双曲线专题复习(精心整理).

圆锥曲线 双曲线 主要知识点主要知识点 1 双曲线的定义 1 定义 2 数学符号 3 应注意问题 2 双曲线的标准方程 图像 标准方程 不同点 相同点 注意 如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上 进一步 如何求出焦点坐 标 3 双曲线的几何性质 标准方程 焦点 焦距 范围 顶点 实轴 虚轴 对称性 离心率 性 质 渐近线 注意 1 如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像 2 双曲线的离心率的取值范围是什么 离心率有什么作用 3 当 双曲线有什么特点 时ba 4 双曲线的方程的求法 1 双曲线的方程与双曲线渐近线的关系 已知双曲线段的标准方程是 或 22 22 1 xy ab 0 0 ab 22 22 1 0 0 xy ab ba 则渐近线方程为 已知渐近线方程为 则双曲线的方程可表示为0bxay 2 待定系数法求双曲线的方程 与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可表示为 22 22 1 xy ab 若双曲线的渐近线方程是 则双曲线的方程可表示为 b yx a 与双曲线共焦点的双曲线方程可表示为 22 22 1 xy ab 过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为 与椭圆有共同焦点的双曲线的方程可表示为 22 22 1 xy ab 0 ab 5 双曲线离心率的有关问题 1 它决定双曲线的开口大小 越大 开口越大 c e a 1e e 2 等轴双曲线的两渐近线互相垂直 离心率 2e 3 双曲线离心率及其范围的求法 双曲线离心率的求解 一般可采用定义法 直接法等方法求解 双曲线离心率范围的求解 一般可以从以下几个方面考虑 与已知范围联系 通过a 求值域或解不等式来完成 通过判别式 利用点在曲线内部形成的不等式关系 b c 利用解析式的结构特点 d 6 直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算 1 直线与双曲线的位置关系有 注意 如何来判断位置关系 2 若斜率为 k 的直线被双曲线所截得的弦为 AB A B 两点分别为 A x1 y1 B x2 y2 则相交弦长 AB 二 典型例题 考点一 双曲线的定义考点一 双曲线的定义 例例 1 1 已知动圆 M 与圆 C1 x 4 2 y2 2 外切 与圆 C2 x 4 2 y2 2 内切 求动圆圆心 M 的 轨迹方程 变式训练 变式训练 由双曲线 1 上的一点 P 与左 右两焦点 F1 F2构 49 22 yx 成 PF1F2 求 PF1F2的内切圆与边 F1F2的切点坐标 巩固训练 巩固训练 1 F1 F2是双曲线 1 的焦点 点 P 在双曲线上 若点 P 到焦点 F1的 16 2 x 20 2 y 距离等于 9 求点 P 到焦点 F2的距离 2 过双曲线 x2 y2 8 的左焦点 F1有一条弦 PQ 在左支上 若 PQ 7 F2是双曲线的右焦点 则 PF2Q 的周长是 3 一动圆与两定圆和都外切 则动圆圆心轨迹为1 22 yx0128 22 xyx A 椭圆 B 双曲线 C 双曲线的一支 D 抛物线 考点二 双曲线的方程考点二 双曲线的方程 例例 2 2 根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 与双曲线 1 有共同的渐近线 且过点 3 2 169 22 yx 3 2 与双曲线 1 有公共焦点 且过点 3 2 416 22 yx 2 变式训练 变式训练 已知双曲线的渐近线的方程为 2x 3y 0 1 若双曲线经过 P 2 求双曲线方程 6 2 若双曲线的焦距是 2 求双曲线方程 13 3 若双曲线顶点间的距离是 6 求双曲线方程 巩固训练 巩固训练 1 求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程 22 1 255 xy 3 2 2 2 中心在原点 一个顶点的坐标为 且焦距与虚轴长之比为 求双曲线的标准方 3 0 5 4 程 3 已知双曲线的离心率 经过点 求双曲线的方程 2e 5 3 M 4 与双曲线有共同渐近线 且过点的双曲线方程 1 4 2 2 y x 2 2 5 已知双曲线 a 0 b 0 的两条渐近线方程为 若顶点到渐近线的1 2 2 2 2 b y a x xy 3 3 距离为 1 则双曲线方程为 6 已知方程表示双曲线 则的取值范围是 22 1 21 xy mm m 7 经过两点的双曲线的标准方程为 3 72 26 7 BA 考点三 考点三 双曲线的几何性质 例例 3 3 双曲线 C 1 a 0 b 0 的右顶点为 A x 轴上有一点 Q 2a 0 若 C 上 2 2 2 2 b y a x 存在一点 P 使 0 求此双曲线离心率的取值范围 APPQ 变式训练 变式训练 已知双曲线的中心在原点 焦点 F1 F2在坐标轴上 离心率为 且过点2 P 4 1 求双曲线方程 2 若点 M 3 m 在双曲线上 求证 10 1 MF 0 3 求 F1MF2的面积 2 MF 巩固训练 巩固训练 1 已知双曲线 a 0 b 0 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为 60 1 2 2 2 2 b y a x 的直线与双曲线的一条渐近线平行 则此双曲线的离心率是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 已知双曲线的两条渐近线的夹角为 则双曲线的离心率为 22 2 1 2 2 xy a a 3 A 2 B C D 3 2 6 3 2 3 3 3 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直 那么此双曲线的离心率为 4 双曲线的一个焦点为F 4 0 过双曲线的右顶点作垂直于x轴的 22 22 1 0 0 xy ab ab 垂线交双曲线的渐近线于A B两点 O为为坐标原点 则 AOB面积的最大值为 A 8 B 16 C 20 D 24 考点四 考点四 双曲线的离心率 例例 1 1 已知 已知 F1 F2分别是双曲线分别是双曲线 的左 右焦点 过的左 右焦点 过 F1作垂直于作垂直于 22 22 1 0 0 xy ab ab X X 轴的直线与双曲线交于轴的直线与双曲线交于 A A B B 两点 若两点 若 AF2B 是直角三角形 求双曲线的离心率 变式训练 1 若若 AF2B 是等边三角形 则双曲线的离心率为 2 若若 AF2B 是锐角三角形 则双曲线的离心率的取值范围为 3 若若 AF2B 是钝角三角形 则双曲线的离心率的取值范围为 巩固训练 巩固训练 1 已知已知 F1 F2分别是双曲线分别是双曲线 的左 右焦点 过的左 右焦点 过 F2作倾斜角为作倾斜角为 22 22 1 0 0 xy ab ab 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 求的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 求双曲线的离心率的取值范围 60 2 已知已知 F1 F2分别是双曲线分别是双曲线 的左 右焦点 过的左 右焦点 过 F2作垂直于渐作垂直于渐 22 22 1 0 0 xy ab ab 近线的直线与双曲线的两支都相交 求近线的直线与双曲线的两支都相交 求双曲线的离心率的取值范围 3 直线与双曲线没有公共点 则的取值范围为 有两个公1 kxy4 22 yxk 共点 则的取值范围为 有一个公共点 则的取值范围为 与左支有两kk 个公共点 则的取值范围为 k 考点五 考点五 双曲线中的焦点三角形 例 例 设 F1和 F2为双曲线的两个焦点 P 是双曲线上一点 已知 F1PF2 600求 2 2 xy 1 169 F1PF2的面积 变式训练 变式训练 设 F1和 F2为双曲线的两个焦点 P 是双曲线上一点 2 2 xy 1 169 已知 PF1 PF2 32 求 F1PF2的余弦值与三角形 F1PF2面积 巩固训练 巩固训练 1 双曲线左焦点的弦长为 6 则 为右焦点 的周长是 22 1 169 xy 1 FAB 2 ABF 2 F 2 已知定点 且 动点满足 则的最小值是 AB 6AB P4PAPB PA 3 设 F1和 F2为双曲线的两个焦点 P 为双曲线上一点 若 F1PF2 900 则三 2 2 x y1 4 角形 F1PF2面积是 4 设 F1和 F2为双曲线的两个焦点 P 是双曲线上一点 已知 F1PF2 600则 P 2 2 xy 1 169 点到 F1和 F2两点的距离之和为 5 已知双曲线 C a 0 b 0 的两个焦点为 F1 2 0 F2 2 0 点 P 3 2 2 22 xy 1 ab 7 在双曲线 C 上 1 求双曲线 C 的方程 2 记 O 在坐标原点 过 Q 0 2 的直线 L 与双 曲线 C 相交于不同的两点 E F 若 OEF 的面积 2 求直线 L 的方程2 考点六 考点六 直线和双曲线的位置关系 例例 4 已知曲线的离心率 直线l过A a 0 B 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 3 3 e 两点 原点O到l的距离是 1 求双曲线的方程 2 过点B作直线m交双曲 0 b 3 2 线于M N两点 若 求直线m的方程 23 ONOM 变式训练 变式训练 直线的右支交于不同的两点12 1 22 yxCkxyl与双曲线 A B 求实数k的取值范围 是否存在实数k 使得以线段 AB 为直径的圆经 过双曲线 C 的右焦点 F 若存在 求出k的值 若不存在 说明理由 巩固训练 巩固训练 1 1 已知双曲线 22 22xy 的左 右两个焦点为 1 F 2 F 动点 P 满足 P 1 F P 2 F 4 求动点 P 的轨迹 E 的方程 设过 2 F且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 E 于 A B 两点 问 终段 O 2 F上是否存在一点 D 使得以 DA DB 为邻边的平行四 边形为菱形 作出判断并证明 2 2 已知双曲线 C 1 0 1 的右焦点为 B 过点 B