2009年高考全国卷1文科数学试题及答案

20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 必修文科数学 必修 选修选修 本试卷分第本试卷分第 I 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第卷 非选择题 两部分 第 I 卷卷 1 至至 2 页 第页 第 II 卷卷 3 至至 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号 填写清楚证号 填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 每小题选出答案后 用 2 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3 本卷共 本卷共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么球的表面积公式AB P ABP AP B 2 4 SR 如果事件相互独立 那么其中表示球的半径AB R 球的体积公式 P A BP A P B AA 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR 1 01 2 kkn k nn P kC PPkn 一 选择题一 选择题 1 的值为sin585 A B C D 2 2 2 2 3 2 3 2 2 设集合 A 4 5 6 7 9 B 3 4 7 8 9 全集 AB 则集合 u A B 中的元素共有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 3 不等式的解集为 1 1 1 x x A B 011xxx x 01xx C D 10 xx 0 x x 4 已知 tan 4 cot 则 tan a a 1 3 A B C D 7 11 7 11 7 13 7 13 5 设双曲线的渐近线与抛物线相切 则该双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 2 1y x 的离心率等于 A B 2 C D 356 6 已知函数的反函数为 则 f x 10g xx 2l gx 1 1 f g A 0 B 1 C 2 D 4 7 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组 中各选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 8 设非零向量满足 则abc abc a b cab A 150 B 120 C 60 D 30 9 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面上的射影为 111 ABCABC 1 AABC 的中点 则异面直线与所成的角的余弦值为BCAB 1 CC A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 10 如果函数的图像关于点中心对称 那么的最小值为3cos 2 yx 4 0 3 A B C D 6 4 3 2 11 已知二面角为 600 动点 P Q 分别在面内 P 到的距离为 3 Q 到的距离为 则 P Q 两点之间距离的最小值为 2 3 A 2 B 2 C 3 D 3 12 已知椭圆的右焦点为 F 右准线 点 线段 AF 交 C 于点 B 2 2 1 2 x Cy lAl 若 则 3FAFB AF A B 2 C D 323 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 必修文科数学 必修 选修选修 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填 写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 第 卷共卷共 7 页 请用直径页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答 在试题卷上作答无效 在试题卷上作答无效 3 本卷共 本卷共 10 小题 共小题 共 90 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 13 的展开式中 的系数与的系数之和等于 10 xy 3 37 x y 14 设等差数列的前项和为 若 则 n an n S 9 72S 249 aaa 15 已知为球的半径 过的中点且垂直于的平面截球面得到圆 若OAOOAMOAM 圆的面积为 则球的表面积等于 M3 O 16 若直线被两平行线所截得的线段的长为 m 12 10 30lxylxy 与 2 2 则的倾斜角可以是m 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 设等差数列 的前项和为 公比是正数的等比数列 的前项和为 n an n s n bn n T 已知的通项公式 113333 1 3 17 12 nn ababTSb 求 a 18 本小题满分 12 分 注意 在试用题卷上作答无效 注意 在试用题卷上作答无效 在中 内角 A b c 的对边长分别为 a b c 已知 且ABC 22 2acb 求 b sin4cossinBAC 19 本小题满分 12 分 注决 在试题卷上作答无效 注决 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥中 底面为矩形 底面 SABCD ABCDSD ABCD2AD 点在侧棱上 2DCSD MSC ABM 60 证明 是侧棱的中点 MSC 求二面角的大小 SAMB 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假 设在一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已知前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 求再赛 2 局结束这次比赛的概率 求甲获得这次比赛胜利的概率 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 42 36f xxx 讨论的单调性 f x 设点 P 在曲线上 若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点 求 yf x l 的方程l 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 已知抛物线与圆相交于 A B C D 2 E yx 222 4 0 Mxyrr 四个点 求 r 的取值范围 当四边形 ABCD 的面积最大时 求对角线 AC BD 的交点 P 的坐标 答案答案 一 选择题一 选择题 1 o 585sin的值为 A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 3 2 解析 本小题考查诱导公式 特殊角的三角函数值 基础题 解 2 2 45sin 45180sin 225360sin 585sin oooooo 故选择 A 2 设集合 A 4 5 7 9 B 3 4 7 8 9 全集UAB 则集合 U AB 中的元素共有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 解析 本小题考查集合的运算 基础题 同理 1 解 3 4 5 7 8 9 AB 4 7 9 3 5 8 U ABAB 故选故选 A A 也可用摩根 也可用摩根 定律 定律 UUU ABAB 3 不等式1 1 1 x x 的解集为 A 011xxx x B 01xx C 10 xx D 0 x x 解析 本小题考查解含有绝对值的不等式 基础题 解 0040 1 1 1 1 1 1 1 22 xxxxxx x x 故选择 D 4 已知 tana 4 cot 1 3 则 tan a A 7 11 B 7 11 C 7 13 D 7 13 解析 本小题考查同角三角函数间的关系 正切的和角公式 基础题 解 由题3tan 11 7 121 34 tantan1 tantan tan 故选择 B 5 设双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的渐近线与抛物线 2 1y x 相切 则该双曲线 的离心率等于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 本小题考查双曲线的渐近线方程 直线与圆锥曲线的位置关系 双曲线的离心率 基础题 解 由题双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的一条渐近线方程为 a bx y 代入抛物线方 程整理得0 2 abxax 因渐近线与抛物线相切 所以04 22 ab 即 55 22 eac 故选择 C 6 已知函数 f x的反函数为 10g xx 2l gx 则 1 1 gf A 0 B 1 C 2 D 4 解析 本小题考查反函数 基础题 解 由题令1lg21 x得1 x 即1 1 f 又1 1 g 所以2 1 1 gf 故选择 C 7 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组 中各选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 解析 本小题考查分类计算原理 分步计数原理 组合等问题 基础题 解 由题共有345 2 6 1 3 1 5 1 2 1 6 2 5 CCCCCC 故选择 D 8 设非零向量a b c满足cbacba 则 ba A 150 B 120 C 60 D 30 解析 本小题考查向量的几何运算 考查数形结合的思想 基础题 解 由向量加法的平行四边形法则 知a b可构成菱形的两条相邻边 且a b为起点 处的对角线长等于菱形的边长 故选择 B 9 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面ABC上的射影为 BC的中点 则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解析 本小题考查棱柱的性质 异面直线所成的角 基础题 同理 7 解 设BC的中点为 D 连结 1 AD AD 易知 1 A AB 即为异面直线AB与 1 CC所成 的角 由三角余弦定理 易知 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 故选 D 10 如果函数3cos 2 yx 的图像关于点 4 0 3 中心对称 那么 的最小值为 A 6 B 4 C 3 D 2 解析 本小题考查三角函数的图象性质 基础题 解 函数 cos 2yx 3 的图像关于点 4 3 0中心对称 4 2 32 k 13 6 kkZ 由此易得 min 6 故选 A 11 已知二面角l 为 600 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为3 Q 到 的距离为2 3 则 P Q 两点之间距离的最小值为 解析 本小题考查二面角 空间里的距离 最值问题 综合题 同理 10 解 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 PDlD 于 连 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP 即AP点与点重合时取最小值 故答案选 C 12 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为 F 右准线l 点Al 线段 AF 交 C 于点 B 若3FAFB 则AF A 2 B 2 C 3 D 3 解析 本小题考查椭圆的准线 向量的运用 椭圆的定义 基础题 解 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 必修文科数学 必修 选修选修 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填 写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 第 卷共卷共 7 页 请用直径页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答 在试题卷上作答无效 在试题卷上作答无效 3 本卷共 本卷共 10 小题 共小题 共 90 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 13 10 xy 的展开式中 73 x y的系数与 37 x y的系数之和等于 解析 本小题考查二项展开式通项 基础题 同理 13 解 因 rrrr r yxCT 10 101 1 所以有 373 101010 2240CCC 14 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 解析 本小题考查等差数列的性质 前n项和 基础题 同理 14 解 n a 是等差数列 由 9 72S 得 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 15 已知OA为球O的半径 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M 若 圆M的面积为3 则球O的表面积等于 解析 本小题考查球的截面圆性质 球的表面积 基础题 解 设球半径为R 圆 M 的半径为r 则 3 2 r 即3 2 r由题得3 2 22 R R 所以 1644 22 RR 16 若直线m被两平行线 12 10 30lxylxy 与所截得的线段的长为22 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 解析 本小题考查直线的斜率 直线的倾斜角 两条平行线间的距离 考查数形结合的 思想 解 两平行线间的距离为2 11 13 d 由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30 1 l的倾斜 角为 o 45 所以直线m的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 故填写 或 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 设等差数列 n a 的前n项和为 n s 公比是正数的等比数列 n b 的前n项和为 n T 已 知 113333 1 3 17 12 nn ababTSb 求 a的通项公式 解析 本小题考查等差数列与等比数列的通项公式 前n项和 基础题 解 设 n a的公差为d 数列 n b的公比为0 q 由 33 17ab 得 2 12317dq 33 12TS 得 2 4qqd 由 及0q 解得2 2 dq 故所求的通项公式为 1 12 1 21 3 2n nn annb 18 本小题满分 12 分 注意 在试用题卷上作答无效 注意 在试用题卷上作答无效 在ABC 中 内角ABC 的对边长分别为abc 已知 22 2acb 且 sin4cossinBAC 求b 解析 本小题考查正弦定理 余弦定理 解 由余弦定理得Abcbcacos2 222 又 0 2 22 bbca bAbcb2cos2 2 即2cos2 Acb 由正弦定理得 sin sin bB cC 又由已知得 sin4cossinBAC sin 4cos sin B A C 所以4 cosbcA 故由 解得 4 b 19 本小题满分 12 分 注决 在试题卷上作答无效 注决 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SD 底面 ABCD 2AD 2DCSD 点M在侧棱SC上 60ABM 证明 M是侧棱SC的中点 求二面角SAMB 的大小 同理 18 解法一 解法一 I 作ME CD交SD于点 E 则ME AB ME 平面 SAD 连接 AE 则四边形 ABME 为直角梯形 作MFAB 垂足为 F 则 AFME 为矩形 设MEx 则SEx 222 2 2AEEDADx 2 2 2 2MFAExFBx 由 2 tan60 2 23 2 MFFBxx 得 解得1x 即1ME 从而 1 2 MEDC 所以M为侧棱SC的中点 22 2MBBCMC 又60 2ABMAB 所以ABM 为等边三角形 又由 知 M 为 SC 中点 2 6 2SMSAAM 故 222 90SASMAMSMA 取 AM 中点 G 连结 BG 取 SA 中点 H 连结 GH 则 BGAM GHAM 由此知 BGH 为二面角SAMB 的平面角 连接BH 在BGH 中 22 31222 3 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角SAMB 的大小为 6 arccos 3 解法二解法二 以 D 为坐标原点 射线 DA 为 x 轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系 D xyz 设 2 0 0 A 则 2 2 0 0 2 0 0 0 2 BCS 设 0 SMMC 则 2222 0 2 1111 MMB 又 0 2 0 60ABMB AB 故 cos60MBABMBAB 即 222 422 2 111 解得1 即SMMC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 II 由 0 1 1 2 0 0 MA 得 AM 的中点 2 1 1 22 2 G 又 2 31 0 1 1 2 1 1 222 GBMSAM 0 0GBAMMSAM 所以 GBAM MSAM 因此 GB MS等于二面角SAMB 的平面角 6 cos 3 GB MS GB MS GBMS 所以二面角SAMB 的大小为 6 arccos 3 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假 设在一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已知前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 求再赛 2 局结束这次比赛的概率 求甲获得这次比赛胜利的概率 解析 本小题考查互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 综 合题 解 记 第i局甲获胜 为事件 5 4 3 iAi 第j局乙获胜 为事件 3 4 5 j Bj 设 再赛 2 局结束这次比赛 为事件 A 则 4343 BBAAA 由于各局比赛结果相互独立 故 34343434 P AP AABBP AAP BB 3434 P A P AP B P B 52 0 4 04 06 06 0 记 甲获得这次比赛胜利 为事件 B 因前两局中 甲 乙各胜 1 局 故甲获 得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中 甲先胜 2 局 从而 54354343 ABAAABAAB 由于各局比赛结果相互独立 故 54354343 ABAAABAAPBP 648 0 6 04 06 06 06 04 06 06 0 54354343 54354343 APBPAPAPAPBPAPAP ABAPAABPAAP 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 42 36f xxx 讨论 f x的单调性 设点 P 在曲线 yf x 上 若该曲线在点 P 处的切线l通过坐标原点 求l的 方程 解析 本小题考查导数的应用 函数的单调性 综合题 解 3 66 464 22 fxxxx xx 令 0fx 得0 2 6 x或 2 6 x 令 0fx 得 2 6 x或 2 6 0 x 因此 xf在区间 0 2 6 和 2 6 为增函数 在区间 2 6 和 2 6 0 为减函数 设点 00 xfxP 由l过原点知 l的方程为 0 yfx x 因此 000 f xx fx 即0 64 63 0 3 00 2 0 4 0 xxxxx 整理得0 2 1 2 0 2 0 xx 解得2 0 x或2 0 x 因此切线l的方程为xy2 或2 2yx 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 已知抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相交于 A