心 爱心 专心 7 x 0 时 g x 0 因此f x g x 故 正确 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 2010 名校联考 设函数f x x 的图象为C1 C1关于点A 2 1 对称的图象为C2 C2对应 1 x 的函数为g x 1 求g x 的解析式 2 若直线y m与C2只有一个交点 求m的值和交点坐标 解析 1 设点P x y 是C2上的任意一点 则P x y 关于点A 2 1 的对称点为P 4 x 2 y 代入f x x 可得 2 y 4 x 1 x 1 4 x 即y x 2 1 x 4 g x x 2 1 x 4 2 由Error 消去y得x2 m 6 x 4m 9 0 m 6 2 4 4m 9 直线y m与C2只有一个交点 0 解得m 0 或m 4 当m 0 时 经检验合理 交点为 3 0 当m 4 时 经检验合理 交点为 5 4 答案 1 g x x 2 2 当m 0 时 交点为 3 0 当m 4 时 交点为 5 4 1 x 4 18 12 分 2010 东北六校联考 已知函数f x b ax 其中a b为常量 且a 0 a 1 的图象经过 点A 1 6 B 3 24 1 求f x 2 若不等式 x x m 0 在x 1 时恒成立 求实数m的取值范围 1 a 1 b 解析 1 f x 3 2x 2 要使 x x m在 1 上恒成立 只需保证函数y x x在 1 上的最小值不小于m 1 2 1 3 1 2 1 3 即可 函数y x x在 1 上为减函数 当x 1 时 y x x有最小值 1 2 1 3 1 2 1 3 5 6 只需m 即可 5 6 用心 爱心 专心 8 答案 1 f x 3 2x 2 m 5 6 19 12 分 2010 安徽 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln 2 1 且x 0 时 ex x2 2ax 1 解析 1 由f x ex 2x 2a x R R 知f x ex 2 x R R 令f x 0 得x ln 2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x ln 2 ln 2 ln 2 f x 0 f x 单调递减 2 1 ln 2 a 单调递增 故f x 的单调递减区间是 ln 2 单调递增区间是 ln 2 f x 在x ln 2 处取得极小值 极小值为 f ln 2 eln 2 2ln 2 2a 2 1 ln 2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x R R 于是g x ex 2x 2a x R R 由 1 知当a ln 2 1 时 g x 最小值为g ln 2 2 1 ln 2 a 0 于是对任意x R R 都有g x 0 所以g x 在 R R 上单调递增 于是当a ln 2 1 时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即 ex x2 2ax 1 0 故 ex x2 2ax 1 答案 1 f x 的单调递减区间是 ln 2 单调递增区间是 ln 2 极小值为f ln 2 2 1 ln 2 a 2 略 20 12 分 2009 湖南 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩 之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为 256 万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 x 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640 米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 解析 1 设需新建n个桥墩 则 n 1 x m 即n 1 所以 m x 用心 爱心 专心 9 y f x 256n n 1 2 x 256 2 x x m x 1 m xx m 2m 256 256m xx 2 由 1 知 f x mx x 512 256m x2 1 2 1 2 m 2x2 3 2 令f x 0 得x 512 所以x 64 3 2 当 0 x 64 时 f x 0 f x 在区间 0 64 内为减函数 当 64 x 640 时 f x 0 f x 在区间 64 640 内为增函数 所以f x 在x 64 处取得最小值 此时n 1 1 9 m x 640 64 故需新建 9 个桥墩才能使y最小 答案 1 y m 2m 256 2 9 个 256m xx 21 12 分 2010 珠海模拟 设函数f x x 1 x 2 x 0 1 求f x 的极值点 2 对任意的a 0 以F a 记f x 在 a 0 上的最小值 求k 的最小值 F a a 解析 1 f x 1 x 2 2x 1 x 1 x 1 3x 由f x 0 解得 x1 1 x2 1 3 当x 1 或x 时 f x 0 1 3 当 1 x 时 f x 0 1 3 所以 有两个极值点 x1 1 是极大值点 f 1 0 x2 是极小值点 f 1 3 1 3 4 27 2 过点作直线y 与y f x 的图象的另一个交点为A 坐标为 1 3 4 27 4 27 x 4 27 x x 1 2 即 27x3 54x2 27x 4 0 4 27 已知有解x 则 3x 1 9x2 15x 4 0 1 3 解得A 4 3 4 27 用心 爱心 专心 10 当a 时 F a f a 4 3 k 1 a 2 f a a 1 9 当 a 时 F a 4 3 1 3 4 27 k 4 27 a 4 27 4 3 1 9 其中当a 时 k 4 3 1 9 当 a 0 时 F a f a k 1 a 2 1 3 f a a 4 9 所以 对任意的a 0 k的最小值为 1 9 其中当a 4 3时 k 1 9 答案 1 有两个极值点 x1 1 是极大值点 f 1 0 x2 是极小值点 f 1 3 1 3 4 27 2 对任意的a 0 k的最小值为 1 9 其中当a 4 3时 k 1 9 22 14 分 2010 浙江嘉兴模拟 已知x 0 是函数f x x2 ax b ex x R R 的一个极值点 且函数 f x 的图象在x 2 处的切线的斜率为 2e2 1 求函数f x 的解析式并求单调区间 2 设g x 其中x 2 m 问 对于任意的m 2 方程g x m 1 2在区间 2 m f x ex 2 3 上是否存在实数根 若存在 请确定实数根的个数 若不存在 请说明理由 解析 1 f x x2 a 2 x