第05章 万有引力、天体运动

1 第五章第五章 万有引力 天体运动万有引力 天体运动 第一部分第一部分 五年高考题荟萃五年高考题荟萃 20092009 年高考新题年高考新题 一 选择题一 选择题 1 1 09 09 全国全国 19 19 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星 这颗行星的体积是地球的 4 7 倍 是地球的 25 倍 已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为 1 4 小时 引力常量 G 6 67 10 11N m2 kg2 由此估算该行星的 平均密度为 D A 1 8 103kg m3 B 5 6 103kg m3 C 1 1 104kg m3 D 2 9 104kg m3 解析解析 本题考查天体运动的知识 首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供 2 2 2 4 T R m R Mm G 可 求出地球的质量 然后根据 3 4 3 R M 可得该行星的密度约为 2 9 104kg m3 2 2 09 09 上海物理上海物理 8 8 牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据 运用严密的逻辑推理 建立了万有引力定律 在创建万有引力定律的过程中 牛顿 AB A 接受了胡克等科学家关于 吸引力与两中心距离的平方成反比 的猜想 B 根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实 得出物体受地球的引力与其质量成正比 即 F m 的结 论 C 根据 F m 和牛顿第三定律 分析了地月间的引力关系 进而得出 F m1m2 D 根据大量实验数据得出了比例系数 G 的大小 解析解析 题干要求 在创建万有引力定律的过程中 牛顿知识接受了平方反比猜想 和物体受地球的引力与其 质量成正比 即 F m 的结论 而提出万有引力定律后 后来利用卡文迪许扭称测量出万有引力常量 G 的大小 只与 C 项也是在建立万有引力定律后才进行的探索 因此符合题意的只有 AB 3 3 09 09 广东物理广东物理 5 5 发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道 发射场一般选择在尽可能靠近赤道 的地方 如图这样选址的优点是 在赤道附近 B A 地球的引力较大 B 地球自转线速度较大 C 重力加速度较大 D 地球自转角速度较大 解析解析 由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道 在靠进赤道处的地面上 的物体的线速度最大 2 发射时较节能 因此 B 正确 4 4 09 09 江苏物理江苏物理 3 3 英国 新科学家 New Scientist 杂志评选出了 2008 年度世界 8 项科学之最 在 XTEJ1650 500 双星系统中发现的最小黑洞位列其中 若某黑洞的半径R约 45km 质量M和半径R的关系满 足 2 2 Mc RG 其中c为光速 G为引力常量 则该黑洞表面重力加速度的数量级为 C A 82 10 m s B 102 10 m s C 122 10 m s D 142 10 m s 解析解析 处理本题要从所给的材料中 提炼出有用信息 构建好物理模型 选择合适的物理方法求解 黑洞实际 为一天体 天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力 对黑洞表面的某一质量为 m 物体有 mg R Mm G 2 又有 2 2 Mc RG 联立解得 R c g 2 2 带入数据得重力加速度的数量级为 122 10 m s C 项正确 5 5 09 09 广东理科基础广东理科基础 10 10 关于地球的第一宇宙速度 下列表述正确的是 A A 第一宇宙速度又叫环绕速度 B 第一宇宙速度又叫脱离速度 C 第一宇宙速度跟地球的质量无关 D 第一宇宙速度跟地球的半径无关 解析解析 第一宇宙速度又叫环绕速度 A 对 B 错 根据定义有 R V m R mM G 2 2 可知与地球的质量和半径有关 CD 错 6 6 09 09 重庆重庆 17 17 据报道 嫦娥一号 和 嫦娥二号 绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为 200Km 和 100Km 运动速率分别为 v1和 v2 那么 v1和 v2的比值为 月球半径取 1700Km C A 19 18 B 19 18 C 18 19 D 18 19 7 7 09 09 四川四川 15 15 据报道 2009 年 4 月 29 日 美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星 逆向运行的小行星 代号为 2009HC82 该小行星绕太阳一周的时间为 3 39 年 直径 2 3 千米 其轨道平面 与地球轨道平面呈 155 的倾斜 假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动 则小行星和地球绕太 阳运动的速度大小的比值为 A A 1 3 3 39 B 1 2 3 39 C 3 2 3 39D 2 3 3 3 9 解析解析 小行星和地球绕太阳作圆周运动 都是由万有引力提供向心力 有 2 GMm R 2 2 mR T 可知小行星和 3 地球绕太阳运行轨道半径之比为 R1 R2 3 2 1 2 2 T T 又根据 V GM R 联立解得 V1 V2 3 1 2 T T 已知 1 2 T T 1 3 39 则 V1 V2 3 1 3 39 8 8 09 09 安徽安徽 15 15 2009 年 2 月 11 日 俄罗斯的 宇宙 2251 卫星和美国的 铱 33 卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生碰撞 这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件 碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太 空环境 假定有甲 乙两块碎片 绕地球运动的轨道都是圆 甲的运行速率比乙的大 则下列说法中正确的是 D A 甲的运行周期一定比乙的长 B 甲距地面的高度一定比乙的高 C 甲的向心力一定比乙的小 D 甲的加速度一定比乙的大 解析解析 由 r GM v 可知 甲的速率大 甲碎片的轨道半径小 故 B 错 由公式 GM R 2T 3 可知甲的周期 小故 A 错 由于未知两碎片的质量 无法判断向心力的大小 故 C 错 碎片的加速度是指引力加速度由 ma R mGM 2 得a R GM 2 可知甲的加速度比乙大 故 D 对 9 9 09 09 安徽安徽 16 16 大爆炸理论认为 我们的宇宙起源于 137 亿年前的一次大爆炸 除开始瞬间外 在演化至 今的大部分时间内 宇宙基本上是匀速膨胀的 上世纪末 对 1A 型超新星的观测显示 宇宙正在加速膨胀 面对这个出人意料的发现 宇宙学家探究其背后的原因 提出宇宙的大部分可能由暗能量组成 它们的排斥作 用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀 如果真是这样 则标志宇宙大小的宇宙半径 R 和宇宙年龄的关 系 大致是下面哪个图像 C 解析解析 图像中的纵坐标宇宙半径R可以看作是星球发生的位移x 因而其切线的斜率就是宇宙半径增加的快慢 程度 由题意 宇宙加速膨胀 其半径增加的速度越来越大 故选 C 10 10 09 09 山东山东 18 18 2008 年 9 月 25 日至 28 日我国成功实施了 神舟 七号载入航天飞行并实现了航天员首 次出舱 飞船先沿椭圆轨道飞行 后在远地点 343 千米处点火加速 由椭圆轨道变成高度为 343 千米的圆轨道 在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 分钟 下列判断正确的是 BC A 飞船变轨前后的机械能相等 B 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 P A 地球 Q 轨道 1 轨道 2 4 C 飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 解析解析 飞船点火变轨 前后的机械能不守恒 所以 A 不正确 飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力 航 天员出舱前后都处于失重状态 B 正确 飞船在此圆轨道上运动的周期 90 分钟小于同步卫星运动的周期 24 小 时 根据 2 T 可知 飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 C 正确 飞船变轨前 通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度 变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度 所 以相等 D 不正确 考点 机械能守恒定律 完全失重 万有引力定律 提示 若物体除了重力 弹性力做功以外 还有其他力 非重力 弹性力 不做功 且其他力做功之和不为零 则机械能不守恒 根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度 周期 动能 动量等状态量 由 2 2 Mmv Gm rr 得 GM v r 由 2 2 2 Mm Gmr rT 得 3 2 r T GM 由 2 2 Mm Gmr r 得 3 GM r 2 n Mm Gma r 可求向心加速度 11 11 09 09 福建福建 14 14 嫦娥一号 月球探测器在环绕月球运行过程中 设探测器运行的轨道半径为 r 运行速 率为 v 当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 C A r v 都将略为减小 B r v 都将保持不变 C r 将略为减小 v 将略为增大 D r 将略为增大 v 将略为减小 解析解析 当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 引力变大 探测器做近心运动 曲率半径略 为减小 同时由于引力做正功 动能略为增加 所以速率略为增大 12 12 09 09 浙江浙江 19 19 在讨论地球潮汐成因时 地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道 已 知太阳质量约为月球质量的 7 107 2 倍 地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的 400 倍 关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力 以下说法正确的是 AD A 太阳引力远大于月球引力 B 太阳引力与月球引力相差不大 C 月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D 月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 解析解析 2 2 R R M M F F 代入数据可知 太阳的引力远大于月球的引力 由于月心到不同区域海水的 距离不同 所以引力大小有差异 5 13 13 09 09 广东文科基础广东文科基础 59 59 关于万有引力及其应用 下列表述正确的是 D A 人造地球卫星运行时不受地球引力作用 B 两物体间的万有引力跟它们质量的乘积成反比 C 两物体间的万有引力跟它们的距离成反比 D 人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度 称为第一宇宙速度 二 非选择题二 非选择题 14 14 09 09 海南物理海南物理 11 11 在下面括号内列举的科学家中 对发现和完善万有引力定律有贡献的是 安培 牛顿 焦耳 第谷 卡文迪许 麦克斯韦 开普勒 法拉第 答案 第谷 1 分 开普勒 1 分 牛顿 1 分 卡文迪许 1 分 评分说明 每选错 1 个扣 1 根 最低得分为 0 分 15 15 09 09 上海上海 45 45 小明同学在学习了圆周运动的知识后 设计了一个课题 名称为 快速测量自行车的骑行 速度 他的设想是 通过计算踏脚板转动的角速度 推算自行车的骑行速度 经过骑行 他得到如下的数据 在时间 t 内踏脚板转动的圈数为 N 那么脚踏板转动的角速度 要推算自行车的骑行速度 还需要测量的物理量有 自行车骑行速度的计算公式 v 答案 2 t N 牙盘的齿轮数 m 飞轮的齿轮数 n 自行车后轮的半径 R 牙盘的半径 r1 飞轮的半径 r2 自行车 后轮的半径 R 2 2 2 1 2 1 Rw r r tr Nr R nt mN Rw n m 或或 16 16 09 09 全国卷全国卷 26 26 21 分 如图 P Q 为某地区水平地面上的两点 在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油 假定区域周围岩石均匀分布 密度 为 石油密度远小于 可将上述球形区域视为空腔 如果没有这一空腔 则该地区重力加速度 正常值 沿竖直方向 当存在空腔时 该地区重力加 速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高 重力加速度在原坚直方向 即 PO 方向 上的投影相对于正常值的偏离叫做 重力加速度反常 为了探寻石油区域的位置和石油储量 常利 用 P 点附近重力加速度反常现象 已知引力常数为 G 1 设球形空腔体积为 V 球心深度为 d 远小于地球半径 PQ x 求空腔所引起的 Q 点处的重力加速度 反常 2 若在水平地面上半径 L 的范围内发现 重力加速度反常值在 与k k 1 之间变化 且重力加速度反 6 常的最大值出现在半为 L 的范围的中心 如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的 试求此球形空腔 球心的深度和空腔的体积 答案 1 22 3 2 G Vd dx 2 1 3 2 k L d 1 3 2 2 kG kL V 解析解析 本题考查万有引力部分的知识 1 如果将近地表的球形空腔填满密度为 的岩石 则该地区重力加速度便回到正常值 因此 重力加速度反常 可通过填充后的球形区域产生的附加引力gm r Mm G 2 来计算 式中的 m 是 Q 点处某质点的质量 M 是填充后球形区域的质量 VM 而 r 是球形空腔中心 O 至 Q 点的距离 22 xdr g 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的 Q 点处重力加速度改变的大小 Q 点处重力加速度改变的方向沿 OQ 方向 重力加速度反常 g 是这一改变在竖直方向上的投影g r d g 联立以上式子得 2 322 xd VdG g 2 由 式得 重力加速度反常 g 的最大值和最小值分别为 2 max d VG g 2 322 min Ld VdG g 由提设有 kg max min g 联立以上式子得 地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为 1 3 2 k L d 1 3 2 2 kG kL V 17 17 09 09 北京北京 22 22 16 分 已知地球半径为 R 地球表面重力加速度为 g 不考虑地球自转的影响 1 推导第一宇宙速度 v1的表达式 2 若卫星绕地球做匀速圆周运动 运行轨道距离地面高度为 h 求卫星的运行周期 T 解析解析 1 设卫星的质量为 m 地球的质量为 M 在地球表面附近满足 mg R Mm G 2 得 gRGM 2 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 7 2 2 1 R Mm G R v m 式代入 式 得到Rgv 1 2 考虑式 卫星受到的万有引力为 2 2 2 hR mgR hR Mm GF 由牛顿第二定律 4 2 2 hR T mF 联立解得 g hR R T 2 2 18 18 09 09 天津天津 12 12 20 分 2008 年 12 月 天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞 人马座 A 的质量与太阳质量的倍数关系 研究发现 有一星体 S2 绕人马座 A 做椭圆运动 其轨道半长轴为 9 50 102天文单位 地球公转轨道的半径为一个天文单位 人马座 A 就处在该椭圆的一个焦点上 观测得到 S2 星的运行周期为 15 2 年 1 若将 S2 星的运行轨道视为半径 r 9 50 102天文单位的圆轨道 试估算人马座 A 的质量 MA是太阳质量 Ms的多少倍 结果保留一位有效数字 2 黑洞的第二宇宙速度极大 处于黑洞表面的粒子即使以光速运动 其具有的动能也不足以克服黑洞对它的 引力束缚 由于引力的作用 黑洞表面处质量为 m 的粒子具有势能为 Ep G Mm R 设粒子在离黑洞无限远处的 势能为零 式中 M R 分别表示黑洞的质量和半径 已知引力常量 G 6 7 10 11N m2 kg2 光速 c 3 0 108m s 太阳质量 Ms 2 0 1030kg 太阳半径 Rs 7 0 108m 不考虑相对论效应 利用上问结果 在经 典力学范围内求人马座 A 的半径 RA与太阳半径 g R之比应小于多少 结果按四舍五入保留整数 答案 1 6 104 2 17 解析解析 本题考查天体运动的知识 其中第 2 小题为信息题 如 黑洞 引力势能 等陌生的知识都在题目中 给出 考查学生提取信息 处理信息的能力 体现了能力立意 1 S2 星绕人马座 A 做圆周运动的向心力由人马座 A 对 S2 星的万有引力提供 设 S2 星的质量为mS2 角速度 为 周期为T 则 rm r mM G S SA 2 2 2 2 T 2 设地球质量为mE 公转轨道半径为rE 周期为TE 则 EE E ES rm r mM G 2 2 8 综合上述三式得 2 3 T T r r M M E ES A 式中 TE 1 年 rE 1 天文单位 代入数据可得 6 104 S A M M 2 引力对粒子作用不到的地方即为无限远 此时料子的势能为零 处于黑洞表面的粒子即使以光速运动 其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚 说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中 克服引力做功 粒子在到达无限远之前 其动能便减小为零 此时势能仍为负值 则其能量总和小于零 则 有 0 2 1 2 R Mm Gmc 依题意可知 A RR A MM 可得 2 2 c GM R A A 代入数据得 m102 1 10 A R 17 S A R R 2008 年高考题 一 选择题 1 08 全国 17 已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为 390 月球绕地球旋转的周期约为 27 天 利用上 述数据以及日常的天文知识 可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 A 0 2 B 2C 20D 200 答案 B 解析 估算太阳对月球的万有引力时 地 月间距忽略不计 认为月球处于地球公转的轨道上 设太阳 地 球 月球的质量分别为 M m地 m月 日 地间距为 r1 地 月间距为 r2 地球 月球做匀速圆周运动的周 9 期分别为 T1 T2 根据万有引力定律 牛顿第二定律得 对于月球 F地月 m月 2 2 2 22 2 T r 对于地球 1 1 2 11 2 1 2 T rm r GMm 由 式得 2 1 2 1 2 1 4 T r r GM 所以 F日月 2 1 2 1 2 1 4 T rm r GMm 由 两式得 F日月 F地月 1 2 365 27 390 2 2 12 2 21 Tr Tr 2 08 北京理综 17 据媒体报道 嫦娥一号 卫星环月工作轨道为圆轨道 轨道高度 200 km 运行周期 127 分 钟 若还知道引力常量和月球平均半径 仅利用以上条件不能求出的是 A 月球表面的重力加速度 B 月球对卫星的吸引力 C 卫星绕月运行的速度 D 卫星绕月运行的加速度 答案 B 解析 设月球质量为 M 平均半径为 R 月球表面的重力加速度为 g 卫星的质量为 m 周期为 T 离月球表面的高 度为 h 月球对卫星的吸引力完全提供向心力 由万有引力定律知 2 2 2 4 T hR m hR Mm G mg R Mm G 2 由 可得 22 32 4 RT hR g 故选项A 不正确 因卫星的质量未知 故不能求出月球对卫星的吸引力 故选项B 正 确 卫星绕月运行的速度 T hR 2 v 故选项C 错误 卫星绕月运行的加速度 hR a 2 v 故选项D 错误 3 08 四川理综 20 1990 年 4 月 25 日 科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约 600 km 的高空 使得人类对 宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展 假设哈勃天文望远镜沿圆轨道绕地球运行 已知地球半径为 6 4 106 m 利用地球同步卫星与地球表面的距离为 3 6 107 m 这一事实可得到哈勃天文望远镜绕地球运行 的周期 以下数据中最接近其运行周期的是 A 0 6 小时 B 1 6 小时 C 4 0 小时 D 24 小时 10 答案 B 解析 由万有引力公式 2 2 2 2 2 4 4 T r T m r GMm 3 r GM 所以 3 T rT Tr 32 23 3 r T r 代入相关数据 可估算出 T哈与 1 6 小时较接近 4 08 山东理综 18 据报道 我国数据中继卫星 天链一号 01 星 于 2008 年 4 月 25 日在西昌卫星发射中心发 射升空 经过 4 次变轨控制后 于 5 月 1 日成功定点在东经 77 赤道上空的同步轨道 关于成功定点后的 天 链一号 01 星 下列说法正确的是 A 运行速度大于 7 9 km s B 离地面高度一定 相对地面静止 C 绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 答案 BC 解析 由题中描述知 天链一号 01 星 是地球同步卫星 所以它运行速度小于 7 9 km s 离地高度一定 相对地 面静止 由于运行半径比月球绕地球运行半径小 由 3 r GM 得绕行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 由 于受力情况不同 所以向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小不相等 5 08 广东理科基础 5 人造卫星绕地球做匀速圆周运动 卫星所受万有引力 F 与轨道半径 r 的关系是 A F 与 r 成正比 B F 与 r 成反比 C F 与 r2成正比 D F 与 r2成反比 答案 D 解析 由 F 2 21 r mm G 得 F 与 r2成反比 6 08 广东理科基础 8 由于地球的自转 使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动 对于这些做匀速圆周运 动的物体 以下说法正确的是 A 向心力都指向地心 B 速度等于第一宇宙速度 C 加速度等于重力加速度 D 周期与地球自转的周期相等 答案 D 解析 随地球自转的物体的周期与地球自转周期相同 向心力垂直地轴 指向地轴的相应点 速度远小于第一宇 宙速度 加速度远小于重力加速度 11 7 08 江苏 1 火星的质量和半径分别约为地球的 10 1 和 2 1 地球表面的重力加速度为 g 则火星表面的重力加速 度约为 A 0 2 g B 0 4 g C 2 5 g D 5 g 答案 B 解析 在星球表面万有引力近似等于所受的重力 由 4 0 2 2 22 gg RM RM g g R GM gmg R GMm 8 08 广东 12 如图是 嫦娥一号 奔月示意图 卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨 进入地月转移轨道 最终被月球引力捕获 成为绕月卫星 并开展对月球的探测 下列说法正确的是 A 发射 嫦娥一号 的速度必须达到第三宇宙速度 B 在绕月圆轨道上 卫星周期与卫星质量有关 C 卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D 在绕月圆轨道上 卫星受地球的引力大于受月球的引力 答案 C 解析 嫦娥一号 要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星 其发射速度必须达到第二宇宙速度 若发射速度达 到第三宇宙速度 嫦娥一号 将脱离太阳系的束缚 故选项 A 错误 在绕月球运动时 月球对卫星的万有引力完全 提供向心力 则 2 4 3 2 2 2 GM r T T r m r Mm G 即卫星周期与卫星的质量无关 故选项 B 错误 卫星所受月球 的引力 2 r Mm GF 故选项 C 正确 在绕月圆轨道上 卫星受地球的引力小于受月球的引力 故选项 D 错误 二 非选择题 9 08 山东基本能力测试 32 人造卫星发射 载人航天和深空探测是航天技术的三大领域 从第一颗人造地球卫 星发射升空 到 神舟五号 神舟六号 载人航天以及月球探测卫星 嫦娥一号 的相继成功 表明我国逐 步迈进了世界航天大国的行列 1 2007 年 4 月 我国成功发射了第五颗北斗导航卫星 该卫星受 作用 在距离地面 2 15 万千米的轨道上 绕地球运动 2 神舟七号 航天员将进行第一次太空行走 即出舱活动 航天员在太空中通常靠手 机械臂或载人机动装 置 关键部件是可以控制的小火箭 移动身体 其中载人机动装置的运动原理是 3 我国的新一代通信卫星 东方红三号 是相对于地球静止 位于赤道上空的同步卫星 与地面通信装置相 比 关于卫星通信的说法正确的是 A 通信覆盖范围大B 受地理因素影响C 受大气层的影响D 不能实现全球通信 12 4 嫦娥一号 为探测月球和月球以外的深空奠定了基础 例如我国建立月球基地天文台将成为可能 与地球 相比 月球上有利于光学天文观测的条件是 A 存在大气散射B 没有大气的影响C 温度变化悬殊D 太阳辐射强烈 答案 1 万有引力或地球引力 2 作用力与反作用力或反冲运动或动量守恒 3 A 4 B 解析 3 通信卫星位于赤道上空 与地面通信装置相比 站得高 看得远 通信覆盖范围大 由于位于大气层之上 不 受大气层的影响 不受地面状况的影响 4 影响天文观测的因素主要是大气状况 月球上没有大气 非常有利于观测 10 08 全国 25 我国发射的 嫦娥一号 探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行 为了获得月球表面全貌的信 息 让卫星轨道平面缓慢变化 卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球 设地球和月球的质量分别为 M 和 m 地球和月球的半径分别为 R 和 R1 月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为 r 和 r1 月球绕 地球转动的周期为 T 假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面 求在该周期内卫星 发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间 用 M m R R1 r r1和 T 表示 忽略月球绕地球转动对 遮挡时间的影响 答案 arccos arccos 1 1 3 3 1 1 r R r RR mr MrT t 解析 如右图所示 O 和 O 分别表示地球和月球的中心 在卫星轨道 平面上 A 是地月连心线 OO 与地月球面的公切线 ACD 的交点 D C 和 B 分别是该公切线与地球表面 月球表面和卫星圆轨道的交点 根据对称性 过 A 点在另一侧作地月球面的 公切线 交卫星轨道于 E 点 卫星在 说上运动时发出的信号被遮挡 设探月卫星的质量为 m0 万有引力常量为 G 根 据万有引力定律有 r T m r Mm G 2 2 2 1 2 1 0 2 1 0 2 r T m r mm G 式中 T1是探月卫星绕月球转动的周期 由 式得 3 1 2 1 r r m M T T 13 设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t 则由于卫星绕月球做匀速圆周运动 应有 1 T t 式中 CO A CO B 由几何关系得 rcos R R1 r1 cos R1 由 式得 arccos arccos 1 11 3 3 1 r R r RR mr MrT t arcsin arcsin 1 1 1 3 3 1 r RR r R mr MrT t 11 08 宁夏理综 23 天文学家将相距较近 仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星 双星系统在银河系 中很普遍 利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量 已知某双星系统中两颗恒星围绕它 们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动 周期均为 T 两颗恒星之间的距离为 r 试推算这个双星系统的 总质量 万有引力常量为 G 答案 3 2 2 4 r GT 解析 设两颗恒星的质量分别为m1 m2 做圆周运动的半径分别为r1 r2 角速度分别为 1 2 根据题意有 1 2 r1 r2 r 根据万有引力定律和牛顿运动定律 有 1 2 11 2 21 rm r mm G 2 2 22 2 21 rm r mm G 联立以上各式解得 Grrrmm 2 21 2 121 根据角速度与周期的关系知 T 2 21 14 联立 式解得 m1 m2 3 2 2 4 r GT 2004 2007 年高考题 题组一 一 选择题 1 07 江苏 10 假设太阳系中天体的密度不变 天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半 地球绕太阳公转 近似为匀速圆周运动 则下列物理量变化正确的是 A 地球的向心力变为缩小前的一半 B 地球的向心力变为缩小前的 16 1 C 地球绕太阳公转周期与缩小前的相同D 地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 答案BC 解析 设地球的直径 太阳的直径 太阳与地球间的距离分别由 d1 d2 r 变为 222 21 r d d 地球的向心 力由万有引力提供 则 2 3 2 3 1 2 r dd r Mm GF 2 3 2 3 1 2 2 2 2 r dd r mM GF 联立 两式得 F F 16 1 由万有引力提供向心力 则 F m 2 2 4 T r F m 2 2 4 T r 代入数据联立 得 T T 2 07 广东理科基础 11 现有两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星 A 和 B 它们的轨道半径分别为 rA和 rB 如 果 rA rB 则 A 卫星 A 的运动周期比卫星 B 的运动周期大 B 卫星 A 的线速度比卫星 B 的线速度大 C 卫星 A 的角速度比卫星 B 的角速度大 D 卫星 A 的加速度比卫星 B 的加速度大 答案 A 15 解析 由万有引力提供向心力 Gmarmm T r m r Mm 2 2 2 2 2 4 r v 知 4 32 BABA TTrr GM r T A 对 v BA r GM vv B 错 3 r GM 则 A B C 错 a 2 r GM 则 aA aB D 错 3 07 全国卷 14 据报道 最近在太阳系外发现了首颗 宜居 行星 其质量约为地球质量的 6 4 倍 一个在地 球表面重量为 600 N 的人在这个行星表面的重量将变为 960 N 由此可推知 该行星的半径与地球半径之比约 为 A 0 5B 2C 3 2D 4 答案 B 解析 若地球质量为 M0 则 宜居 行星质量为 M 6 4M0 由 2 r Mm Gmg 得 960 600 2 2 0 0 0 0 M r r M gm gm 所以2 960 4 6600 960 600 0 0 00 M M M M r r 4 07 重庆理综 19 土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星 都沿近似为圆周的轨道绕土星运动 其参数如下表 卫星半径 m 卫星质量 kg 轨道半径 m 土卫十 8 90 1042 01 1018 1 51 108 土卫十一 5 70 1045 60 1017 1 51 108 两颗卫星相比较 土卫十 A 受土星的万有引力较大B 绕土星做圆周运动的周期较大 C 绕土星做圆周运动的向心加速度较大D 动能较大 答案 AD 解析 由ma T r m r m r Mm GF 2 22 2 4v 得 万有引力 2 r Mm GF 向心加速度 a 2 r GM 周期 T GM r 32 4 动能 Ek r GMm 2 其中 M 为土星的质量 代入数值比较可知 A D 选项正确 5 07 宁夏理综 14 天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动 并测出了行星的轨道半径和运行 周期 由此可推算出 A 行星的质量B 行星的半径C 恒星的质量D 恒星的半径 16 答案 C 解析 由万有引力提供向心力知 2 32 2 2 2 4 4 GT r M T r m r Mm G 故 C 选项正确 6 07 山东理综 22 2007 年 4 月 24 日 欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星 Gliese 581c 这颗围绕红矮星 Gliese 581 运行的星球有类似地球的温度 表面可能有液态水存在 距离地球 约为 20 光年 直径约为地球的 1 5 倍 质量约为地球的 5 倍 绕红矮星 Gliese 581 运行的周期约为 13 天 假 设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道 下列说法正确的是 A 飞船在 Gliese 581c 表面附近运行的周期约为 13 天 B 飞船在 Gliese 581c 表面附近运行时的速度大于 7 9 km s C 人在 Gliese 581c 上所受重力比在地球上所受重力大 D Gliese 581c 的平均密度比地球平均密度小 答案 BC 解析 行星 Gliese 581c 围绕红矮星运行的周期为 13 天 由 2 22 2 4 T r mm r Mm G r v 得 GM r T 32 4 其中 M 为红矮星的质量 r 为行星距红矮星的距离 而宇宙飞船绕行星 Gliese 581c 运行的周期 T 4 32 GM r M 为行星 Gliese 581 c 的质量 r 为飞船与 Gliese 581 c 的距离 故 A 不正确 由速度 v r GM 地球的 0 0 r M 小于 Gliese 581 c 的 r M 所以 B 正确 由重力 F 2 r Mm G Gliese 581 c 的 2 r M 大于地 球的 2 0 0 r M 所以 C 正确 由 M 3 3 4 r 知 Gliese 581c 的平均密度比地球的平均密度大 7 07 四川理综 17 我国探月的 嫦娥工程 已经启动 在不久的将来 我国宇航员将登上月球 假如宇航员在月球 上测得摆长为l 的单摆做小振幅振动的周期为T 将月球视为密度均匀 半径为r 的球体 则月球的密度为 A 2 3 GrT l B 2 3 GrT l C 2 3 16 GrT l D 2 16 3 GrT l 答案 B 解析 由 T 2 g l 得 mg r GMm T l g 22 2 4 得 GM gr2 而 M 3 3 4 r 联立得 2 3 GrT l 8 07 天津理综 17 我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展 设地球 月球的质量分别为 m1 m2 半径分别为 R1 R2 人造地球卫星的第一宇宙速度为 v 对应的环绕周期为 T 则环绕月球表面附近圆轨 道飞行的探测器的速度和周期分别为 17 A T Rm Rm Rm Rm 3 12 3 21 21 12 v B T Rm Rm Rm Rm 3 21 3 12 12 21 v C T Rm Rm Rm Rm 3 21 3 12 21 12 v D T Rm Rm Rm Rm 3 12 3 21 12 21 v 答案 A 解析 人造地球卫星绕地球运转时 万有引力提供向心力 即 11 2 2 1 1 RR m R mm G 1 Gm v v 同理 探测器绕月球 运转时 v 2 2 R Gm 联立得 v v 21 12 Rm Rm 由 T v R 2 得 T 3 12 3 21 Rm Rm T 9 07 上海综合能力测试 9 太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道 行星公转周期的平方 与 行星与太 阳的平均距离的三次方 成正比 地球与太阳之间平均距离约为 1 5 亿千米 结合下表可知 火星与太阳之间的 平均距离约为 水星金星地球火星木星土星 公转周期 年 0 2410 6151 01 8811 8629 5 A 1 2 亿千米B 2 3 亿千米C 4 6 亿千米D 6 9 亿千米 答案 B 解析 由题意可知 行星绕太阳运转时 满足 3 2 r T 常数 设地球的公转周期和公转半径分别为 T1 r1 火 星绕太阳的公转周期和轨道半径分别为 T2 r2 则 3 2 2 2 3 1 2 1 r T r T 代入数值得 r2 2 3 亿千米 10 07 北京理综 15 不久前欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的行星 命名为 格利斯 581c 该行星的质量是地球的5 倍 直径是地球的1 5 倍 设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人 造 卫星的动能为 1k E 在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为 2k E 则 2k 1k E E 为 A 0 13B 0 3 C 3 33 D 7 5 答案 C 解析 由万有引力提供向心力知 R m R Mm G 2 2 v 则动能 R GMm mE 22 1 2 k v 若地球质量为 M 半径为 R 则 格利斯 581 c 行星的质量 M1 5M 半径 R1 1 5R 代入数值得 33 3 5 1 5 2k 1k E E 18 二 非选择题 11 07 广东 16 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒 其绕土星的运动可视为圆周运动 其中有两个岩石颗粒 A 和 B 与土星中心的距离分别为 rA 8 0 104 km 和 rB 1 2 105 km 忽略所有岩石颗粒间的相互作用 结果 可用根式表示 求 1 岩石颗粒 A 和 B 的线速度之比 2 岩石颗粒 A 和 B 的周期之比 3 土星探测器上有一物体 在地球上重为 10 N 推算出它在距土星中心 3 2 105 km 处受到土星的引力为 0 38 N 已知地球半径为 6 4 103 km 请估算土星质量是地球质量的多少倍 答案 1 2 6 2 9 62 3 95 解析 1 设土星质量为 M0 颗粒质量为 m 颗粒距土星中心距离为 r 线速度为 v 根据牛顿第二定律和万有 引力定律得 r v2 2 0 m r mGM 解得 B r GM B A r GM A BA r GM 00 0 vvv 得 2 6 B A v v 2 设颗粒绕土星做圆周运动的周期为 T 则 v r T 2 对于 A B 两颗粒分别有 B B B A A A r T r T vv 2 2 得 9 62 B A T T 3 设地球质量为 M 地球半径为 r0 地球上物体的重力可视为万有引力 探测器上物体质量为 m0 在地球表面重 力为 G0 距土星中心 r0 3 2 105 km 处的引力为 G0 根据万有引力定律 2 0 0 0 r MGm G 19 2 0 00 0 r MGm G 由 得 M M0 95 倍 12 07 上海 19A 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球 经过时间 t 小球落回原处 若他在某星球表 面以相同的初速度竖直上抛同一小球 需经过时间 5t 小球落回原处 取地球表面重力加速度 g 10 m s2 空 气阻力不计 1 求该星球表面附近的重力加速度 g 2 已知该星球的半径与地球半径之比为 R星 R地 1 4 求该星球的质量与地球质量之比 M星 M地 答案 1 2 m s2 2 1 80 解析 1 在地球表面竖直上抛小球时 有 t g 0 2v 在某星球表面竖直上抛小球时 有 5t 2 0 g v 所以 g g 5 1 2 m s2 2 由 G 80 1 4 1 5 1 2 2 22 2 gR Rg M M G gR Mmg R Mm 13 06 江苏 14 如图所示 A 是地球的同步卫星 另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面 内 离地面高度为 h 已知地球半径为 R 地球自转角速度为 0 地球表面的重力加速 度为 g O 为地球中心 1 求卫星 B 的运行周期 2 如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同 某时刻 A B 两卫星相距最近 O B A 在同一直线上 则 至少经过多长时间 它们再一次相距最近 答案 1 2 3 2 gR hR 2 0 3 2 2 hR gR 解析 1 由万有引力定律和向心力公式得 4 2 2 2 hR T m hR Mm G B mg R Mm G 2 联立 得 TB 2 3 2 gR hR 20 2 由题意得 B 0 t 2 由 得 B 3 2 hR gR 代入 得 t 0 3 2 2 hR gR 14 06 四川理综 23 荡秋千是大家喜爱的一项体育活动 随着科技的迅速发展 将来的某一天 同学们也许会在 其他星球上享受荡秋千的乐趣 假设你当时所在星球的质量是 M 半径为 R 可将人视为质点 秋千质量不计 摆长不变 摆角小于 90 万有引力常量为 G 那么 1 该星球表面附近的重力加速度 g星等于多少 2 若经过最低位置的速度为 v0 你能上升的最大高度是多少 答案 1 2 R GM 2 GM R 2 2 0 2v 解析 1 设人的质量为 m 在星球表面附近的重力等于万有引力 有 mg星 2 R GMm 解得 g星 2 R GM 2 设人能上升的最大高度为 h 由功能关系得 mg星h 2 0 2 1 vm 解得 h GM R 2 2 0 2v 15 06 广东 17 宇宙中存在一些离其他恒星较远的 由质量相等的三颗星组成的三星系统 通常可忽略其他星 体对它们的引力作用 已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式 一种是三颗星位于同一直线上 两 颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行 另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上 并沿 外接于等边三角形的圆形轨道运行 设每个星体的质量均为 m 1 试求第一种形式下 星体运动的线速度和周期 2 假设两种形式下星体的运动周期相同 第二种形式下星体之间的距离应为多少 答案 1 R GmR 2 5 Gm R 5 4 3 2 R 3 1 5 12 解析 1 对于第一种运动情况 以某个运动星体为研究对象 根据牛顿第二定律和万有引力定律有 21 F1 2 2 2 2 2 2 R Gm F R Gm F1 F2 mv2 R 运动星体的线速度 v R GmR 2 5 周期为 T 则有 T v R 2 T 4 Gm R 5 3 2 设第二种形式星体之间的距离为 r 则三个星体做圆周运动的半径为 R 30cos 2 r 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供 由力的合成和牛顿运动定律有 F合 2 2 2 r Gm cos30 F合 m 2 2 4 T R 所以 r 3 1 5 12 R 题组二 一 选择题 1 06 北京理综 18 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行 认为行星是密度均匀的球体 要确定该行 星的密度 只需要测量 A 飞船的轨道半径B 飞船的运行速度 C 飞船的运行周期D 行星的质量 答案C 解析万有引力提供向心力 则 2 2 2 4 T r m r GMm 由于飞船在行星表面附近飞行 其运行轨道半径 r 近似为行星的半径 所以满足 M 3 3 4 r 22 联立得 2 3 GT 2 06 重庆理综 15 宇航员在月球上做自由落体实验 将某物体由距月球表面高h 处释放 经时间t 后落到月球表面 设月球半径为R 据上述信息推断 飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 A t Rh2 B t Rh2 C t Rh D t Rh 2 答案 B 解析 设月球表面的重力加速度为 g月 绕月球表面做匀速圆周运动的线速度为 v 根据万有引力定律 月 mg R GMm 2 绕月卫星 R v2 2 m R GMm 根据月球表面物体做自由落体运动 h 2 2 1 tg 由 得 v t Rh t Rh22 2 3 06 全国卷 16 我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星 嫦娥 1 号 设该卫星的轨道是圆形的 且贴近月 球表面 已知月球的质量约为地球质量的 1 81 月球的半径约为地球半径的 1 4 地球上的第一宇宙速度约 为 7 9 km s 则该探月卫星绕月运行的速率约为 A 0 4 km s B 1 8 km s C 11 km s D 36 km s 答案 B 解析设地球质量 半径分别为 m R 月球质量 半径分别为 m r 则 m Rr M 4 1 81 在星体表面 物体的 重力近似等于万有引力 若物体质量为 m0 则 2 0 R GMm m0g 即 GM gR2 在月球表面 满足 Gm g r2 由此可得 g 81 16 2 2 g Mr mR g 地球表面的第一宇宙速度 v1 gR 7 9 km s 在月球表面 有 v 9 2 9 2 4 1 81 16 gRRgrg 7 9 km s 1 8 km s 4 05 全国卷 16 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周 由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 23 A 火星和地球的质量之比B 火星和太阳的质量之比 C 火星和地球到太阳的距离之比D 火星和地球绕太阳运行速度大小之比 答案 CD 解析 设火星和地球质量分别为m1 m2 它们到太阳的距离分别为r1 r2 它们绕太阳的运行速度分别为v1 v2 由万有引力提供向心力得 r m T