函数模型及其综合应用

x y O 东北师大附中 2011 2012 学年高三数学 文 理 第一轮复习导学案 012 函数模型及其综合应用函数模型及其综合应用 编写教师 高长玉 审稿教师 冯维丽 一 知识梳理 阅读教材必修一 知识梳理 阅读教材必修 1 第第 95 至至 106 页 页 1 常见函数模型 1 一次函数模型 为常数 且 f xkxb kb0k 2 二次函数模型 为常数 且 2 f xaxbxc abc0a 3 指数函数模型 为常数 且 x f xabc abc0a 0b 1b 4 对数函数模型 为常数 且 logaf xmxn mna0m 0a 1a 5 幂函数模型 为常数 且 n f xaxb abn0a 1n 2 几类函数模型的增长差异 在区间上 尽管函数 0 1 x yaa log 1 a yx a 和都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一 0 n yxn 档次 上 随着的增大 的增长速度越来越快 x 1 x yaa 会超过并远远大于的增长速度 而的 0 n yxn log 1 a yx a 增长速度则会越来越慢 因此 总会存在一个 当 时 就有 0 x 0 xx log nx a xxa 3 函数模型的应用 一方面是利用已知函数模型解决问题 另一方面是恰当建立恰当函数模型 并利用所得函数模型解 释有关现象 对某些发展趋势进行预测 解函数应用题的一般步骤 1 阅读 审题 深入理解关键字句 为便于数据的处理可用表格 或图形 处理数据 便于寻找 数据关系 2 建模 将问题简单化 符号化 尽量借鉴标准形式 建立数学关系式 3 合理求解纯数学问题 根据建立的数学模型 选择合适的数学方法 设计合理的运算途径 求 出问题的解 要特别注意变量范围的限制及其他约束条件 4 解释并回答实际问题 将数学问题的答案还原为实际问题的答案 在这以前要检验 既要检验 所求得结果是否适合数学模型 又要评判所得结果是否符合实际问题的要求 2 二 题型探究二 题型探究 探究一 利用已知函数模型解决函数应用问题 例 1 有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度 其中表示 0 1 15ln 6 4 4 6 4 a x ax f x x x x x 某学科知识的学习次数 表示对该学科知识的掌握程度 正实数与学科知识有关 xN f xa 证明 当时 掌握程度的增加量总是下降 7x 1 f xf x 根据经验 学科甲 乙 丙对应的的取值区间分别为 a 115 121 当 121 127 121 133 学习某学科知识6次时 掌握程度是85 请确定相应的学科 参考数据 0 05 1 05e 解 当时 7x 0 4 1 3 4 f xf x xx 而当时 函数单调递增 且 7x 3 4 yxx 3 4 0 xx 故单调递减 1 f xf x 所以当时 掌握程度的增加量总是下降 7x 1 f xf x 由题意可知 整理得 解得 0 1 15ln0 85 6 a a 0 05 6 a e a 0 05 0 05 6126 1 e a e 由此可知 该学科是乙学科 126 121 127 点评 实际应用问题是新课标高考中考查的重点 在解答时 要审清题意 由题意建立数学模型求 解 例 2 某工厂今年1月 2月 3月生产某种产品的数量分别为1万件 万件 万件 为了2 13 1 估测以后每个月的产量 以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量与月份的yx 关系 模拟函数可以选用二次函数或函数 其中为常数 已知4月份该产品的产量caby x cba 为万件 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好 并说明理由 37 1 解 根据题意 该产品的月产量是月份的函数 可供选用的函数有两种 其中哪一种函数确定yx 的月份该产品的产量愈接近于万件 哪种函数作为模拟函数就较好 故应先确定这两个函数的具437 1 体解析式 设为常数 且 rqprqxpxxfy 2 1 0 pcabxgy x 2 3 根据已知有 和 3 139 2 124 1 rqp rqp rqp 3 1 2 1 1 3 2 cab cab cab 解得和 7 0 35 0 05 0 r q p 4 1 5 0 8 0 c b a 所以 7 035 0 05 0 2 xxxf4 15 08 0 x xg 所以 35 1 4 3 1 4 gf 显然更接近于 故选用作为模拟函数较好 4 g37 1 4 15 08 0 x y 点评 通过研究指数函数的性质解释实际问题 我们要掌握底数 两种基本情况下函01a 1a 数的性质特别是单调性和值域的差别 它能帮我们解释具体问题 探究二 构造函数模型解决函数应用问题 例 3 某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂 如下表 一期2000年投 入1亿元 兴建垃圾堆肥厂年处理有机肥十多万 吨 年综合收益 2千万元 二期2002年投 入4亿元 兴建垃圾焚烧发电一厂年发电量1 3亿 kw h 年综合收益 4千万元 三期2004年投 入2亿元 兴建垃圾焚烧发电二厂年发电量1 3亿 kw h 年综合收益 4千万元 如果每期的投入从第二年开始见效 且不考虑存贷款利息 设2000年以后的年的总收益为x 单位 千万元 试求的表达式 并预测到哪一年能收回全部投资款 f x f x 解 由表中的数据知 本题需用分段函数进行处理 由表中的数据易得 2 1 2 24 2 3 4 24 2 4 4 5 6 7 xx f xxxx xxxx 显然 当时 不能收回投资款 4x 当时 由 解得 取 5x 102470f xx 9 4x 10 x 所以到2010年可以收回全部投资款 点评 分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式 从而寻求在不同情况下实际问题的处理结 果 例 4 两县城A和B相距20km 现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造AB 垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 对城A和城B的总影响度为城A与城 B的影响度之和 记C点到城A的距离为 建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为xkm y 统计调查表明 垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比 比例系数为4 4 对城B的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比 比例系数为 当垃圾处理厂建在弧的中kAB 点时 对城A和城B的总影响度为0 065 将表示成的函数 yx 讨论 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理厂对城AB A和城B的总影响度最小 若存在 求出该点到城A的距离 若不存在 说明理由 解 如图 由题意知AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中当时 所以 10 2x 0 065y 9k 所以表示成的函数为 yx 22 49 020 400 yx xx 22 49 400 y xx 422 322322 89 2 188 400 400 400 xxx y xxxx 令 得 所以 即 0y 422 188 400 xx 2 160 x 4 10 x 当时 即 所以函数为单调减函数 04 10 x 422 188 400 xx 0y 当时 即 所以函数为单调增函数 4 620 x 422 188 400 xx 0y 所以当时 即当C点到城A的距离为时 函数有最4 10 x 4 10 22 49 020 400 yx xx 小值 点评 本题主要考查了函数在实际问题中的应用 运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换 元法和基本不等式研究函数的单调性等问题 三 方法提升三 方法提升 1 将实际问题转化为函数模型 比较常数函数 一次函数 指数函数 对数函数模型的增长差异 结合 实例体会直线上升 指数爆炸 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 怎样选择数学模型分析解决实际问题 数学应用问题形式多样 解法灵活 在应用题的各种题型中 有这样一类题型 信息由表格数据的 形式给出 要求对数据进行合理的转化处理 建立数学模型 解答有关的实际问题 解答此类题型主要 有如下三种方法 1 直接法 若由题中条件能明显确定需要用的数学模型 或题中直接给出了需要用的数学模型 则可直接代入表中的数据 问题即可获解 2 列式比较法 若题所涉及的是最优化方案问题 则可根据表格中的数据先列式 然后进行比较 3 描点观察法 若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型 则可根据表中的数据在直角 坐标系中进行描点 作出散点图 然后观察这些点的位置变化情况 确定所需要用的数学模型 问题即 可顺利解决 四 反思感悟四 反思感悟 A B C x 5 五 课时作业五 课时作业 一 选择题 1 当时 三个函数增长速度比较 下列选项正 2 f xx 2xg x 2 logh xx 4 x 确的是 B A B f xg xh x g xf xh x C D g xh xf x f xh xg x 2 能使不等式成立的自变量的取值范围是 D 2 2 log2xxx x A B C D 或0 x 2x 2x 02x 4x 3 下列函数中 在上随增大而增大的速度最慢的是 A 1000 x A B C D xy2 xy3 x y2 2 xy 4 某产品的总成本 万元 与产量 台 之间的函数关系式是yx 2 3000200 1yxx 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本时 销售收入不小于总成本 的 0240 xxN 最低产量是 C A 100台 B 120台 C 150台 D 180台 5 某商品零售价2009年比2008年上涨25 欲控制2010年比2008年只上涨10 则2010年 应 比2009年降价 B A 15 B 12 C 10 D 50 6 某商场对顾客实行购物优惠活动 规定一次购物付款总额 如果不超过200元 则不予优惠 如果超过200元但不超过500元 则按标价给予9折优惠 如果超过500元 其500元按 条给 予优惠 超过500元的部分给予7折优惠 某人两次去购物 分别付款168元和423元 假设他一次购 买上述同样的商品 则应付款 C A 413 7元 B 513 7元 C 546 6元 D 548 7元 7 光线透过一块玻璃时 其强度损失 10 则强度为的光线通过块玻璃后 其强度为axy B 6 A B C D x a 1 01 x a 1 01 1 01 x a 1 01 x a 8 设函数若 则的取值范围是 D 1 2 21 0 0 x x f x xx 0 1f x 0 x A B C D 1 1 0 2 0 1 1 二 填空题 9 有一块长为20厘米 宽为12厘米的矩形铁皮 将其四个角各截去一个边长为的小正方形 然后x 折成一个无盖的盒子 则盒子的容积与的函数关系式是 Vx 解 202122V xxxx 60 x 10 某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比 且比例系数为 其余费a 用与船的航行速度无关 约为每小时元 若该船以速度千米 时航行 航行每千米耗去的总费用为bv 元 则与的函数解析式为 yyv 2 0 b yavv v 11 建筑一个容积为8000米 3 深6 米的长方体蓄水池 无盖 池壁造价为元 米 2 池底造价为 a 2元 米 2 把总造价 y 元表示为底的一边长 x 米的函数 其解析式为 定义域为 a 解 40008000 12 33 yaxa x 0 x 12 某公司一年购买某种货物400吨 每次都购买吨 运费为4万元 次 一年的总存储费用为x 万4x 元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则 20 吨 x 三 解答题 13 某地区1995年底沙漠面积为95万公顷 为了解该地区沙漠面积的变化情况 进行了连续5年的 观测 并将每年年底的观测结果记录如下表 根据此表所给的信息进行预测 如果不采取任何措施 那么到2010年底 该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷 如果从2000年底后采取植树造林等措施 每年改造0 6万公顷沙漠 那么到哪一年年底该地 观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底 该地区沙漠比95年底 面积增加数 万公顷 0 20000 40000 60010 79991 0001 7 区沙漠面积减少到90万公顷 解 由表观察知 沙漠面积增加数与年份数之间的关系图象近似地为一次函数yx 的图象 ykxb 将 代入 求得 1 0 2 x y 2 0 4 x y ykxb 0 2k 0b 所以 则到2010年底沙漠面积大约为 万公顷 0 2 yx xN 950 2 1598 设从1996年算起 第年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷 x 由题意得 950 20 6 5 90 xx 解得 故到2015年年底 该地区沙漠面积减少到90万公顷 20 x 14 某商品每件成本9元 售价为30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且 每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 单位 元 的平方成正比 已知商品单价x030 x 降低2元时 一星期多卖出24件 将一个星期的商品销售利润表示成的函数 x 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解 设商品降价元 则多卖的商品数为 若记商品在一个星期的获利为 x 2 kx f x 则依题意有 22 309 432 21 432 f xxkxxkx 又由已知条件 于是有 2 242k 6k 所以 32 61264329072 0 30 f xxxxx 根据 我们有 2 1825243218 2 12 fxxxxx x 0 2 2 212 12 12 30 fx 0 0 f x 极小值 极大值 故时 达到极大值 因为 12x f x 0 9072f 12 11264f 所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大 30 1218 15 已知某企业原有员工2000人 每人每年可为企业创利润3 5万元 为应对国际金融危机给企业带 来的不利影响 该企业实施 优化重组 分流增效 的策略 分流出一部分员工待岗 为维护生产稳定 该企业决定待岗人数不超过原有员工的5 并且每年给每位待岗员工发放生活补贴万元 据评估 0 5 当待岗员工人数不超过原有员工1 时 留岗员工每人每年可为企业多创利润 万元 当待岗x 81 1 100 x 员工人数超过原有员工1 时 留岗员工每人每年可为企业多创利润万元 为使企业年利润最x0 9595 大 应安排多少员工待岗 8 解 设重组后 该企业年利润为万元 y 2000 1 20 当且时 020 x xN 81324 2000 3 5 1 0 55 9000 81 100