中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析

中考数学专题训练中考数学专题训练 方案设计型 能力提升训练与解析能力提升训练与解析 考点 一次方程 方程组 分式方程 不等式组 一次函数 二次函数 考点 一次方程 方程组 分式方程 不等式组 一次函数 二次函数 例 1 某商店准备购进甲 乙两种商品 已知甲商品每件进价 15 元 售价 20 元 乙商品每件进价 35 元 售价 45 元 1 若该商店同时购进甲 乙两种商品共 100 件 恰好用去 2 700 元 求购进甲 乙两 种商品各多少件 2 若该商店准备用不超过 3 100 元购进甲 乙两种商品共 100 件 且这两种商品全部 售出后获利不少于 890 元 问应该怎样进货 才能使总利润最大 最大利润是多少 利润 售价 进价 解 1 设购进甲种商品 x 件 购进乙种商品 y 件 根据题意 得 Error 解得 Error 答 商店购进甲种商品 40 件 购进乙种商品 60 件 2 设商店购进甲种商品 a 件 则购进乙种商品 100 a 件 根据题意列 得 Error 解得 20 a 22 总利润 W 5a 10 100 a 5a 1 000 W 是关于 x 的一次函数 W 随 x 的增大 而减小 当 x 20 时 W 有最大值 此时 W 900 且 100 20 80 答 应购进甲种商品 20 件 乙种商品 80 件 才能使总利润最大 最大利润为 900 元 例 2 今年 号称 千湖之省 的湖北正遭受大旱 为提高学生环保意识 节约用水 某校数学教师编造了一道应用题 为了保护水资源 某市制定一套节水的管理措施 其中 对居民生活用水收费作如下规定 月用水量 单位 吨 单价 单位 元 吨 不大于 10 吨部分1 5 大于 10 吨 且不大于 m 吨部分 20 m 50 2 大于 m 吨部分3 1 若某用户六月份的用水量为 18 吨 求其应缴纳的水费 2 记该用户六月份的用水量为 x 吨 缴纳水费 y 元 试列出 y 关于 x 的函数式 3 若该用户六月份的用水量为 40 吨 缴纳水费 y 元的取值范围为 70 y 90 试求 m 的取值范围 解 1 应缴纳水费 10 1 5 18 10 2 31 元 2 当 0 x 10 时 y 1 5x 当 10m 时 y 15 2 m 10 3 x m 3x m 5 y Error 3 当 40 m 50 时 y 2 40 5 75 元 满足 当 20 m 40 时 y 3 40 m 5 115 m 则 70 115 m 90 25 m 45 即 25 m 40 综上得 25 m 50 例 3 潼南绿色无公害蔬菜基地有甲 乙两种植户 他们种植了 A B 两类蔬菜 两 种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表 种植户 种植 A 类蔬菜面积 单位 亩 种植 B 类蔬菜面积 单位 亩 总收入 单位 元 甲3112 500 乙2316 500 说明 不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等 亩为土地面积单位 1 求 A B 两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元 2 某种植户准备租 20 亩地用来种植 A B 两类蔬菜 为了使总收入不低于 63 000 元 且种植 A 类蔬菜的面积多于种植 B 类蔬菜的面积 两类蔬菜的种植面积均为整数 求该种 植户所有的租地方案 解 1 设 A B 两类蔬菜每亩平均收入分别是 x 元 y 元 由题意 得Error 解得Error 答 A B 两类蔬菜每亩平均收入分别是 3 000 元 3 500 元 2 设用来种植 A 类蔬菜的面积为 a 亩 则用来种植 B 类蔬菜的面积为 20 a 亩 由题意 得Error 解得 10 a 14 a 取整数 为 11 12 13 14 租地方案为 类别种植面积 亩 A11121314 B9876 例 4 某学校计划将校园内形状为锐角 ABC 的空地 如图 进行改造 将它分割成 AHG BHE CGF 和矩形 EFGH 四部分 且矩形 EFGH 作为停车场 经测量 BC 120m 高 AD 80m 1 若学校计划在 AHG 上种草 在 BHE CGF 上都种花 如何设计矩形的长 宽 使得种草的面积与种花的面积相等 2 若种草的投资是每平方米 6 元 种花的投资是每平方米 10 元 停车场铺地砖投 资是每平方米 4 元 又如何设计矩形的长 宽 使得 ABC 空地改造投资最小 最小为多 少 解 1 设 FG x 米 则 AK 80 x 米 由 AHG ABCBC 120 AD 80 可得 80 80 120 xHG xHG 2 3 120 BE FC 120 x 2 3 120 x 2 3 解得 x 40 xxxx 2 3 2 1 80 2 3 120 2 1 当 FG 的长为 40 米时 种草的面积和种花的面积相等 2 设改造后的总投资为 W 元 W 6 x2880024064 2 3 120 10 2 3 2 1 6 80 2 3 120 2 1 2 xxxxxxxx 20 2 26400 当 x 20 时 W最小 36400 答 当矩形 EFGH 的边 FG 长为 20 米时 空地改造的总投资最小 最小值为 26400 元 例 5 我州鼓苦荞茶 青花椒 野生蘑菇 为了让这些珍宝走出大山 走向世界 州 政府决定组织 21 辆汽车装运这三种土特产共 120 吨 参加全国农产品博览会 现有 A 型 B 型 C 型三种汽车可供选择 已知每种型号汽车可同时装运 2 种土特产 且每辆车必须装 满 根据下表信息 解答问题 苦荞茶青花椒野生蘑菇 A 型22 B 型42 每辆汽车运载量 吨 C 型16 1 设 A 型汽车安排x辆 B 型汽车安排 y 辆 求 y 与x之间的函数关系式 2 如果三种型号的汽车都不少于 4 辆 车辆安排有几种方案 并写出每种方案 3 为节约运费 应采用 2 中哪种方案 并求出最少运费 解 1 法 根据题意得 467 21120 xyxy 化简得 327yx 2 由 4 4 214 x y xy 得 4 3274 213274 x x xx 解得 2 57 3 x x为正整数 5 6 7x 故车辆安排有三种方案 即 方案一 A型车5辆 B型车12辆 C型车4辆 方案二 A型车6辆 B型车9辆 C型车6辆 方案三 A型车7辆 B型车6辆 C型车8辆 3 设总运费为W元 则 150018003272000 21327Wxxxx 10036600 x W随x的增大而增大 且 5 6 7x 当 5x 时 37100W 最小 元 答 为节约运费 应采用 中方案一 最少运费为 37100 元 车型ABC 每辆车运费 元 150018002000 特产 车型 例 6 为创建 国家卫生城市 进一步优化市中心城区的环境 德州市政府拟对部分 路段的人行道地砖 花池 排水管道等公用设施全面更新改造 根据市政建设的需要 须 在 60 天内完成工程 现在甲 乙两个工程队有能力承包这个工程 经调查知道 乙队单独 完成此项工程的时间比甲队单独完成多用 25 天 甲 乙两队合作完成工程需要 30 天 甲 队每天的工程费用 2500 元 乙队每天的工程费用 2000 元 1 甲 乙两个工程队单独完成各需多少天 2 请你设计一种符合要求的施工方案 并求出所需的工程费用 解 1 设甲工程队单独完成该工程需 x 天 则乙工程队单独完成该工程需 x 25 天 根据题意得 3030 1 5xx 2 方程两边同乘以 x x 25 得 30 x 25 30 x x x 25 即 x2 35x 750 0 解之 得 x1 50 x2 15 经检验 x1 50 x2 15 都是原方程的解 但 x2 15 不符合题意 应舍去 当 x 50 时 x 25 75 答 甲工程队单独完成该工程需 50 天 则乙工程队单独完成该工程需 75 天 2 此问题只要设计出符合条件的一种方案即可 方案一 由甲工程队单独完成 所需费用为 2500 50 125000 元 方案二 由甲乙两队合作完成 所需费用为 2500 2000 30 135000 元 例 7 五一 期间 为了满足广大人民的消费需求 某商店计划用 160000 元购进 一批家电 这批家电的进价和售价如下表 类别彩电冰箱洗衣机 进价200016001000 售价220018001100 1 若全部资金用来购买彩电和洗衣机共 100 台 问商店可以购买彩电和洗衣机各多少 台 2 若在现有资金 160000 元允许的范围内 购买上表中三类家电共 100 台 其中彩电台 数和冰箱台数相同 且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数 请你算一算有几种进货 方案 哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大 并求出最大利润 利润 售价 进价 解 1 设商店购买彩电 x 台 则购买洗衣机 100 x 台 由题意 得 2000 x 1000 100 x 160000 解得 x 60 则 100 x 40 台 所以 商店可以购买彩电 60 台 洗衣机 40 台 2 设购买彩电和冰箱各 a 台 则购买洗衣机为 100 2a 台 根据题意 得 200016001000 100 2 160000 1002 aaa aa 解得 5 37 3 1 33 a 因为 a 是整数 所以 a 34 35 36 37 因此 共有四种进货方案 设商店销售完毕后获得的利润为 w 元 则 w 2200 2000 a 1800 1600 a 1100 1000 100 2a 200a 10000 200 0 w 随 a 的增大而增大 当 a 37 时 W最大值 200 37 10000 17400 所以 商店获得的最大利润为 17400 元 例 8 在眉山市开展城乡综合治理的活动中 需要将 A B C 三地的垃圾 50 立方米 40 立方米 50 立方米全部运往垃圾处理场 D E 两地进行处理 已知运往 D 地的数量比运 往 E 地的数量的 2 倍少 10 立方米 1 求运往两地的数量各是多少立方米 2 若 A 地运往 D 地 a 立方米 a 为整数 B 地运往 D 地 30 立方米 C 地运往 D 地的数 量小于 A 地运往 D 地的 2 倍 其余全部运往 E 地 且 C 地运往 E 地不超过 12 立方米 则 A C 两地运往 D E 两地哪几种方案 3 已知从 A B C 三地把垃圾运往 D E 两地处理所需费用如下表 A 地B 地C 地 运往 D 地 元 立方米 222020 运往 E 地 元 立方米 202221 在 2 的条件下 请说明哪种方案的总费用最少 解 1 设运往 E 地 x 立方米 由题意得 x 2x 10 140 解得 x 50 2x 10 90 答 共运往 D 地 90 立方米 运往 E 地 50 立方米 2 由题意可得 12 30 9050 2 30 90 a aA 解得 20 a 22 a 是整数 a 21 或 22 有如下两种方案 第一种 A 地运往 D 地 21 立方米 运往 E 地 29 立方米 C 地运往 D 地 39 立方米 运往 E 地 11 立方米 第二种 A 地运往 D 地 22 立方米 运往 E 地 28 立方米 C 地运往 D 地 38 立方米 运往 E 地 12 立方米 3 第一种方案共需费用 22 21 20 29 39 20 11 21 2053 元 第二种方案共需费用 22 22 28 20 38 20 12 21 2056 元 所以 第一种方案的总费用最少 例 9 我市化工园区一化工厂 组织 20 辆汽车装运 A B C 三种化学物资共 200 吨 到某地 按计划 20 辆汽车都要装运 每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满 请结合表 中提供的信息 解答下列问题 1 设装运 A 种物资的车辆数为 x 装运 B 种物资的车辆数为 y 求 y 与 x 的函数关系式 2 如果装运 A 种物资的车辆数不少于 5 辆 装运 B 种物资的车辆数不少于 4 辆 那么 车辆的安排有几种方案 并写出每种安排方案 3 在 2 的条件下 若要求总运费最少 应采用哪种安排方案 请求出最少总运费 物资种类ABC 每辆汽车运载量 吨 12108 每吨所需运费 元 吨 24 0 32 0 20 0 解 1 根据题意 得 12x 10y 8 20 x y 200 12x 10y 160 8x 8y 2002x y 20 y 20 2x 2 根据题意 得 5 2024 x x 解之得 5 x 8 x 取正整数 x 5 6 7 8 共有 4 种方案 即 ABC 方案一5105 方案二686 方案三767 方案四848 3 设总运费为 M 元 则 M 12 240 x 10 320 20 2x 8 200 20 x 2x 20 即 M 1920 x 64000 M 是 x 的一次函数 且 M 随 x 增大而减小 当 x 8 时 M 最小 最少为 48640 元 例 10 为表彰在 缔造完美教室 活动中表现积极的同学 老师决定购买文具盒与 钢笔作为奖品 已知 5 个文具盒 2 支钢笔共需 100 元 4 个文具盒 7 支钢笔共需 161 元 1 每个文具盒 每支钢笔个多少元 2 时逢 五一 商店举行 优惠促销 活动 具体办法如下 文具盒 九折 优惠 钢笔 10 支以上超出部分 八折 优惠 若买 x 个文具盒需要 1 y 元 买 x 支钢笔需要 2 y 元 求 1 y 2 y 关于 x 的函数关系式 3 若购买同一种奖品 并且该奖品的数量超过 10 件 请你分析买哪种奖品省钱 解 1 设每个文具盒 x 元 每支钢笔 y 元 可列方程组得 16174 10025 yx yx 解之得 15 14 y x 答 每个文具盒 14 元 每支钢笔 15 元 2 由题意知 y1 关于 x 的函数关系式为 y1 14 90 x 即 y1 12 6x 由题意知 买钢笔 10 以下 含 10 支 没有优惠 故此时的函数关系式为 y2 15x 当买 10 支以上时 超出部分有优惠 故此时函数关系式为 y2 15 10 15 80 x 10 即 y2 12x 30 3 当 y1 y2 即 12 6x 12x 30 时 解得 x y2 即 12 6x 12x 30 时 解得 x 50 综上所述 当购买奖品超过 10 件但少于 50 件时 买文具盒省钱 当购买奖品超过 50 件时 买文具盒和买钢笔钱数相等 当购买奖品超过 50 件时 买钢笔省钱 例 11 为极大地满足人民生活的需求 丰富市场供应 我区农村温棚设施农业迅速 发展 温棚种植面积在不断扩大 在耕地上培成一行一行的矩形土埂 按顺序间隔种植不 同农作物的方法叫分垄间隔套种 科学研究表明 在塑料温棚中分垄间隔套种高 矮不同 的蔬菜和水果 同一种紧挨在一起种植