椭圆离心率求法

离心率的五种求法 第 1 页 共 10 页 离心率的五种求法离心率的五种求法 椭圆的离心率 双曲线的离心率 抛物线的离心率 10 e1 e1 e 一 直接求出一 直接求出 求解 求解 ace 已知圆锥曲线的标准方程或 易求时 可利用率心率公式来解决 ac a c e 例例 1 已知双曲线 的一条准线与抛物线的准线重合 则该双曲线的离心 1 2 2 2 y a x 0 a xy6 2 率为 A B C D 2 3 2 3 2 6 3 32 解 解 抛物线的准线是 即双曲线的右准线 则 xy6 2 2 3 x 2 31 22 c c c a x 0232 2 cc 解得 2 c 故选 D 3 a 3 32 a c e 变式练习变式练习 1 若椭圆经过原点 且焦点为 则其离心率为 0 1 1 F 0 3 2 F A B C D 4 3 3 2 2 1 4 1 解 解 由 知 又 椭圆过原点 0 1 1 F 0 3 2 F 132 c1 c 所以离心率 故选 C 1 ca3 ca2 a1 c2 1 a c e 变式练习变式练习2 如果双曲线的实半轴长为2 焦距为6 那么双曲线的离心率为 A B C D 2 3 2 6 2 3 2 解 解 由题设 则 因此选 C2 a62 c3 c 2 3 a c e 变式练习变式练习 3 点 P 3 1 在椭圆 的左准线上 过点且方向为 1 2 2 2 2 b y a x 0 baP 的光线 经直线反射后通过椭圆的左焦点 则这个椭圆的离心率为 5 2 a2 y A B C D 3 3 3 1 2 2 2 1 解 解 由题意知 入射光线为 关于的反射光线 对称关系 为 3 2 5 1 xy2 y0525 yx 则解得 则 故选 A 055 3 2 c c a 3 a1 c 3 3 a c e 二 构造二 构造 的齐次式 解出的齐次式 解出 ace 根据题设条件 借助 之间的关系 构造 的关系 特别是齐二次式 进而得到关于的 abcace 一元方程 从而解得离心率 e 离心率的五种求法 第 2 页 共 10 页 例例 2 已知 是双曲线 的两焦点 以线段为边作正三角形 1 F 2 F 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 21F F 若边的中点在双曲线上 则双曲线的离心率是 21F MF 1 MF A B C D 324 13 2 13 13 解 解 如图 设的中点为 则的横坐标为 由焦半径公式 1 MF PP2 c aexPF p 1 即 得 解得 a c a c c 2 022 2 a c a c 舍去 故选 D 31 a c e 31 变式练习变式练习 1 设双曲线 的半焦距为 直线过 两点 已知原点1 2 2 2 2 b y a x ba 0cL 0 a b 0 到直线的距离为 则双曲线的离心率为 c 4 3 A B C D 232 3 32 解 解 由已知 直线的方程为 由点到直线的距离公式 得 L0 abaybxc ba ab 4 3 22 又 两边平方 得 整理得 222 bac 2 34cab 4222 316caca 016163 24 ee 得或 又 故选4 2 e 3 4 2 eba 021 2 2 2 22 2 2 2 a b a ba a c e4 2 e2 e A 变式练习变式练习 2 双曲线虚轴的一个端点为 两个焦点为 则双曲线的离心率M 1 F 2 F 0 21 120 MFF 为 A B C D 3 2 6 3 6 3 3 解 解 如图所示 不妨设 则 bM 0 0 1 cF 0 2 cF 又 22 21 bcMFMF cFF2 21 在中 由余弦定理 得 21MF F 21 2 21 2 2 2 1 21 2 cos MFMF FFMFMF MFF 离心率的五种求法 第 3 页 共 10 页 即 22 22222 2 4 2 1 bc cbcbc 2 1 22 22 cb cb 故选 B 222 acb 2 1 2 22 2 ac a 22 23ca 2 3 2 e 2 6 e 三 采用离心率的定义以及椭圆的定义求解三 采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例例 3 设椭圆的两个焦点分别为 过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 若为等腰直角 1 F 2 F 2 FP 21PF F 三角形 则椭圆的离心率是 解 解 12 12 1 222 22 2 2 21 cc c PFPF c a c a c e 四 根据圆锥曲线的统一定义求解四 根据圆锥曲线的统一定义求解 例例4 设椭圆 的右焦点为 右准线为 若过1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 1 F 1 l 且垂直于轴的弦的长等于点到的距离 则椭圆的离心率是 1 Fx 1 F 1 l 解解 如图所示 是过且垂直于轴的弦 于 为到准线的距离 根据椭AB 1 Fx 1 lAD DAD 1 F 1 l 圆的第二定义 2 1 2 1 1 AD AB AD AF e 变式练习 变式练习 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 焦点到相应准线的距离为 则该椭圆的 21 离心率为 A B C D 22 2 2 1 4 2 解 解 2 2 1 22 2 AD AF e 五 构建关于五 构建关于的不等式 求的不等式 求的取值范围的取值范围ee 例例 5 设 则二次曲线的离心率的取值范围为 4 0 1tancot 22 yx A B C D 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 另 另 由 得 1tancot 22 yx 4 0 tan 2 a cot 2 b cottan 222 bac 2 2 2 2 cot1 tan cottan a c e 离心率的五种求法 第 4 页 共 10 页 故选 D 4 0 1cot 2 2 2 e2 e 例例6 如图 已知梯形中 点分有向线段所成的比为 双曲线过 ABCDCDAB2 EAC C 三点 且以 为焦点 当时 求双曲线离心率的取值DEAB 4 3 3 2 e 范围 解 解 以的垂直平分线为轴 直线为轴 建立如图所示的直角坐标系AByABx 则轴 因为双曲线经过点 且以 为焦点 由双曲线xoyyCD CDAB 的对称性知 关于轴对称 依题意 记 CDy 0 cA 其中为双曲线的半焦距 是梯形的高 h c C 2 00 y xEABc 2 1 h 由定比分点坐标公式得 设双曲线的方程为 则 12 2 1 2 0 c c c x 1 0 h y1 2 2 2 2 b y a x 离心率 由点 在双曲线上 所以 将点的坐标代入双曲线方程得 a c e CEC1 4 2 2 2 2 b h a c 将点的坐标代入双曲线方程得 E1 11 2 4 2 2 2 2 2 2 b h a c 再将 得 a c e 1 4 2 22 b he 1 4 2 2 2 e b h 1 11 2 4 2 2 2 2 2 b he 将 式代入 式 整理得 由题设得 2144 4 2 e 2 3 1 2 e 4 3 3 2 解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 4 3 2 3 1 3 2 2 e 107 e 10 7 离心率的五种求法 第 5 页 共 10 页 配套练习配套练习 1 设双曲线 的离心率为 且它的一条准线与抛物线的准线重1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba3xy4 2 合 则此双曲线的方程为 A B C D 1 2412 22 yx 1 9648 22 yx 1 3 2 3 22 yx 1 63 22 yx 2 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率等于 A B C D 3 1 3 3 2 1 2 3 3 已知双曲线的一条渐近线方程为 则双曲线的离心率为 1 2 2 2 2 b y a x xy 3 4 A B C D 3 5 3 4 4 5 2 3 4 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 焦点到相应准线的距离为 1 则该椭圆的离心率2 为 A B C D 2 2 2 2 1 4 2 5 在给定双曲线中 过焦点垂直于实轴的弦长为 焦点到相应准线的距离为 则该双曲线的离心2 2 1 率为 A B C D 2 2 2222 6 如图 和分别是双曲线 的两个焦点 和是以为圆心 以 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x 0 0 baABO 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且是等边三角形 则双曲线的离心率为 1 OFABF2 A B C D 35 2 5 13 7 设 分别是椭圆 的左 右焦点 是其右准线上纵坐标为 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x 0 baP 离心率的五种求法 第 6 页 共 10 页 为半焦距 的点 且 则椭圆的离心率是 c3cPFFF 221 A B C D 2 13 2 1 2 15 2 2 8 设 分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 使 且 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x A 0 21 90 AFF 则双曲线离心率为 21 3 AFAF A B C D 2 5 2 10 2 15 5 9 已知双曲线 的右焦点为 若过点且倾斜角为的直线与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 0 0 baFF 0 60 的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A B C D 2 1 2 1 2 2 10 椭圆 的焦点为 两条准线与轴的交点分别为 若1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 F 2 FxMN 则该椭圆离心率的取值范围是 21 2FFMN A B C D 2 1 0 2 2 0 1 2 1 1 2 2 离心率的五种求法 第 7 页 共 10 页 答案 1 由3 c a 2 1 a c 可得3 6 3 abc 故选 D 2 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 2ab 椭圆的离心率 3 2 c e a 选 D 3 双曲线焦点在 x 轴 由渐近线方程可得 22 4345 333 bc e aa 可得 故选 A 4 不妨设椭圆方程为 22 22 1 xy ab a b 0 则有 22 2 21 ba c ac 且 据此求出 e 2 2 5 不妨设双曲线方程为 22 22 1 xy ab a 0 b 0 则有 22 21 2 2 ba c ac 且 据此解得 e 2 选 C 6 解析 如图 1 F和 2 F分别是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b r a x 的两个焦点 A和B是以O为圆心 以 1 FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 ABF2是等边三角形 连接 AF1 AF2F1 30 AF1 c AF2 3c 2 31 ac 双曲线的离心率为31 选 D 7 由已知 P c c a 3 2 所以 22 2 3 2cc c a c 化简得 2 2 02 22 a c eca 8 设 F1 F2分别是双曲线 22 22 1 xy ab 的左 右焦点 若双曲线上存在点 A 使 F1AF2 90 且 AF1 3 AF2 设 AF2 1 AF1 3 双曲线中 12 2 2aAFAF 22 12 2 10cAFAF 离心率 10 2 e 选 B 9 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只 有一个交点 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b a b a 3 离心率 e2 222 22 cab aa 4 e 2 选 C 离心率的五种求法 第 8 页 共 10 页 10 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的焦点为 1 F 2 F 两条准线与x轴的交点分别为MN 若 2 2 a MN c 12 2FFc 12 MNFF 则 2 2 a c c 该椭圆离心率 e 2 2 选 D 椭圆椭圆离心率离心率的求法的求法 a c e 1 椭圆方程的右焦点为 过的直线 与椭圆相交于两点 直线 的 01 2 2 2 2 ba b y a x CFFlCBA l 倾斜角为 60 求椭圆的离心率 焦半径公式 的应用左加左加FBAF2 11 exaPF 22 exaPF 右减 右减 弦长公式 为直线的斜率kxxkd 1 21 2 2 椭圆方程的右焦点为 其右准线与轴的交点为 在椭圆上存在点满足 01 2 2 2 2 ba b y a x CFxAP 线段的垂直平分线过点 则椭圆的离心率的范围 焦准距的应用 APF c b2 3 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 关于的二元二次ca 方程解法 0 22 pcnacma 4 已知是椭圆的一个焦点 是短轴上的一个端点 线段的延长线交于 且 则FCBBFCDFDBF2 的离心率为 相似三角形性质 对应边成比例 的应用 C 5 过椭圆的左焦点 右顶点为 点在椭圆上 且轴 直线交 01 2 2 2 2 ba b y a x CFABxBF AB 轴于点 若 则椭圆的离心率为 相似三角形性质的应用 yPPBAP2 6 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点 为右焦点 若 01 2 2 2 2 ba b y a x C 1 FxP 2 F 则椭圆的离心率为 椭圆焦三角形面积 60 21PF F 2 tan 21 2 PFFbS 7 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率 椭圆基本性质的应用 222 cba 8 椭圆的离心率为 椭圆基本性质的应用 14 22 yx 222 cba 9 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点为 若 01 2 2 2 2 ba b y a x C 21 F FxNM 21 2FFMN 则该椭圆的离心率的取值范围是 椭圆基本性质的应用 222 cba 离心率的五种求法 第 9 页 共 10 页 10 设分别是椭圆的左 右焦点 若在其右准线上存在点 使线段 21 F F 01 2 2 2 2 ba b y a x CP 的中垂线过点 则椭圆的离心率的取值范围是 焦准距 垂直平分线性质 垂直平分线上的 1 PF 2 F c b2 点到线段两端距离相等 三角形性质 两边之和大于第三边 应用 11 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 焦点到相应准线的距离为 1 则该椭圆的离心率为 2 通径 焦准距 a b22 c a2 12 已知椭圆的左右焦点分别为 若椭圆上存在点 P 使 01 2 2 2 2 ba b y a x C 21 F F 则该椭圆的离心率的取值范围是 正弦定理 1221 sinsinFPF c FPF a R C c B b A a 2 sinsinsin 第一定义 aPFPF2 21 13 在平面直角坐标系中 为椭圆的四个顶点 为其右焦点 直线与直线相交 2121 BBAAF 21B AFB1 于点 线段与椭圆的交点恰为线段的中点 则该椭圆的离心率为 TOTMOT 直线方程交点坐标 14 在中 若以为焦点的椭圆经过点 则该椭圆的离心率为 余ABC 18 7 cos BBCABBA C 弦定理 第一定义 Abccbacos2 222 15 已知正方形 则以为焦点 且过两点的椭圆的离心率为 通径 ABCDBA DC a b22 16 已知椭圆的焦距为 以点为圆心 为半径作圆 若过点作圆的