第四讲 数列求和

第八讲第八讲 数列求和数列求和 数列求和的常用方法数列求和的常用方法 1 公式法公式法 等差数列求和公式 等比数列求和公式 特别声明特别声明 运用等比数列求和公式 务必检查其公比与 1 的关系 必要时需分类讨论 常用公式 1 123 1 2 nn n 2221 12 1 21 6 nn nn 33332 1 123 2 n n n 如 如 1 1 等比数列的前项和 S 2 则 n an 22 3 2 2 2 1n aaaa 2 2 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的 二进制即 逢 2 进 1 如表 2 1101 示二进制数 将它转换成十进制形式是 那么将二进制1321202121 0123 转换成十进制数是 12005 2 11111 个 2 分组求和法分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时 常将 和式 中 同类项 先合并在一起 再运 用公式法求和 如如求 1 357 1 21 n n Sn 3 倒序相加法倒序相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联 则常可 考虑选用倒序相加法 发挥其共性的作用求和 这也是等差数列前和公式的推导n 方法 如如 已知 则 2 2 1 x f x x 111 1 2 3 4 234 fffffff 4 4 错位相减法错位相减法 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成 那么常选 用错位相减法 这也是等比数列前和公式的推导方法 n 如 如 1 1 设为等比数列 已知 求 n a 121 1 2 nnn Tnanaaa 1 1T 2 4T 数列的首项和公比 求数列的通项公式 n a n T 2 2 设函数 数列满足 1 4 1 2 xxgxxf n a 1 2 n af a n a 求证 数列是等比数列 1 Nnaga nn 1 n a 5 裂项相消法裂项相消法 如果数列的通项可 分裂成两项差 的形式 且相邻项分裂后相关联 那么常选用裂项相消法求和 常用裂项形式有 111 1 1n nnn 11 11 n nkk nnk 22 11111 1211kkkk 2 1111111 1 1 1 1kkkkkkkkk 1111 1 2 2 1 1 2 n nnn nnn 11 1 1 n nnn 212 2 1 2 1 11 nnnn nnnnn 如 如 1 1 求和 111 1 447 32 31 nn 2 2 在数列中 且 S 则 n n a 1 1 nn an 6 通项转换法通项转换法 先对通项进行变形 发现其内在特征 再运用分组求和法求和 如如 求数列 1 4 2 5 3 6 前项和 3 nn n n S 求和 111 1 12123123n 七 七 分期付款分期付款 森林木材森林木材 型应用问题型应用问题 1 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题 但在求解过程中 务必 卡 手指 细心计算 年限 对于 森林木材 既增长又砍伐的问题 则常选用常选用 统一法统一法 统一到统一到 最后最后 解决解决 2 利率问题 单利问题 如零存整取储蓄 单利 本利和计算模型 若每期存 入本金元 每期利率为 则期后本利和为 prn 1 12 1 n Sprprpnr 等差数列问题 复利问题 按揭贷款的分期等额还款 复利 模 1 2 n n p nr 型 若贷款 向银行借款 元 采用分期等额还款方式 从借款日算起 一期 如一p 年 后为第一次还款日 如此下去 分期还清 如果每期利率为 按复利 那么每nr 期等额还款元应满足 等比数列问题 x 12 1 1 1 1 nnn prxrxrxrx 1 知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a 2 已知等比数列 n a满足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当1n 时 2123221 logloglog n aaa 3 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 若 6 3 S S 3 则 6 9 S S 4 等比数列 n a的前 n 项和为 n s 且 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 若 1 a 1 则 4 s 5 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S 6 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 7 已知数列 n a满足 43412 1 0 N nnnn aaaa n 则 2009 a 2014 a 8 已知点 1 3 1 是函数 0 aaxf x 且1 a 的图象上一点 等比数列 n a的前n项和为 cnf 数列 n b 0 n b的首项为c 且前n项和 n S满足 n S 1 n S n S 1 n S 2n 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 若数列 1 1 nnb b 前n项和为 n T 问 n T 20