18§4-1二.同角三角函数关系式.doc

4-1任意角三角函数4-1 任意角三角函数二.同角三角函数关系和诱导公式4.1.28下列四个命题中,能够成立的是_.(A)sina=且cosa=(B)sina=且csca=2(C)sina=0且cosa=-1(D)cosa=且seca=-2解析:sina=且cosa=与sin2a+cos2a=1矛盾,sina=且csca=2与sinacsca=1矛盾,cosa=且seca=-2与cosaseca=1,当a=p时,sina=0且cosa=-1,所以,答案为C.4.1.29已知1+sinq+cosq=0,则q的取值范围是_.(A)第三象限(B)第四象限(C)2kp+pq2kp+(kZ)(D)2kp+q2kp+2p(kZ)解析:由已知得sinq|sinq|+cosq|cosq|=-1,于是等式成立的条件是sinq0且cosq0,所以,q的取值范围是2kp+pq2kp+(kZ),答案为C.4.1.30下列各式中正确的是_.(A)cos3(-a-p)=cos3a(B)sin(a-3p)=sina(C)sec(3p-a)=(D)-cot(5p-2a)=cot2a解析:根据诱导公式可得cos3(-a-p)=(-cosa)3=-cos3a;sin(a-3p)=-sin(3p-a)=-sin(p-a)=-sina;sec(3p-a)=sec(p-a)=-seca=-;-cot(5p-2a)=-cot(p-2a)=cot2a,所以,答案为D.4.1.31已知sin(p+a)=-,则必有_.(A)cosa=(B)tana=(C)seca=-(D)sin(p-a)=解析:由诱导公式得sina=,则a为第一或第二象限角,所以,cosa,seca和tana的值的正负情况不能确定,而sin(p-a)=sina,所以,答案为D.4.1.32若|cos(-a)|=cosa,则_.(A)2kp-a2kp+(kZ)(B)aR(C)2kpa2kp+p(kZ)(D)a是第一或第四象限角解析:由cos(-a)=cosa得|cos(-a)|=cosa成立的条件是cosa0,所以,a的取值范围是2kp-a2kp+(kZ),答案为A.4.1.33下列命题中不正确的是_.(A)若a角与b角的终边相同,则cosa=cosb(B)若a角与b角的终边关于 x轴对称,则cosa=cosb(C)若a角与b角的终边关于 y轴对称,则cosa+cosb=0(D)若 cosa=cosb,则a角与b角的终边相同解析:若a角与b角的终边关于x轴对称,则a+b=2kp,kZ,于是cosa=cos(2kp-b)=cosb.若a角与b角的终边关于y轴对称,则a+b=2kp+p,kZ,cosa=cos(2kp+p-b)=-cosb,所以,cosa+cosb=0.cos=cos(-)=,但是,角与-角终边不同,答案为D.4.1.34已知m(0,1),a是三角形内角,tana=,则cosa=_.解析:由m(0,1)和a是三角形内角及tana=0得a0且cosx0,所以,m=8.4.1.37已知a是第二象限角,=-4,则tana的值等于_.解析:由已知得2sin2a-3cos2a=-4cos2a+4sin2a,于是,tan2a=,所以,tana=-.4.1.38写出下列三角函数值:(1)sin390=_;(2)tan=_;(3)cos(-690)=_;(4)sin(-)=_.解析:(1)sin390=sin(360+30)=sin30=;(2)tan=tan(4p+)=tan(p+)=tan=-;(3)cos(-690)=cos(-2360+30)=cos30=;(4)sin(-)=-sin(22p-)=sin=.4.1.39a2sin+abcosp-b2cos7p-abtansec2p=_.解析:sin=sin(2p+)=sin=1,cosp=-1,cos7p=cos(6p+p)=cosp=-1,tan=tan(p+)=tan=1,sec2p=1,所以,原式=a2-ab+b2-ab=(a-b)2.4.1.40tan+tan+tan+tan=_.解析:tan=tan(p-)=-tan,同理,tan=-tan,所以,原式=0.4.1.41化简cos2(p-a)+tan(p+a)cot(-p-a)-sin(2p-a)cos(p+a)tan(2p+a)=_.解析:原式=cos2a+tan(p+a)-cot(p+a)+sina(-cosa)tana=cos2a-1-sin2a=-2sin2a.4.1.42已知tanx=-,且x(0,2p),则x=_.解析:由tanx0得x是第二或第四象限角,tan=tan(p-)=-tan=-,tan=tan(2p-)=-tan=-,所以,x=或x=.4.1.43设f(x)=msin(px+a1)+ncos(px+a2),其中m,n, a1, a2都是非零实数,若f(2001)=1,则f(2002)=_.解析:f(2001)=msin(2001p+a1)+ncos(2001p+a2)=-msina1-ncosa2=1,则f(2002)= msin(2002p+a1)+ncos(2002p+a2)=msina1+ncosa2=-1.4.1.44已知3sin2a+2sin2b=5sina,a,bR,求cos2a+cos2b的取值范围.解析:由2sin2b=5sina-3sin2a得05sina-3sin2a2,解得0sina或sina=1.cos2a+cos2b=1-sin2a+1-(-sin2a+sina)=(sina-)2-,所以,cos2a+cos2b的取值范围是,20.4.1.45若=tanx-secx,则x的取值范围是_.(A)2kp+x2kp+(kZ)(B)kp+xkp+(kZ)(C)2kpx2kp+p(kZ)(D)2kp-x2kp+(kZ)解析:左边=,右边=,所以,等式成立的条件是cosx0,x的取值范围是2kp+x2kp+(kZ),答案为A.4.1.46若seca-tana=2,则seca+tana=_.解析:由sec2a-tan2a=1得(seca-tana)(seca+tana)=1,所以,seca+tana=.4.1.47若tanx=-2,则2sin2x+sinxcosx-3cos2x=_.解析:2sin2x+sinxcosx-3cos2x=cos2x(2tan2x+tanx-3)=.4.1.48已知sinq-cosq=,则sin3q-cos3q=_.解析:由已知得sin2q+cos2q-2sinqcosq=,则sinqcosq=,sin3q-cos3q=(sinq-cosq)(sin2q+sinqcosq+cos2q)=.4.1.49已知sina+cosa=,则tana+cota=_.解析:由已知得sin2a+cos2a+2sinacosa=,则sinacosa=-,于是tana+cota=-3.4.1.50已知tana=2,则(1)sin2a+cos2a=_;(2)=_.解析:(1)sin2a+cos2a=+(-)cos2a=+=+=;(2)由tana=2得sina=2cosa,则=3.4.1.51已知tanq=-3,则3sinq+cosq的值是_.解析:由tanq=-31,求sina-cosa的值.解析:由已知可得,解得或,再由tana1得sina-cosa=.4.1.60已知cscq=a,q(2kp+p,2kp+p),kZ,试用a表示cosq.解析:cota=,cosq=sinqcotq=.4.1.61化简cos(p+a)+cos(p-a)(nZ).解析:原式=cos(np+a)+cos(np-a),若n=2k(kZ),则原式=cos(+a)+cos(-a)=2cos(+a);若当n=2k+1,则原式= cos(p+a)+cos(p-a)=-2cos(+a);所以,cos(p+a)+cos(p-a)=2(-1)ncos(+a).4.1.62若sinacosa0,sinatana0,化简:.解析:由sinatana=0得cosa0,再由sinacosa0,则a为第二象限角,即2kp+a2kp+p,kZ,于是kp+kp+,若k=2m,mZ,则2mp+2mp+;若k=2m+1,mZ,则2mp+2mp+,于是,原式=,所以,当4mp+a4mp+p,mZ时,原式=,当4mp+a4mp+3p,mZ时,原式=-.4.1.63已知a在第一象限,且=3+2,则cosa的值是_.(A)(B)(C)(D)分析:已知条件是一个关于tana的一元一次方程,解此方程求得tana的值,再用同角三角函数关系式求cosa的值.解:已知条件=3+2即为(4+2)tana=2+2,解得tana=,则sec2a=1+tan2a=,又已知a为第一象限角,所以,cosa=,答案为B.4.1.64已知0a0,求证:.解析:将已知条件与sin2a+cos2a=l联立成方程组解出sin2a和cos2a的值,再代入要证明的等式即可.证:,于是(+)cos4a-cos2a+-=0,即(a+b)2cos4a-2b(a+b)cos2a+b2=0,解得cos2a=,则sin2a=,所以,=+=.4.1.66已知a为锐角,sina=sinb且tana=tanb,求a的值.分析:已知条件是一个关于a,b的二元方程组,利用同角三角函数关系消去b,得到a所满足的条件,从而求得a的值.解:由已知得=,则sina=,而a是锐角,则有cosb=cosa,于是,(sina)2+(cosa)2=1,64(1-cos2a)+4cos2a=49,cos2a=,所以,锐角a=.4.1.67若锐角a, b,