数学百大经典例题——离散型随机变量分布列(新课标)

精品文档 1 欢迎下载 耗用子弹数的分布列耗用子弹数的分布列 例例 某射手有 5 发子弹 射击一次命中概率为 0 9 如果命中就停止射击 否则一直到 子弹用尽 求耗用子弹数的分布列 分析 分析 确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率 分布列即获得 解 解 本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列 我们知道只有 5 发子弹 所以的 取值只有 1 2 3 4 5 当时 即 当时 要求第一次没射中 1 9 0 1 P2 第二次射中 故 同理 时 要求前两次没有射中 第三09 0 9 01 0 2 P3 次射中 类似地 第 5 次009 0 9 01 0 3 2 P0009 0 9 01 0 4 3 P 射击不同 只要前四次射不中 都要射第 5 发子弹 也不考虑是否射中 所以 所以耗用子弹数的分布列为 4 1 0 5 P 0123 P 0 90 090 0090 0001 说明 说明 搞清的含义 防止这步出错 时 可分两种情况 一是前 4 发都没射5 5 中 恰第 5 发射中 概率为 0 14 0 9 二是这 5 发都没射中 概率为 0 15 所以 当然 还有一种算法 即 54 1 09 01 0 5 P5 0001 0 0009 0 009 0 09 09 0 1 5 P 独立重复试验某事件发生偶数次的概率独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例例 如果在一次试验中 某事件A发生的概率为p 那么在n次独立重复试验中 这件 事A发生偶数次的概率为 分析 发生事件A的次数 所以 pnB 其中的 k 取偶数 0 2 4 时 为二项式 2 1 0 1 nkpqqpCkp knkk n 展开式的奇数项的和 由此入手 可获结论 n qp 解解 由题 因为且取不同值时事件互斥 所以 pnB 精品文档 2 欢迎下载 nnnn n n n n n ppqpqqpCqpCqpCPPPP 21 1 2 1 2 1 4 2 0 44422200 因为 所以 1 qpppq21 说明 说明 如何获得二项展开式中的偶数次的和 这需要抓住与展开式的 n pq n pq 特点 联系与区分 从而达到去除p奇次 留下p偶次的目的 根据分布列求随机变量组合的分布列根据分布列求随机变量组合的分布列 例例 已知随机变量的分布列为 2 1 0123 P 12 1 12 3 12 4 12 1 12 2 12 1 分别求出随机变量的分布列 2 21 2 1 解 解 由于对于不同的有不同的取值 即 2 1 1 x y 2 1 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 665544332211 x y x y x y x y x y x y 所以的分布列为 1 1 1 2 1 0 2 1 1 3 2 P 12 1 12 3 12 4 12 1 12 2 12 1 对于的不同取值 2 2 及 1 1 分别取相同的值 4 与 1 即取 4 这个 2 2 2 2 值的概率应是取 2 与 2 值的概率与合并的结果 取 1 这个值的概率就是取 12 1 12 2 2 1 与 1 值的概率与合并的结果 故的分布列为 12 3 12 1 2 2 0149 P 12 4 12 4 12 3 12 1 说明 说明 在得到的或的分布列中 或的取值行中无重复数 概率得中各项必须 1 2 1 2 非负 且各项之和一定等于 1 成功咨询人数的分布列成功咨询人数的分布列 精品文档 3 欢迎下载 例例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 某班 3 名同学商定明天分别就同一 4 3 问题询问该服务中心 且每人只拨打一次 求他们中成功咨询的人数的分布列 分析 分析 3 个人各做一次试验 看成三次独立重复试验 拨通这一电话的人数即为事件的 发生次数 故符合二项分布 解 解 由题 所以 分布列为 4 3 3 B 3 2 1 0 4 1 4 3 3 3 kCkP kk k 0123 P 64 1 64 9 64 27 64 27 说明 说明 关键是理解二项分布的特点 即某同一事件 在n次独立重复实验中 以事件发 生的次数为随机变量 盒中球上标数于盒中球上标数于 5 5 关系的概率分布列关系的概率分布列 例例 盒中装有大小相等的球 10 个 编号分别为 0 1 2 9 从中任取 1 个 观察 号码是 小于 5 等于 5 大于 5 三类情况之一 规定一个随机变量 并求其概率分布 列 分析 分析 要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率 解 解 分别用表示题设中的三类情况的结果 表示 小于 5 的情况 表示 321 x x x 1 x 2 x 等于 5 的情况 表示 大于 5 的情况 3 x 设随机变量为 它可能取的值为取每个值的概率为 321 x x x 取出的球号码小于 5 P x P 1 10 5 取出的球号码等于 5 P x P 2 10 1 取出的球号码大于 5 P x P 3 10 4 故的分布列为 1 x 2 x 3 x P 2 1 10 1 5 2 小结 小结 分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础 因此准确写出随机变量的分 精品文档 4 欢迎下载 布列是很重要的 但是我们不能保证它的准确性 这时我们要注意运算的准确性外 还可以 利用进行检验 1 1 n i i p 求随机变量的分布列求随机变量的分布列 例例 一袋中装有 5 只球 编号为 1 2 3 4 5 在袋中同时取 3 只 以表示取出的 3 只球中的最大号码 写出随机变量的分布列 分析 分析 由于任取三个球 就不是任意排列 而要有固定的顺序 其中球上的最大号码只 有可能是 3 4 5 可以利用组合的方法计算其概率 解 解 随机变量的取值为 3 4 5 当 3 时 即取出的三只球中最大号码为 3 则其他二球的编号只能是 1 2 故有 10 1 C C 3 3 5 2 3 P 当 4 时 即取出的三只球中最大号码为 4 则其他二球只能在编号为 1 2 3 的 3 球 中取 2 个 故有 10 3 C C 4 3 5 2 3 P 当 5 时 即取出的三只球中最大号码为 5 则其他二球只能在编号为 1 2 3 4 的 4 球中取 2 个 故有 5 3 10 6 C C 5 3 5 2 3 P 因此 的分布列为 345 P 10 1 10 3 10 6 说明 说明 对于随机变量取值较多或无穷多时 应由简单情况先导出一般的通式 从而简 化过程 取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列 精品文档 5 欢迎下载 例例 一批零件中有 9 个合格品与 3 个不合格品 安装机器时 从这批零件中任取一 个 如果每次取出的不合格品不再放回去 求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布 列 分析分析 取出不合格品数的可能值是 0 1 2 3 从而确定确定随机变量的可能值 解 解 以表示在取得合格品以前取出的不合格品数 则是一个随机变量 由题设可 能取的数值是 0 1 2 3 当 0 时 即第一次就取到合格品 其概率为 750 0 12 3 0 P 当 1 时 即第一次取得不合格品 不放回 而第二次就取得合格品 其概率为 204 0 11 9 12 3 1 P 当 2 时 即第一 二次取得不合格品 不放回 第三次取得合格品 其概率为 041 0 11 9 11 2 12 3 2 P 当 3 时 即第一 二 三次均取得不合格品 而第四次取得合格品 其概率为 005 0 9 9 10 1 11 2 12 3 3 P 所以的分布列为 0123 P0 7500 2040 0410 005 说明 说明 一般分布列的求法分三步 1 首先确定随机变量的取值哟哪些 2 求出 每种取值下的随机事件的概率 3 列表对应 即为分布列 关于取球的随机变量的值和概率关于取球的随机变量的值和概率 例例 袋中有 1 个红球 2 个白球 3 个黑球 现从中任取一球观察其颜色 确定这个随 机试验中的随机变量 并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率 分析 分析 随机变量变量是表示随机试验结果的变量 随机变量的可能取值是随机试验的所 有可能的结果组成 解 解 设集合 其中为 取到的球为红色的球 为 取到的球为 321 x x x M 1 x 2 x 白色的球 为 取到的球为黑色的球 3 x 我们规定 即当时 这样 我们确定就 3 2 1 i i x i i x x i x x 精品文档 6 欢迎下载 是一个随机变量 它的自变是量取值不是一个实数 而是集合中的一个元素 即x M 而随机变量本身的