决战中考--2013年数学 压轴测试题专题 动点问题

中考数学压轴测试题专题中考数学压轴测试题专题 2 2 动点问题动点问题 1 1 20122012 上海市上海市 1414 分 分 如图 在半径为 2 的扇形AOB中 AOB 90 点C是弧AB上 的一个动点 不与点A B重合 OD BC OE AC 垂足分别为D E 1 当BC 1 时 求线段OD的长 2 在 DOE中是否存在长度保持不变的边 如果存在 请指出并求其长度 如果不存在 请说明理由 3 设BD x DOE的面积为y 求y关于x的函数关系式 并写出它的定义域 答案答案 解 1 点O是圆心 OD BC BC 1 BD BC 1 2 1 2 又 OB 2 2 222 115 OD OBBD2 22 2 存在 DE是不变的 如图 连接AB 则 22 AB OB OA2 2 D和E是中点 DE 1 AB 2 2 3 BD x 2 OD4x 1 2 3 4 AOB 900 2 3 45 过D作DF OE 垂足为点F DF OF 2 4x 2 由 BOD EDF 得 即 BDOD EFDF 解得EF x 2 2 x4x EF 4x 2 1 2 OE 2 x 4x 2 2222 114xx 4x4x x 4x yDF OE 0 x2 22422 五五 考点考点 垂径定理 勾股定理 等腰直角三角形的判定和性质 三角形中位线定理 相似 三角形的判定和性质 分析分析 1 由OD BC 根据垂径定理可得出BD BC 在Rt BOD中利用勾股定理 1 2 1 2 即可求出OD的长 2 连接AB 由 AOB是等腰直角三角形可得出AB的长 再由D和E是中点 根 据三角形中位线定理可得出DE 2 3 由BD x 可知 由于 1 2 3 4 所以 2 3 45 过 2 OD4x D作DF OE 则DF OF EF x OE 即可求得y关于x的函数关 2 4x 2 1 2 2 x 4x 2 系式 点C是弧AB上的一个动点 不与点A B重合 22 AB OB OA2 2 0 x2 2 2 20122012 福建南平福建南平 1414 分 分 如图 在 ABC中 点D E分别在边BC AC上 连接 AD DE 且 1 B C 1 由题设条件 请写出三个正确结论 要求不再添加其他字母和辅助线 找结论过程 中添加的字母和辅助线不能出现在结论中 不必证明 答 结论一 结论二 结论三 2 若 B 45 BC 2 当点D在BC上运动时 点D不与B C重合 求CE的最大值 若 ADE是等腰三角形 求此时BD的长 注意 在第 2 的求解过程中 若有运用 1 中得出的结论 须加以证明 答案答案 解 1 AB AC AED ADC ADE ACD 2 B C B 45 ACB为等腰直角三角形 22 ACBC22 22 1 C DAE CAD ADE ACD AD AC AE AD 22 ADAD AE AC 2 2 2 AD 2 当AD最小时 AE最小 此时AD BC AD BC 1 1 2 AE的最小值为 CE的最大值 2 22 1 22 22 2 22 当AD AE时 1 AED 45 DAE 90 点D与B重合 不合题意舍去 当EA ED时 如图 1 EAD 1 45 AD平分 BAC AD垂直平分BC BD 1 当DA DE时 如图 2 ADE ACD DA AC DE DC DC CA BD BC DC 2 22 综上所述 当 ADE是等腰三角形时 BD的长的长为 1 或 2 2 考点考点 相似三角形的判定和性质 勾股定理 等腰 直角 三角形的判定和性质 分析分析 1 由 B C 根据等腰三角形的性质可得AB AC 由 1 C AED EDC C得到 AED ADC 又由 DAE CAD 根据相似三角形的判定 可得到 ADE ACD 2 由 B C B 45 可得 ACB为等腰直角三角形 则 由 1 C DAE CAD 根据相似三角形的判定可得 22 ACBC22 22 ADE ACD 则有AD AC AE AD 即 当AD BC AD最小 22 ADAD AE AC 2 2 2 AD 2 此时AE最小 从而由CE AC AE得到CE的最大值 分当AD AE EA ED DA DE三种情况讨论即可 3 3 20122012 甘肃兰州甘肃兰州 1212 分 分 如图 Rt ABO的两直角边OA OB分别在x轴的负半轴和y轴 的正半轴上 O为坐标原点 A B两点的坐标分别为 3 0 0 4 抛物线 y x2 bx c经过点B 且顶点在直线x 上 2 3 5 2 1 求抛物线对应的函数关系式 2 若把 ABO沿x轴向右平移得到 DCE 点A B O的对应点分别是D C E 当四边形 ABCD是菱形时 试判断点C和点D是否在该抛物线上 并说明理由 3 在 2 的条件下 连接BD 已知对称轴上存在一点P使得 PBD的周长最小 求出P点 的坐标 4 在 2 3 的条件下 若点M是线段OB上的一个动点 点M与点O B不重合 过点M 作 BD交x轴于点N 连接PM PN 设OM的长为t PMN的面积为S 求S和t的函数 关系式 并写出自变量t的取值范围 S是否存在最大值 若存在 求出最大值和此时M 点的坐标 若不存在 说明理由 答案答案 解 1 抛物线y x2 bx c经过点B 0 4 c 4 2 3 顶点在直线x 上 解得 5 2 b5 2 2 2 3 10 b 3 所求函数关系式为 2 210 y xx 4 33 2 在Rt ABO中 OA 3 OB 4 22 ABOAOB5 四边形ABCD是菱形 BC CD DA AB 5 C D两点的坐标分别是 5 4 2 0 当x 5 时 2 210 y 55 4 4 33 当x 2 时 2 210 y 22 4 0 33 点C和点D都在所求抛物线上 3 设CD与对称轴交于点P 则P为所求的点 设直线CD对应的函数关系式为y kx b 则 解得 直线CD对应的函数关系式为 5k b 4 2k b 0 4 k 3 8 b 3 48 y x 33 当x 时 P 5 2 4582 y 3233 52 23 五 4 MN BD OMN OBD 即 得 OMON OBOD tON 42 t ON 2 设对称轴交x于点F 则 PFOM 112555 SPFOMOF t t 223246 五五 2 MON 1111 SOM ON tt t 2224 PME 1151215 SNF PF t t 2222366 MONPMEPFOM S SSS 五五 0 t 4 22 55115117 t tt t t 46466412 0 4 2 2 117117289 S t t t 41246144 1 0 4 17 6 当时 S取最大值是 此时 点M的坐标为 0 17 t 6 289 144 17 6 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的性质 菱形的性质 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 根据抛物线y x2 bx c经过点B 0 4 以及顶点在直线x 上 得 2 3 5 2 出b c即可 2 根据菱形的性质得出C D两点的坐标分别是 5 4 2 0 利用图象上点 的性质得出x 5 或 2 时 y的值即可 3 首先设直线CD对应的函数关系式为y kx b 求出解析式 当x 时 5 2 求出y即可 4 利用MN BD 得出 OMN OBD 进而得出 得到 从 OMON OBOD t ON 2 而表示出 PMN的面积 利用二次函数最值求出即可 4 4 20122012 广东省广东省 9 9 分 分 如图 抛物线与x轴交于A B两点 与y轴交 2 13 y xx9 22 于点C 连接BC AC 1 求AB和OC的长 2 点E从点A出发 沿x轴向点B运动 点E与点A B不重合 过点E作直线l平行 BC 交AC于点D 设AE的长为m ADE的面积为s 求s关于m的函数关系式 并写出 自变量m的取值范围 3 在 2 的条件下 连接CE 求 CDE面积的最大值 此时 求出以点E为圆心 与 BC相切的圆的面积 结果保留 答案答案 解 1 在中 2 13 y xx9 22 令x 0 得y 9 C 0 9 令y 0 即 解得 x1 3 x2 6 A 3 0 2 13 xx9 0 22 B 6 0 AB 9 OC 9 2 ED BC AED ABC 即 2 AED ABC SAE SAB 2 sm 1 9 9 9 2 s m2 0 m 9 1 2 3 S AEC AE OC m S AED s m2 1 2 9 2 1 2 S EDC S AEC S AED m2 m m 2 1 2 9 2 1 2 9 2 81 8 CDE的最大面积为 81 8 此时 AE m BE AB AE 9 2 9 2 又 22 BC6 9 3 13 过E作EF BC于F 则Rt BEF Rt BCO 得 即 EFBE OCBC 9 EF 2 93 13 27 EF13 26 以E点为圆心 与BC相切的圆的面积 S E EF2 729 52 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 相似三角形的判定和性质 二 次函数的最值 勾股定理 直线与圆相切的性质 分析分析 1 已知抛物线的解析式 当x 0 可确定C点坐标 当y 0 时 可确定A B点 的坐标 从而确定AB OC的长 2 直线l BC 可得出 AED ABC 它们的面积比等于相似比的平方 由此得 到关于s m的函数关系式 根据题目条件 点E与点A B不重合 可确定m的取值范围 3 首先用m列出 AEC的面积表达式 AEC AED的面积差即为 CDE的面 积 由此可得关于S CDE关于m的函数关系式 根据函数的性质可得到S CDE的最大面积以 及此时m的值 过E做BC的垂线EF 这个垂线段的长即为与BC相切的 E的半径 可根据相 似三角形 BEF BCO得到的相关比例线段求得该半径的值 由此得解 5 5 20122012 贵州毕节贵州毕节 1616 分 分 如图 直线l1经过点A 1 0 直线l2经过点B 3 0 l1 l2均为与y轴交于点C 0 抛物线经过A B C三点 3 2 y a x bx c a0 1 求抛物线的函数表达式 2 抛物线的对称轴依次与x轴交于点D 与l2交于点E 与抛物线交于点F 与l1交于 点G 求证 DE EF FG 3 若l1 l2于y轴上的C点处 点P为抛物线上一动点 要使 PCG为等腰三角形 请写 出符合条件的点P的坐标 并简述理由 答案答案 解 1 抛物线经过A 1 0 B 3 0 C 0 2 y ax bx c a0 三点 3 解得 abc0 9a3bc0 c3 3 a 3 2 3 b 3 c3 抛物线的解析式为 2 32 3 y x x3 33 2 证明 设直线l1的解析式为y kx b 由直线l1经过A 1 0 C 0 得3 解得 直线l1的解析式为 y x kb0 b3 k3 b3 3 3 直线l2经过B 3 0 C 0 两点 同理可求得直线l2解析式3 为 y x 3 3 3 抛物线 2 2 32 334 3 y x x3 x1 3333 对称轴为x 1 D 1 0 顶点坐标为F 1 4 3 3 点E为x 1 与直线l2 y x的交点 令x 1 得y 3 3 3 2 3 3 E 1 2 3 3 点G为x 1 与直线l1 y x 的交点 令x 1 得y 3 3 2 3 G 1 2 3 各点坐标为 D 1 0 E 1 F 1 2 3 3 4 3 3 G 1 它们均位于对称轴x 1 上 2 3 DE EF FG 2 3 3 3 如图 过C点作C关于对称轴x 1 的对称点P1 CP1 交对称轴于H点 连接CF PG PCG为等腰三角形 有三种情况 当CG PG时 如图 由抛物线的对称性可知 此时 P1满足P1G CG C 0 对称轴x 1 P1 2 3 3 当CG PC时 此时P点在抛物线上 且CP的长度等 于CG 如图 C 1 H点在x 1 上 H 1 3 3 在Rt CHG中 CH 1 HG yG yH 2 3 3 3 由勾股定理得 PC 2 2 2 CG132 如图 CP1 2 此时与 中情形重合 又Rt OAC中 点A满足PC 2 的条件 但点 2 2 AC132 A C G在同一条直线上 所以不能构成等腰三角形 当PC PG时 此时P点位于线段CG的垂直平分线上 l1 l2 ECG为直角三角形 由 2 可知 EF FG 即F为斜边EG的中点 CF FG F为满足条件的P点 P2 1 4 3 3 又 CGE 30 HCG 60 CG3 cos CGE EG2 又P1C CG P1CG为等边三角形 P1点也在CG的垂直平分线上 此种情形与 重合 综上所述 P点的坐标为P1 2 或P2 1 3 4 3 3 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的性质 等腰三角形的性质 勾股定理 直角三角形斜边上中线的性质 锐角三角函数定义 特殊 角的三角函数值 分析分析 1 已知A B C三点坐标 利用待定系数法求出抛物线的解析式 2 D E F G四点均在对称轴x 1 上 只要分别求出其坐标 就可以得到线段 DE EF FG的长度 D是对称轴与x轴交点 F是抛物线顶点 其坐标易求 E是对称轴与 直线l2交点 需要求出l2的解析式 G是对称轴与l1的交点 需要求出l1的解析式 而 A B C三点坐标已知 所以l1 l2的解析式可以用待定系数法求出 从而问题得到解决 3 PCG为等腰三角形 需要分三种情况讨论 CG PG CG PC PC PG 6 6 20122012 贵州遵义贵州遵义 1212 分 分 如图 ABC是边长为 6 的等边三角形 P是AC边上一动点 由A向C运动 与A C不重合 Q是CB延长线上一点 与点P同时以相同的速度由B向 CB延长线方向运动 Q不与B重合 过P作PE AB于E 连接PQ交AB于D 1 当 BQD 30 时 求AP的长 2 当运动过程中线段ED的长是否发生变化 如果不变 求出线段ED的长 如果变化请 说明理由 答案答案 解 1 ABC是边长为 6 的等边三角形 ACB 60 BQD 30 QCP 90 设AP x 则PC 6 x QB x QC QB C 6 x 在Rt QCP中 BQD 30 PC QC 即 6 x 6 x 解得 1 2 1 2 x 2 当 BQD 30 时 AP 2 2 当点P Q运动时 线段DE的长度不会改变 理由如下 作QF AB 交直线AB的延长线于点F 连接QE PF PE AB于E DFQ AEP 90 点P Q做匀速运动且速度相同 AP BQ ABC是等边三角形 A ABC FBQ 60 在 APE和 BQF中 A FBQ AP BQ AEP BFQ 90 APE BQF AAS AE BF PE QF且PE QF 四边形PEQF是平行四边形 DE EF 1 2 EB AE BE BF AB DE AB 1 2 又 等边 ABC的边长为 6 DE 3 当点P Q运动时 线段DE的长度不会改变 考点考点 动点问题 等边三角形的性质 全等三角形的判定和性质 含 30 度角的直角三角 形的性质 分析分析 1 由 ABC是边长为 6 的等边三角形 可知 ACB 60 再由 BQD 30 可知 QCP 90 设AP x 则PC 6 x QB x 在Rt QCP中 BQD 30 PC QC 即 1 2 6 x 6 x 求出x的值即可 1 2 2 作QF AB 交直线AB的延长线于点F 连接QE PF 由点P Q做匀速运动 且速度相同 可知AP BQ 再根据全等三角形的判定定理得出 APE BQF 再由 AE BF PE QF且PE QF 可知四边形PEQF是平行四边形 进而可得出 EB AE BE BF AB DE AB 由等边 ABC的边长为 6 可得出DE 3 故当点P Q运动时 1 2 线段DE的长度不会改变 7 7 20122012 湖北宜昌湖北宜昌 1212 分 分 如图 在平面直角坐标系中 直线y x 1 分别与两坐标轴 3 3 交于B A两点 C为该直线上的一动点 以每秒 1 个单位长度的速度从点A开始沿直线BA 向上移动 作等边 CDE 点D和点E都在x轴上 以点C为顶点的抛物线y a x m 2 n经过点E M与x轴 直线AB都相切 其半径为 3 1 a 3 1 求点A的坐标和 ABO的度数 2 当点C与点A重合时 求a的值 3 点C移动多少秒时 等边 CDE的边CE第一次与 M相切 答案答案 解 1 当x 0 时 y 1 当y 0 时 x 3 OA 1 OB A的坐标是 0 1 3 tan ABO ABO 30 OA13 OB33 2 CDE为等边三角形 点A 0 1 tan30 OD OD OA 3 3 D的坐标是 0 E的坐标是 0 3 3 3 3 把点A 0 1 D 0 E 0 代入 y a x m 2 n 3 3 3 3 得 解得 a 3 2 2 2 1 am n 3 0 am n 3 3 0 am n 3 a 3 m 0 n 1 3 如图 设切点分别是Q N P 连接 MQ MN MP ME 过点C作CH x轴 H为垂足 过A作 AF CH F为垂足 CDE是等边三角形 ABO 30 BCE 90 ECN 90 CE AB分别与 M相切 MPC CNM 90 四边形MPCN为矩形 MP MN 四边形MPCN为正方形 MP MN CP CN 3 1 a a 0 3 EC和x轴都与 M相切 EP EQ NBQ NMQ 180 PMQ 60 EMQ 30 在Rt MEP中 tan30 PE 3 a PE PM 3 CE CP PE 3 1 a 3 a 2a 333 DH HE a CH 3a BH 3a 33 OH 3a OE 4a 3333 E 4a 0 C 3a 3a 3333 设二次函数的解析式为 y a x 3a 2 3a 33 E在该抛物线上 a 4a 3a 2 3a 0 3333 得 a2 1 解之得a1 1 a2 1 a 0 a 1 AF 2 CF 2 AC 4 3 点C移动到 4 秒时 等边 CDE的边CE第一次与 M相切 考点考点 动点问题 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 锐角 三角函数定义 特殊角的三角函数值 等边三角形的性质 直线与圆相切的性质 分析分析 1 已知直线AB的解析式 令解析式的x 0 能得到A点坐标 令y 0 能得到 B点坐标 在Rt OAB中 知道OA OB的长 用正切函数即可得到 ABO的值 2 当C A重合时 可知点C的坐标 然后结合OC的长以及等边三角形的特性 求出OD OE的长 即可得到D E的坐标 利用待定系数即可确定a的值 3 作出第一次相切时的示意图 已知的条件只有圆的半径 那么连接圆心与 三个切点以及点E 首先能判断出四边形CPMN是正方形 那么CP与 M的半径相等 只要 再求出PE就能进一步求得C点坐标 那么可以从PE EQ 即Rt MEP入手 首先 CED 60 而 MEP MEQ 易求得这两个角的度数 通过解直角三角形不难得到PE的 长 即可求出PE及点C E的坐标 然后利用C E的坐标确定a的值 从而可求出AC的 长 由此得解 8 8 20122012 湖南常德湖南常德 1010 分 分 已知四边形ABCD是正方形 O为正方形对角线的交点 一动点 P从B开始 沿射线BC运动 连结DP 作CN DP于点M 且交直线AB于点N 连结 OP ON 当P在线段BC上时 如图 1 当P在BC的延长线上时 如图 2 1 请从图 1 图 2 中任选一图证明下面结论 BN CP OP ON 且OP ON 2 设AB 4 BP x 试确定以O P B N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系 答案答案 1 证明 如图 1 四边形ABCD是正方形 OC OB DC BC DCB CBA 90 OCB OBA 45 DOC 90 DC AB DP CN CMD DOC 90 BCN CPD 90 PCN DCN 90 CPD CNB DC AB DCN CNB CPD 在 DCP和 CBN中 DCP CBN CPD BNC DC BC DCP CBN AAS CP BN 在 OBN和 OCP中 OB OC OCP OBN CP BN OBN OCP SAS ON OP BON COP BON BOP COP BOP 即 NOP BOC 90 ON OP 2 解 AB 4 四边形ABCD是正方形 O到BC边的距离是 2 图 1 中 OBNBOPOPBN 11 SSS4x2x 24 0 x4 22 五五 五五五五 边 以O P B N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是 2 4 0 x4 y 1 xxx4 2 五五 五五 考点考点 正方形的性质 三角形外角性质 全等三角形的判定和性质 两线垂直的判定 多边形的面积的分解 函数解析式的确定 分段函数 点到直线的距离 分析分析 1 对于图 1 证明线段相等 一般情况下找全等 根据BN CP的分布情况 可 以观察 CNB和 DPC 然后证明两三角形全等 也可以观察 CAN和 DBP 证明AN BP 从而有BN CP 对于图 2 证明如下 ABCD为正方形 AC BD为对角线 DCP 90 CM DP PCM PDC PDB CAN 又 DPB ANC BD AC PDB NCA ASA PB AN DP CN CP BN PDB CAN OD OC CP BN PDO NCO SAS OP ON DOP CON DOC 90 PON NOC POC DOP POC DOC 90 OP ON 2 求以O P B N为顶点的四边形的面积 则要把四边形分解为两个三角形 去解决问题 图 1 中 S四边形OPBN S OBN S BOP 图 2 中 S四边形OBNP S POB S PBN 代入 求出即可 9 9 20122012 湖南张家界湖南张家界 1010 分 分 如图 O的直径AB 4 C为圆周上一点 AC 2 过点C作 O的切线DC P点为优弧上一动点 不与A C重合 A CBA 1 求 APC与 ACD的度数 2 当点P移动到CB弧的中点时 求证 四边形OBPC是菱形 3 P点移动到什么位置时 APC与 ABC全等 请说明理由 答案答案 解 1 连接AC 如图所示 AB 4 OA OB OC AB 2 1 2 又 AC 2 AC OA OC ACO为等边三角形 AOC ACO OAC 60 APC AOC 30 1 2 又DC与圆O相切于点C OC DC DCO 90 ACD DCO ACO 90 60 30 2 连接PB OP AB为直径 AOC 60 COB 120 当点P移动到弧CB的中点时 COP POB 60 COP和 BOP都为等边三角形 AC CP OA OP 四边形AOPC为菱形 3 当点P与B重合时 ABC与 APC重合 显然 ABC APC 当点P继续运动到CP经过圆心时 ABC CPA 理由为 CP与AB都为圆O的直径 CAP ACB 90 在Rt ABC与Rt CPA中 AB CP AC AC Rt ABC Rt CPA HL 综上所述 当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时 ABC CPA 考点考点 切线的性质 等边三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 圆周角定理 菱形的判定 分析分析 1 连接AC 由直径AB 4 得到半径OA OC 2 又AC 2 得到AC OC OA 即 AOC为等边三角形 可得出三个内角都为 60 再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍 得到 APC为 30 由CD为圆O的切线 得到OC垂直于CD 可得出 OCD为直角 用 OCD OCA可得出 ACD的度数 2 由 AOC为 60 AB为圆O的直径 得到 BOC 120 再由P为CB 的中 点 得到两条弧相等 根据等弧对等角 可得出 COP BOP 60 从而得到 COP与 BOP都为等边三角形 可得出OC OB PC PB 即四边形OBPC为菱形 3 点P有两个位置使 APC与 ABC全等 其一 P与B重合时 显然两三角 形全等 第二 当CP为圆O的直径时 此时两三角形全等 10 10 20122012 江苏无锡江苏无锡 1010 分 分 如图 菱形ABCD的边长为 2cm DAB 60 点P从A点出 发 以cm s的速度 沿AC向C作匀速运动 与此同时 点Q也从A点出发 以 1cm s 的速度 沿射线AB作匀速运动 当P运动到C点时 P Q都停止运动 设点P运动的时 间为ts 1 当P异于A C时 请说明PQ BC 2 以P为圆心 PQ长为半径作圆 请问 在整个运动过程中 t为怎样的值时 P与 边BC分别有 1 个公共点和 2 个公共点 答案答案 解 1 四边形ABCD是菱形 且菱形ABCD的边长为 2 AB BC 2 BAC DAB 1 2 又 DAB 60 BAC BCA 30 如图 1 连接BD交AC于O 四边形ABCD是菱形 AC BD OA AC 1 2 OB AB 1 OA AC 2OA 2 1 2 33 运动ts后 AP t AO t 3 APAC 3 AQAB 又 PAQ CAB PAQ CAB APQ ACB PQ BC 2 如图 2 P与BC切于点M 连接PM 则PM BC 在Rt CPM中 PCM 30 PM 13 PC 3t 22 由PM PQ AQ t 即 t 解得t 3 3t 2 4 36 此时 P与边BC有一个公共点 如图 3 P过点B 此时PQ PB PQB PAQ APQ 60 PQB为等边三角形 QB PQ AQ t t 1 当时 P与边BC有 2 个公共点 4 36t1 如图 4 P过点C 此时PC PQ 即 t2 33t t 33 当 1 t 时 P与边BC有一个公共点 33 当点P运动到点C 即t 2 时 Q B重合 P过点B 此时 P与边BC有一个公共点 综上所述 当t 或 1 t 或t 2 时 P与菱形ABCD4 36 33 的边BC有 1 个公共点 当时 P与边BC有 2 个公共点 4 36t1m1n 五 1 0a 2 若 则 a0 n1m 由题设 解出不等式组的解为 n0m2 五 1 a0 2 综上所述 数a的取值范围为 1 a0 2 1 0a 2 a0 此时 点E已在边DA延长线上 不合题意 舍去 实际上是无理方 程的增根 当时 y 22 x 2 2 22225 2 2 4 2 222 此时 点E在边AD上 符合题意 当时 点D关于直线PE的对称点D 落在边AB上 22 x 2 考点考点 矩形的性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理 折叠对称的性质 解无理方 程 分析分析 1 CM 1 CP x DE y DP 4 x 且 MCP PDE 即 y x2 4x DEDP CPCM y4x x1 2 当点E与点A重合时 y 2 即 2 x2 4x x2 4x 2 0 解得 x22 3 过点P作PH AB于点H 则由点D关于直线PE的对称点D 落在边AB上 可得 E D A与 D P H相似 由对应边成比例得得关于x的方程即可求解 注意检验 14 14 20122012 江苏徐州江苏徐州 8 8 分 分 如图 1 A B C D为矩形的四个顶点 AD 4cm AB dcm 动 点E F分别从点D B出发 点E以 1 cm s的速度沿边DA向点A移动 点F以 1 cm s的 速度沿边BC向点C移动 点F移动到点C时 两点同时停止移动 以EF为边作正方形 EFGH 点F出发xs时 正方形EFGH的面积为ycm2 已知y与x的函数图象是抛物线的一 部分 如图 2 所示 请根据图中信息 解答下列问题 1 自变量x的取值范围是 2 d m n 3 F出发多少秒时 正方形EFGH的面积为 16cm2 答案答案 解 1 0 x 4 2 3 2 25 3 过点E作EI BC垂足为点I 则四边形DEIC为矩形 EI DC 3 CI DE x BF x IF 4 2x 在Rt EFI中 2 2222 EFEIIF342 x 五五 y是以EF为边长的正方形EFGH的面积 2 2 y342 x 五 当y 16 时 2 2 342 x16 五 解得 12 4747 xx 22 五 五 F出发或秒时 正方形EFGH的面积为 16cm2 47 2 五47 2 考点考点 动点问题 矩形的判定和性质 平行线间垂直线段的性质 勾股定理 解一元二 次方程 分析分析 1 自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间 由时间 距离 速度 即可求 2 由图 2 知 正方形EFGH的面积的最小值是 9 而正方形EFGH的面积最小时 根据地两平行线间垂直线段最短的性质 得d AB EF 3 当正方形EFGH的面积最小时 由BF DE和EF AB得 E F分别为AD BC 的中点 即m 2 当正方形EFGH的面积最大时 EF等于矩形ABCD的对角线 根据勾股定理 它为 5 即n 25 3 求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式 即可求得F出发或 47 2 五 秒时 正方形EFGH的面积为 16cm2 47 2 15 15 20122012 四川乐山四川乐山 1313 分 分 如图 在平面直角坐标系中 点A的坐标为 m m 点B的 坐标为 n n 抛物线经过A O B三点 连接OA OB AB 线段AB交y轴于点 C 已知实数m n m n 分别是方程x2 2x 3 0 的两根 1 求抛物线的解析式 2 若点P为线段OB上的一个动点 不与点O B重合 直线PC与抛物线交于D E两 点 点D在y轴右侧 连接OD BD 当 OPC为等腰三角形时 求点P的坐标 求 BOD 面积的最大值 并写出此时点D的坐标 答案答案 解 1 解方程x2 2x 3 0 得 x1 3 x2 1 m n m 1 n 3 A 1 1 B 3 3 抛物线过原点 设抛物线的解析式为y ax2 bx 解得 ab 1 9a3b 3 1 a 2 1 b 2 抛物线的解析式为 2 11 y x x 22 2 设直线AB的解析式为y kx b 解得 k b 1 3k b 3 1 k 2 3 b 2 直线AB的解析式为 13 y x 22 C点坐标为 0 3 2 直线OB过点O 0 0 B 3 3 直线OB的解析式为y x OPC为等腰三角形 OC OP或OP PC或OC PC 设P x x i 当OC OP时 解得 舍去 2 2 9 x x 4 12 3 23 2 x x 44 五 P1 3 23 2 44 五 ii 当OP PC时 点P在线段OC的中垂线上 P2 33 44 五 iii 当OC PC时 由 解得 舍去 2 2 39 x x 24 12 3 x x 0 2五 P3 33 22 五 综上所述 P点坐标为P1 或P2 或 3 23 2 44 五 33 44 五 P3 33 22 五 过点D作DG x轴 垂足为G 交OB于Q 过B作BH x轴 垂足为 H 设Q x x D x 2 11 x x 22 S BOD S ODQ S BDQ DQ OG DQ GH 1 2 1 2 DQ OG GH 1 2 2 111 x x x3 222 2 3327 x 4216 0 x 3 当时 S取得最大值为 此时D 3 x 2 27 16 33 28 五 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 解一元二次方程 等腰三角形的性质 二次函数的最值 分析分析 1 首先解方程得出A B两点的坐标 从而利用待定系数法求出二次函数解析式 即可 2 首先求出AB的直线解析式 以及BO解析式 再利用等腰三角形的性质得 出当OC OP时 当OP PC时 点P在线段OC的中垂线上 当OC PC时分别求出x的值即可 利用S BOD S ODQ S BDQ得出关于x的二次函数 从而得出最值即可 16 16 20201212 四川攀枝花四川攀枝花 1212 分 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 四边形ABCD是菱形 顶 点A C D 均在坐标轴上 且AB 5 sinB 4 5 1 求过A C D三点的抛物线的解析式 2 记直线AB的解析式为y1 mx n 1 中抛物线的解析式为y2 ax2 bx c 求当y1 y2 时 自变量x的取值范围 3 设直线AB与 1 中抛物线的另一个交点为E P点为抛物线上A E两点之间的一个 动点 当P点在何处时 PAE的面积最大 并求出面积的最大值 答案答案 解 1 四边形ABCD是菱形 且AB 5 AB AD CD BC 5 sinB sinD 4 5 在Rt OCD中 OC CD sinD 4 OD 3 OA AD OD 2 A 2 0 B 5 4 C 0 4 D 3 0 设抛物线的解析式为 y a x 2 x 3 将C 0 4 代入得 2 3 a 4 解得a 2 3 抛物线的解析式为y x 2 x 3 2 3 2 22 x x 4 33 2 由A 2 0 B 5 4 得直线AB 1 48 yx 33 由 1 得 则 2 2 22 yx x 4 33 解得 2 48 yx 33 22 yx x 4 33 1 1 x2 y0 2 2 x5 28 y 3 由图可知 当y1 y2时 2 x 5 3 S PAE等于AE和AE上高乘积的一半 当在抛物线上A E两点之间 P到直线AB的距离最大时 S PAE最大 若设直线L AB 则直线L与抛物线有且只有一个交点时 该交点为点P 设直线L 4 yx b 3 当直线L与抛物线有且只有一个交点时 且 2 422 x bx x 4 333 0 由化简 得 2 422 x bx x 4 333 2 2x6x 3b120 2 6423b1224b 132 0 解得 b 11 2 且 解得 2 4x12x 90 3 x 2 直线L 点P 411 yx 32 37 22 五 由 2 得 E 5 则直线PE 28 3 11 yx 9 3 设直线PE与x轴交于点F 则点F 0 AF OA OF 27 11 49 11 PAE的最大值 PAEPAFAEF 149287343 SSS 2113212 五五 综上所述 当P 时 PAE的面积最大 为 37 22 五 343 12 考点考点 二次函数综合题 菱形的性质 锐角三角函数定义 待定系数法 曲线上点的坐 标与方程的关系 直线与抛物线的交点 平行线的性质 一元二次方程根的判别式 分析分析 1 由菱形ABCD的边长和一角的正弦值 可求出OC OD OA的长 从而确定 A C D三点坐标 通过待定系数法可求出抛物线的解析式 2 首先由A B的坐标确定直线AB的解析式 然后求出直线AB与抛物线解析式 的两个交点 然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分 3 该题的关键点是确定点P的位置 P AE的面积最大 那么AE上的高最大 即点P离直线AE的距离最远 那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点 根据一元二次方程根的判别式 0 求解即可 17 17 20122012 四川广元四川广元 1212 分 分 如图 在矩形ABCO中 AO 3 tan ACB 以O为坐标原 3 4 点 OC为x 轴 OA为y轴建立平面直角坐标系 设D E分别是线段AC OC上的动点 它们同时出发 点D以每 秒 3 个单位的速度从点A向点C运动 点E以每秒 1 个单位的速度从点C向点O运动 设 运动时间为t 秒 1 求直线AC的解析式 2 用含t的代数式表示点D的坐标 3 当t为何值时 ODE为直角三角形 4 在什么条件下 以Rt ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线 并请选择一种 情况 求出所确定抛物线的解析式 答案答案 解 1 根据题意 得CO AB BC tan ACB 4 A 0 3 B 4 3 C 4 0 设直线AC的解析式为 y kx 3 代入C点坐标 得 4k 3 0 k 3 4 直线AC y x 3 3 4 2 分别作DF AO DH CO 垂足分别为F H 则有 ADF DCH ACO AD DC AC AF DH AO FD HC OC 而AD 3t 其中 0 t OC AB 4 AC 5 3 5 FD AF DH HC 412 ADt 55 39 ADt 55 9 3t 5 12 4t 5 D 12 t 5 9 3t 5 3 CE t E t 0 OE OC CE 4 t HE CH CE 12t17t 4 t4 55 则OD2 DH2 OH2 222 9t12t54 3 9tt9 555 DE2 DH2 HE2 222 9t17t74 3 4 t38t25 555 当 ODE为直角三角形时 有OD2 DE2 OE2 或OD2 OE2 DE2 或 DE2 OE2 OD2 即 222 5474 9tt9 t38t25 4t 55 或 222 5474 9tt9 4t t38t25 55 或 222 7454 t38t25 4t 9tt9 55 上述三个方程在 0 t 内的所有实数解为 3 5 1234 1520 tt1 t0t 1917 五五五 4 当DO OE 及DE OE时 即和时 以Rt ODE的三个顶点 3 t0 4 20 t 17 不确定对 称轴平行于y轴的抛物线 其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线 D E 4 t 0 12 t 5 9 3t 5 当时 D E 3 0 2 t1 12 5 6 5 抛物线过O 0 0 设所求抛物线为 将点D E坐标 2 yaxbx 代入 得 解得 614412 a b 5255 0 9a 3b 5 a 6 5 b 2 所求抛物线为 2 55 yxx 62 考点考点 二次函数综合题 动点问题 矩形的性质 锐角三角函数定义 待定系数法 曲 线上点的坐标与方程的关系 相似三角形的判定和性质 勾股定理和逆定理 解一元二次 方程和二元一次方程组 分析分析 1 在Rt AOC中 已知AO的长以及 ACB的正弦值 能求出OC的长 即可确 定点C的坐 标 利用待定系数法能求出直线AC的解析式 2 过D作AO OC的垂线 通过构建相似三角形来求出点D的坐标 3 用t表示出OD DE OE的长 若 ODE为直角三角形 那么三边符合勾股定 理 据此列方 程求出对应的t的值 4 根据 3 的结论能得到t的值 ODE中 当OD x轴或DE垂直x轴时 都 不能确定 一 条对称轴平行于y轴的抛物线 余下的情况都是符合要求的 首先得D E的坐标 再利 用待定系数法求出抛物线的解析式 当时 所求抛物线为 1 15 t 19 2 1961 yxx 3030 18 18 20122012 四川巴中四川巴中 1212 分 分 如图 在平面直角坐标系中 点A C分别在x轴 y轴上 四边形ABCO 为矩形 AB 16 点D与点A关于y轴对称 tan ACB 点E F分别是线段AD AC上 3 4 的动点 点 E不与点A D重合 且 CEF ACB 1 求AC的长和点D的坐标 2 说明 AEF与 DCE相似 3 当 EFC为等腰三角形时 求点E的坐标 答案答案 解 1 四边形ABCO为矩形 B 90 在Rt ABC中 BC AB tan ACB 16 12 AC 4 3 2222 ABBC16 1220 则AO BC 12 A 12 0 点D与点A关于轴对称 D 12 0 y 2 点D与点A关于y轴对称 CDE CAO CEF ACB ACB CAO CDE CEF 又 AEC AEF CEF CDE DCE 三角形外角性质 AEF DCE 则在 AEF与 DCE中 CDE CAO AEF DCE AEF DCE 3 当 EFC为等腰三角形时 有以下三种情况 当CE EF时 AEF DCE AEF DCE AE CD 20 OE AE OA 20 12 8 E 8 0 当EF FC时 如图所示 过点F作FM CE于M 则点M为CE中点 CE 2ME 2EF cos CEF 2EF cos ACB EF 6 5 点D与点A关于y轴对称 CD AC 20 AEF DCE 即 解得 EFAE CECD EFAE 6 20 EF 5 50 AE 3 OE AE OA E 0 5014 12 33 14 3 当CE CF时 则有 CFE CEF CEF ACB CAO CFE CAO 即此时F点与A点重合 这与已知条件矛盾 综上所述 当 EFC为等腰三角形时 点E的坐标为 8 0 或 0 14 3 考点考点 坐标与图形性质 矩形的性质 轴对称的性质 等腰三角形的判定和性质 相似 三角形的判定和性质 勾股定理 锐角三角函数定义 分析分析 1 利用矩形的性质 在Rt ABC中 利用三角函数求出AC BC的长度 从而 得到A点坐标 由点D与点A关于y轴对称 进而得到D点的坐标 2 欲证 AEF与 DCE相似 只需要证明两个对应角相等即可 在 AEF与 DCE中 易知 CDE CAO AEF DCE 从而问题解决 3 当 EFC为等腰三角形时 需要分CE EF EF FC CE CF三种情况讨论 19 19 20122012 山东临沂山东临沂 1111 分 分 已知 在矩形ABCD中 AB a BC b 动点M从点A出发沿边 AD向点D运动 1 如图 1 当b 2a 点M运动到边AD的中点时 请证明 BMC 90 2 如图 2 当b 2a时 点M在运动的过程中 是否存在 BMC 90 若存在 请给与 证明 若不存在 请说明理由 3 如图 3 当b 2a时 2 中的结论是否仍然成立 请说明理由 答案答案 1 证明 b 2a 点M是AD的中点 AB AM MD DC a 又 在矩形ABCD中 A D 90 AMB DMC 45 BMC 90 2 解 存在 理由如下 若 BMC 90 则 AMB DMC 90 又 AMB ABM 90 ABM DMC 又 A D 90 ABM DMC AMAB CDDM 设AM x 则 整理得 x2 bx a2 0 xa bbx b 2a a 0 b 0 b2 4a2 0 方程有两个不相等的实数根 又 两根之积等于a2 0 两根同号 又 两根之和等于b 0 两根为正 符合题意 当b 2a时 存在 BMC 90 3 解 不成立 理由如下 若 BMC 90 由 2 可知x2 bx a2 0 b 2a a 0 b 0 b2 4a2 0 方程没有实数根 当b 2a时 不存在 BMC 90 即 2 中的结论不成立 考点考点 动点问题 矩形的性质 三角形内角和定理 相似三角形的判定和性质 一元二 次方程根的判别式和根与系数的关系 分析分析 1 由b 2a 点M是AD的中点 可得AB AM MD DC a 又由四边形ABCD是矩形 即可求得 AMB DMC 45 则可求得 BMC 90 2 由 BMC 90 易证得 ABM DMC 设AM x 根据相似三角形的对应边成 比例 即 可得方程 x2 bx a2 0 由b 2a a 0 b 0 即可判定 0 结合根与系数的关系可 确定方程有两个不相等的实数根 且两根均大于