椭圆中的最值种1

椭圆中的最值椭圆中的最值 一 一 的最值问题 的最值问题 为一焦点 为一焦点 为椭圆内部一定点 为椭圆内部一定点 为椭圆上一动为椭圆上一动PMPF FMP 点 点 例 1 已知椭圆内有一点 为椭圆的右焦点 为椭圆上一动 22 1 43 xy 1 1 M FP 点 则的最大值为 最小值为 PMPF 解析 如图 设椭圆的另一左焦点为 由椭圆的定义及基本不等式得 F PMPF 当且PM4PF 44PMPFMF 22 4 1 1 0 1 45 仅当 M P 共线在 MF 延长线上时取得等号 即有 max F P PMPF 45 又 4 且仅当PMPF PM4PF 445PFPMMF M P 共线在的延长线上时取得等号 即有 minF PF M PMPF 45 x y 0 F M F P 二 二 的最小值问题 的最小值问题 为一焦点 为一焦点 为其内部一点 为其内部一点 为椭圆上一动为椭圆上一动 1 PMPF e FMP 点 点 P 例 2 已知如图 点为椭圆上的动点 为右焦点 点为其内部一P 22 1 43 xy FM 点 坐标为 1 则的最小值 2PMPF x 小小 y 0 F M P 解析 作出椭圆的右准线 易求其方程为 过作右准线的垂线 垂足为 4x PA 易知该椭圆的离心率为 故 即 所以 1 2 PF PA 1 2 2 PFPA 2PMPF 当 三点共线时等号成立 即4 13PMPAMA MPA min 32PMPF 三 三 的最值问题 的最值问题 为椭圆上动点 为椭圆上动点 为其焦点 为其焦点 12 PFPF P 1 F 2 F 例 3 已知 为椭圆的左右焦点 点为椭圆上动点 则 1 F 2 F 2 2 1 4 x y P 的最大值为 最小值为 12 PFPF 解析 设点 则 由焦半径公式有 P x y22x 1 3 2 2 PFexax 所以 易知当时 max 2 PF 3 2 2 aex x 12 PFPF 2 3 4 4 x 0 x 12 PFPF 当或时 min 4 2x 2 12 PFPF 1 四 四 的最值问题的最值问题AxBy 例 4 已知 则的最大值为 2222 1 1 4xyxy 23xy 最小值为 解析 不难发现 的几何意义是动点到两 2222 1 1 4xyxy x y 定点 的距离之和等于 4 故动点的轨迹应为以 为焦点 1 0 1 0 x y 1 0 1 0 长轴为 4 的椭圆 所以方程等价于 化为 2222 1 1 4xyxy 22 1 43 xy 参数方程为 为参数 故 2cos 3sin x y 23xy 所以 max 4cos3 3sin43sin tan 4 3 9 23xy 43 min 23xy 43 五 五 的最值问题 的最值问题 为椭圆上动点 为椭圆上动点 为其焦点 为其焦点 12 FPF P 1 F 2 F 例 5 已知椭圆 为其左右焦点 在椭圆上是否存在一点 22 1 43 xy 1 F 2 FP 使 证明你的结论 12 PFPF 解析 为叙述简便起见 不妨设 则有 12 FPF 12 PFm PFn 且 由余弦定理知4mn 12 2FF cos 22 222 1212 2 22 mnFFmnFFmn mnmn 即 2 16426661 111 242 2 mn mn mnmn 1 cos 2 又 对任意椭圆而言 由余弦函数的单调性知 也即0180 060 的最大值为 当 即时 取到最大值 故符合条件的点 60 mn 12 PFPF 60