正方形与全等模型

正方形与全等模型正方形与全等模型 1 垂直相等 垂直相等 如图 在正方形 ABCD 中 1 若点 E F 分别在 AB AD 上 且 AE DF 试判断 DE 与 CF 的数量及位置关系 并说明理由 2 若 P Q M N 是正方形 ABCD 各边上的点 PQ 与 MN 相交 且 PQ MN 问 PQ MN 成立吗 为什么 2 三垂 三垂 如图 直线 MN 不与正方形的边相交且经过正方形 ABCD 的顶点 D AM MN 于 M CN MN 于 N BR MN 于 R 1 求证 ADM DCN 2 求证 MN AM CN 3 试猜想 BR 与 MN 的数量关系 并证明你的猜想 3 三垂 三垂 如图 在平的直角坐标系中 直线 y 2x 2 与 x 轴 y 轴分别相交于点 A B 四边形 ABCD 是正方形 曲线 y 在第一象限经过点 D 求双曲线表示的函数解析式 4 三垂 三垂 如图 四边形 ABCD 是正方形 直线 l1 l2 l3分别通过 A B C 三点 且 l1 l2 l3 若 l1与 l2的距离 为 5 l2与 l3的距离为 7 则正方形 ABCD 的面积等于 A 70B 74C 144D 148 5 三垂 三垂 如图在平面直角坐标系中正方形 OABC 的边 OC OA 分别在 x 轴正半轴上和 y 轴的负半轴上 点 B 在 双曲线 y 上 直线 y kx k k 0 交 y 轴与 F 1 求点 B E 的坐标 2 连接 BE CF 交于 M 点 是否存在实数 k 使得 BE CF 若存在 求出 k 的值 若不存在 请说明理由 3 F 在线段 OA 上 连 BF 作 OM BF 于 M AN BF 于 N 当 F 在线段 OA 上运动时 不与 O A 重合 的值是否变化 若变化 求出变化的范围 若不变 求其值 6 对角互补 对角互补 已知 如图 正方形 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 相交于点 O E F 分别是边 AB BC 上的点 若 AE 4cm CF 3cm 且 OE OF 则 EF 的长为 cm 7 对角互补 对角互补 在图 1 到图 3 中 点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点 MPN 为直角三角形 MPN 90 正方形 ABCD 保持不动 MPN 沿射线 AC 向右平移 平移过程中 P 点始终在射线 AC 上 且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E PN 垂直于直线 BC 于点 F 1 如图 1 当点 P 与点 O 重合时 OE 与 OF 的数量关系为 2 如图 2 当 P 在线段 OC 上时 猜想 OE 与 OF 有怎样的数量关系与位置关系 并对你的猜想结果给予证明 3 如图 3 当点 P 在 AC 的延长线上时 OE 与 OF 的数量关系为 位置关系为 8 对角互补 对角互补 如图 正方形 ABCD 中 AC 是对角线 今有较大的直角三角板 一边始终经过点 B 直角顶点 P 在射线 AC 上移动 另一边交 DC 于 Q 1 如图 1 当点 Q 在 DC 边上时 猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系 并加以证明 2 如图 2 当点 Q 落在 DC 的延长线上时 猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关系 请证明你的猜想 9 对角互补 对角互补 如图 正方形 ABCD 点 P 是对角线 AC 上一点 连接 BP 过 P 作 PQ BP PQ 交 CD 于 Q 连 接 BQ 交 AC 于 G 若 AP Q 为 CD 中点 则下列结论 PBC PQD BP PQ BPC BQC 正方形 ABCD 的面积是 16 其中正确结论的个数是 A 4B 3C 2D 1 10 对角互补 对角互补 如图 1 直角 EPF 的顶点和正方形 ABCD 的顶点 C 重合 两直角边 PE PF 分别和 AB AD 所 在的直线交于点 E 和 F 易得 PBE PDF 故结论 PE PF 成立 1 如图 2 若点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上 其他条件不变 1 中的结论是否仍然成立 说明理由 2 如图 3 将 2 中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD 其他条件不变 若 AB m BC n 直接写出的值 11 对角互补 对角互补 如图 边长一定的正方形 ABCD Q 为 CD 上一个动点 AQ 交 BD 于点 M 过 M 作 MN AQ 交 BC 于点 N 作 NP BD 于点 P 连接 NQ 下列结论 AM MN MP BD BN DQ NQ 为定值 其中一定成立的是 A B C D 12 等角共顶点 等角共顶点 1 如图 ABC 中 AB AC BAC 90 点 D 为 BC 边上一点 与点 B C 不重合 连接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 可猜想线段 CF BD 之间的数量关系是 位置关系是 2 当点 D 在线段 BC 的延长线时 如图 1 中的结论是否仍然成立 如果成立 给出证明 如果不成立 说明理由 13 等角共顶点 等角共顶点 已知点 O 为正方形 ABCD 的中心 M 为射线 OD 上一动点 M 与点 O D 不重合 以线段 AM 为一边作正方形 AMEF 连接 FD 1 当点 M 在线段 OD 上时 如图 1 线段 BM 与 DF 有怎样的数量及位置关系 请判断并直接写出结果 2 当点 M 在线段 OD 的延长线上时 如图 2 1 中的结论是否仍然成立 请结合图 2 说明理由 14 等角共顶点 等角共顶点 以 ABC 的各边 在边 BC 的同侧分别作三个正方形 他们分别是正方形 ABDI BCFE ACHG 试探究 1 如图中四边形 ADEG 是什么四边形 并说明理由 2 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEG 是矩形 3 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEG 是正方形 15 等角共顶点 等角共顶点 在直角三角形 ABC 中 C 90 BC 2 以 AB 为边作正方形 ABDE 连接 AD BE 交 O CO 则 AC 的长为 A 2B 3C 4D 16 等角共顶点 等角共顶点 如图 已知正方形 ABCD 点 E 是 BC 上一点 以 AE 为边作正方形 AEFG 1 连接 GD 求证 ADG ABE 2 连接 FC 求证 FCN 45 3 请问在 AB 边上是否存在一点 Q 使得四边形 DQEF 是平行四边形 若存在 请证明 若不存在 请说明理 由 17 等角共顶点 等角共顶点 如图 1 2 四边形 ABCD 是正方形 M 是 AB 延长线上一点 直角三角尺的一条直角边经过 点 D 且直角顶点 E 在 AB 边上滑动 点 E 不与点 A B 重合 另一条直角边与 CBM 的平分线 BF 相交于点 F 1 如图 1 当点 E 在 AB 边的中点 N 为 AD 边的中点位置时 通过测量 DE EF 的长度 猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 请证明你的上述猜想 2 如图 2 当点 E 在 AB 边上的任意位置时 猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系 并证明你的结论 18 对角互补分半 对角互补分半 已知 四边形 ABCD 是正方形 MAN 45 它的两边 AM AN 分别交 CB DC 与点 M N 连接 MN 作 AH MN 垂足为点 H 1 如图 1 猜想 AH 与 AB 有什么数量关系 并证明 2 如图 2 已知 BAC 45 AD BC 于点 D 且 BD 2 CD 3 求 AD 的长 小萍同学通过观察图 发现 ABM 和 AHM 关于 AM 对称 AHN 和 ADN 关于 AN 对称 于是她巧妙运用 这个发现 将图形如图 进行翻折变换 解答了此题 你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗 19 对角互补分半 对角互补分半 1 如图 在正方形 ABCD 中 AEF 的顶点 E F 分别在 BC CD 边上 高 AG 与正方 形的边长相等 求 EAF 的度数 2 如图 在 Rt ABD 中 BAD 90 AB AD 点 M N 是 BD 边上的任意两点 且 MAN 45 将 ABM 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADH 位置 连接 NH 试判断 MN ND DH 之间的数量关系 并说明理由 3 在图 中 连接 BD 分别交 AE AF 于点 M N 若 EG 4 GF 6 BM 3 求 AG MN 的长 20 对角互补分半 对角互补分半 如图 将边长为 4 的正方形 ABCD 沿着折痕 EF 折叠 使点 B 落在边 AD 的中点 G 处 那么 四边形 BCFE 的面积等于 若 GH 与 CD 交点为 I 那么GBI 21 等角共顶点拓展 等角共顶点拓展 如图 四边形 ABCD 是正方形 以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG 连接 BG DE 猜想图中线段 BG DE 的数量和位置关系 并说明理由 22 等角共顶点拓展 等角共顶点拓展 如图 正方形 ABDE 和 ACFG 是以 ABC 的 AB AC 为边的正方形 P Q 为它们的中心 M 是 BC 的中点 试判断 MP MQ 在数量和位置是有什么关系 并证明你的结论 23 如图所示 四边形 ABCD 为正方形 BEF 为等腰直角三角形 BFE 90 点 B E F 按逆时针顺序 P 为 DE 的中点 连接 PC PF 1 如图 1 E 点在边 BC 上 则线段 PC PF 的数量关系为 位置关系为 不 需要证明 2 如图 2 将 BEF 绕 B 点顺时针旋转 0 45 则线段 PC PF 有何数量关系和位置关系 请写出 你的结论并证明 3 如图 3 E 点旋转到图中的位置 其它条件不变 完成图 3 则线段 PC PF 有何数量关系和位置关系 直接写出你的结论 不需要证明 24 等角共顶点拓展 等角共顶点拓展 如图甲 操作 把正方形 CGEF 的对角线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上 CG BC 取线段 AE 的中点 M 1 探究线段 MD MF 的位置及数量关系 直接写出答案即可 2 将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45 如图乙 令 CG 2BC 其他条件不变 结论是否发生变化 并加以 证明 2 将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后 如图丙 其他条件不变 探究 线段 MD MF 的位置及数量关系 并加以证明 巩固练习巩固练习 25 已知点 E 是正方形 ABCD 外的一点 EA ED 线段 BE 与对角线 AC 相交于点 F 1 如图 1 当 BF EF 时 线段 AF 与 DE 之间有怎样的数量关系 并证明 2 如图 2 当 EAD 为等边三角形时 写出线段 AF BF EF 之间的一个数量关系 并证明 26 如图 1 四边形 ABCD 为正方形 E 在 CD 上 DAE 的平分线交 CD 于 F BG AF 于 G 交 AE 于 H 1 如图 1 DEA 60 求证 AH DF 2 如图 2 E 是线段 CD 上 不与 C D 重合 任一点 请问 AH 与 DF 有何数量关系并证明你的结论 3 如图 3 E 是线段 DC 延长线上一点 若 F 是 ADE 中与 DAE 相邻的外角平分线与 CD 的交点 其它条件 不变 请判断 AH 与 DF 的数量关系 画图 直接写出结论 不需证明 27 在直角坐标系中 直线 y 2x 4 交 x 轴于 A 交 y 轴于 D 1 以 A 为直角顶点作等腰直角 AMD 直接写出点 M 的坐标为 2 以 AD 为边作正方形 ABCD 连 BD P 是线段 BD 上 不与 B D 重合 的一点 在 BD 上截取 PG 过 G 作 GF BD 交 BC 于 F 连 AP 则 AP 与 PF 有怎样的数量关系和位置关系 并证明你的结论 3 在 2 中的正方形中 若 PAG 45 试判断线段 PD PG BG 之间有何关系 并证明你的结论 28 如图 一个直角三角形的直角顶点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 所在的直线上滑动 并使得一条直角边始 终经过 B 点 1 如图 1 当直角三角形的另一条直角边和边 CD 交于 Q 点 2 如图 2 当另一条直角边和边 CD 的延长线相交于 Q 点时 3 如图 3 或图 4 当直角顶点 P 运动到 AC 或 CA 的延长线上时 请你在图 3 或图 4 中任选一种情形 求的 值 并说明理由 29 已知 如图在正方形 OADC 中 点 C 的坐标为 0 4 点 A 的坐标为 4 0 CD 的延长线交双曲线 y 于点 B 1 求直线 AB 的解析式 2 G 为 x 轴的负半轴上一点连接 CG 过 G 作 GE CG 交直线 AB 于 E 求证 CG GE 3 在 2 的条件下 延长 DA 交 CE 的延长线于 F 当 G 在 x 的负半轴上运动的过程中 请问的值是否 为定值 若是 请求出其值 若不是 请说明你的理由 30 如图 四边形 ABCD 位于平面直角坐标系的第一象限 B C 在 x 轴上 A 点函数上 且 AB CD y 轴 AD x 轴 B 1 0 C 3 0 1 试判断四边形 ABCD 的形状 2 若点 P 是线段 BD 上一点 PE BC 于 E M 是 PD 的中点 连 EM AM 求证 AM EM 3 在图 2 中 连接 AE 交 BD 于 N 则下列两个结论 值不变 的值不变 其中有且仅有一个是正确的 请选择正确的结论证明并求其值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 16 小题 小题 1 如图 在正方形 ABCD 中 1 若点 E F 分别在 AB AD 上 且 AE DF 试判断 DE 与 CF 的数量及位置关系 并说明理由 2 若 P Q M N 是正方形 ABCD 各边上的点 PQ 与 MN 相交 且 PQ MN 问 PQ MN 成立吗 为什么 考点 正方形的性 质 专题 探究型 分析 1 由已知易 得 DAE CDF 故有 DE CF 2 由点 N Q 分别向 AB AD 作垂 线 构造两直 角三角形全等 由角的等量代 换 易得 QP MN 解答 解 1 在正 方形 ABCD 中 AD DC AE DF EAD F DC 所以 EAD FDC 故 DE CF EDA FCD 又 DCF DFC 90 ADE DFC 90 DGF 90 即 DE CF 2 由点 N Q 分别向 AB AD 作垂 线 PQ MN RN SQ MNR QP S HL PQS MNR 又 1 PQS 90 所以 1 MNR 90 即 MN PQ 点评 解答本题要充 分利用正方形 的特殊性 质 注意在正 方形中的特殊 三角形的应用 搞清楚矩形 菱形 正方形 中的三角形的 三边关系 可 有助于提高解 题速度和准确 率 2 如图 直线 MN 不与正方形的边相交且经过正方形 ABCD 的顶点 D AM MN 于 M CN MN 于 N BR MN 于 R 1 求证 ADM DCN 2 求证 MN AM CN 3 试猜想 BR 与 MN 的数量关系 并证明你的猜想 考点 正方形的性质 全等三角形的 判定与性质 专题 证明题 探究 型 分析 此题分三问进 行 三问都与 三角形全等直 接相关 所以 要紧扣三角形 全等的判定方 法进行思考 1 要证 ADM DCN 由于它 们都是直角三 角形 所以首 先有直角相等 又由 ABCD 是 正方形有 AD DC 再找 一个条件即可 而由图形很容 易分析得出 ADM DCN 2 的关键是 合理添加辅助 线 通过等量 代换等到结论 3 首先结合 前面的结论再 结合图形合理 猜想 然后再 结合前面的结 论认真推理 细致证明即 可 解答 1 证明 AM MN 于点 M CN MN 于 点 N 已知 AMD DN C 90 垂直的 定义 MAD MD A 180 90 90 三角形内角 和定理 四边形 ABCD 是正方形 已 知 ADC 90 AD DC MDA ND C 180 90 90 平角的定义 MAD MD A NDC NC D MAD ND C 在 AMB 和 DNC 中 AMD DN C MAD N DC AD DC AMD DN C AAS 2 证明 由 1 AMD DNC AM DN MD NC 全等三 角形对应边相 等 MD DN AM CN 即 MN AM CN 3 猜想 BR MN 证明如下 作 AE BR 于 E BR MN CN MN 已知 BR CN 垂直 于同一直线的 两条直线平行 1 2 两直 线平行同位角 相等 又四边形 ABCD 是正方 形 AB BC DC BC ABE DCN 90 1 在 ABE 和 DCN 中 AB DC AB E DCN A EB DNC 90 ABE DC N AAS 由 1 ADM DCN ABE AD M AM AE 全 等三角形对应 边相等 又 AE MR AM ER BR BE ER C N AM DM D N MN 点评 此题三问紧密 相连 第一问 正确解出后 后两问就顺理 成章求出来 了 3 如图 在平的直角坐标系中 直线 y 2x 2 与 x 轴 y 轴分别相交于点 A B 四边形 ABCD 是正方形 曲线 y 在第一象限经过点 D 求双曲线表示的函数解析式 考点 反比例函数综 合题 专题 探究型 分析 过点 D 作 DE x 轴于点 E 先由直线 y 2x 2 与 x 轴 y 轴相交于点 A B 求出 OB 及 OA 的长 再由全等三角 形的判定定理 得出 AOB DEA 故可得 出 D 点坐标 再由待定系数 法即可求出反 比例函数的解 析式 解答 解 过点 D 作 DE x 轴于点 E 直线 y 2x 2 与 x 轴 y 轴相 交于点 A B 当 x 0 时 y 2 即 OB 2 当 y 0 时 x 1 即 OA 1 四边形 ABCD 是正方形 BAD 90 AB AD BAO DAE 90 ADE DAE 90 BAO ADE AOB DEA 90 AOB DE A DE AO 1 A E BO 2 OE 3 DE 1 点 D 的坐标为 3 1 把 3 1 代入 y 中 得 k 3 故反比例函数 的解析式为 y 点评 本题考查的是 反比例函数综 合题 涉及到 一次函数的性 质 正方形的 性质及全等三 角形的判定与 性质 根据题 意作出辅助线 构造出全等三 角形是解答此 题的关键 4 如图 四边形 ABCD 是正方形 直线 l1 l2 l3分别通过 A B C 三点 且 l1 l2 l3 若 l1与 l2的距离为 5 l2 与 l3的距离为 7 则正方形 ABCD 的面积等于 A 70B 74C 144D 148 考点 勾股定理 全 等三角形的判 定与性质 正 方形的性质 分析 画出 L1到 L2 L2到 L3的 距离 分别交 L2 L3于 E F 通过证 明 ABE BCF 得出 BF AE 再由 勾股定理即可 得出结论 解答 解 过点 A 作 AE l1 过点 C 作 CF l2 CBF BCF 90 四边形 ABCD 是正方形 AB BC CD AD DAB ABC BCD CDA 90 ABE CBF 90 l1 l2 l3 ABE BCF 在 ABE 和 BCF 中 ABE BCF AAS 画出 L1到 L2 L2到 L3的 距离 分别交 L2 L3于 E F BF AE BF2 CF2 BC2 BC2 52 72 74 故面积为 74 故选 B 点评 本题主要考查 了正方形的性 质 全等三角 形的判定与性 质以及正方形 面积的求解方 法 能够熟练 掌握 5 如图在平面直角坐标系中正方形 OABC 的边 OC OA 分别在 x 轴正半轴上和 y 轴的负半轴上 点 B 在双曲线 y 上 直线 y kx k k 0 交 y 轴与 F 1 求点 B E 的坐标 2 连接 BE CF 交于 M 点 是否存在实数 k 使得 BE CF 若存在 求出 k 的值 若不存在 请说明理由 3 F 在线段 OA 上 连 BF 作 OM BF 于 M AN BF 于 N 当 F 在线段 OA 上运动时 不与 O A 重合 的值是否变化 若变化 求出变化的范围 若不变 求其值 考点 反比例函数综 合题 专题 开放型 分析 1 把正方形 的面积用 B 点 坐标表示求解 2 用分析法 求解 根据直 线解析式的特 点 求 k 只需 求满足条件时 OF 的长 3 探索 代换 后得结论为 1 所以不变化 解答 解 1 根据 题意 设 B x x B 在 y 的图 象上 x2 4 x 2 根据图形得 B 2 2 E 在 X 轴上 kx k 0 x 1 即 E 1 0 2 假设存在 k 使 BE CF OCF CBE COF BCE OC CB OCF CBE OF CE 1 k 1 3 1 证明 由已知 条件易证 OMF BNA ANF BNA 1 点评 此题运用了分 析法解题探究 综合性很强 检验学生自主 创新能力 6 2008 安顺 已知 如图 正方形 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 相交于点 O E F 分别是边 AB BC 上的点 若 AE 4cm CF 3cm 且 OE OF 则 EF 的长为 5 cm 考点 正方形的性质 全等三角形的 判定与性质 勾股定理 专题 计算题 分析 连接 EF 作 OM AB 于点 M 根据条件 可以证明 OED OFC 则 OE OF CF D E 3Ccm 则 AE DF 4 根 据勾股定理得 到 EF 5cm 解答 解 连接 EF 作 OM AB 于 点 M OD OC OE OF EOD FOD 90 正方形 ABCD COF DOF 90 EOD FOC 而 ODE OCF 45 OFC OED OE OF CF DE 3cm 则 AE DF 4 根据勾股定理 得到 EF 5c m 故答案为 5 点评 根据已知条件 以及正方形的 性质求证出两 个全等三角形 是解决本题的 关键 7 在图 1 到图 3 中 点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点 MPN 为直角三角形 MPN 90 正方形 ABCD 保持不动 MPN 沿射线 AC 向右平移 平移过程中 P 点始终在射线 AC 上 且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E PN 垂直于直线 BC 于点 F 1 如图 1 当点 P 与点 O 重合时 OE 与 OF 的数量关系为 OE OF 2 如图 2 当 P 在线段 OC 上时 猜想 OE 与 OF 有怎样的数量关系与位置关系 并对你的猜想结果给予证明 3 如图 3 当点 P 在 AC 的延长线上时 OE 与 OF 的数量关系为 OE OF 位置关系为 OE OF 考点 正方形的判定 与性质 全等 三角形的判定 与性质 矩形 的判定与性质 平移的性质 分析 1 根据利用 正方形的性质 和直角三角形 的性质即可判 定四边形 BEOF 为正方形 从 而得到结论 2 当移动到 点 P 的位置时 可以通过证明 四边形 BEPF 为矩形来得到 两条线段的数 量关系 3 继续变化 有相同的关系 其证明方法也 类似 解答 1 解 OE OF 相等 1 分 2 解 OE OF OE OF 3 分 证明 连接 BO 在正方形 ABCD 中 O 为 AC 中点 BO CO BO AC BCA ABO 45 4 分 PF BC BC O 45 FPC 45 PF FC 正方形 ABCD ABC 90 PF BC PE AB PEB PFB 90 四边形 PEBF 是矩形 BE PF 5 分 BE FC OBE OCF OE OF BO E COF 7 分 COF BOF 90 BOE BOF 90 EOF 90 OE OF 8 分 3 OE OF 相等 OE OF 垂直 10 分 点评 本题考查了正 方形的性质 解题的关键是 抓住动点问题 化动为静 还 要大胆的猜 想 8 如图 正方形 ABCD 中 AC 是对角线 今有较大的直角三角板 一边始终经过点 B 直角顶点 P 在射线 AC 上移动 另一边交 DC 于 Q 1 如图 1 当点 Q 在 DC 边上时 猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系 并加以证明 2 如图 2 当点 Q 落在 DC 的延长线上时 猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关系 请证明你的猜想 考点 正方形的判定 与性质 全等 三角形的判定 与性质 分析 1 过 P 作 PE BC PF C D 证明 Rt PQF Rt PBE 即可 2 证明思路 同 1 解答 1 PB PQ 证明 过 P 作 PE BC PF C D P C 为正方 形对角线 AC 上的点 PC 平分 DCB DCB 90 PF PE 四边形 PECF 为正方形 BPE QPE 90 QPE QPF 9 0 BPE QPF Rt PQF Rt PBE PB PQ 2 PB PQ 证明 过 P 作 PE BC PF C D P C 为正方 形对角线 AC 上的点 PC 平分 DCB DCB 90 PF PE 四边形 PECF 为正方形 BPE QPE 90 QPE QPF 9 0 BPE QPF Rt PQF Rt PBE PB PQ 点评 此题考查了正 方形 角平分 线的性质 以 及全等三角形 判定与性 质 此题综合 性较强 注意 数形结合思 想 9 如图 正方形 ABCD 点 P 是对角线 AC 上一点 连接 BP 过 P 作 PQ BP PQ 交 CD 于 Q 连接 BQ 交 AC 于 G 若 AP Q 为 CD 中点 则下列结论 PBC PQD BP PQ BPC BQC 正方形 ABCD 的面积是 16 其中正确结论的个数是 A 4B 3C 2D 1 考点 正方形的性质 全等三角形的 判定与性质 分析 根据对角互补 的四边形 则 四边形共圆 根据圆周角定 理得出 BPC BQC 根据 PBC PQD 过 P 作 PM AD 于 M PE AB 于 E PF DC 于 F 则 E P F 三点共线 推 出正方形 AEPM 根据勾 股定理求出 AE PE PM A M DF 1 证 BEP PFQ 推出 PE FQ 1 BP PQ 求出 DQ DC 即 可 解答 解 四边形 ABCD 是正方形 BCQ 90 PQ PB BPQ 90 BPQ BCQ 180 B C Q P 四点共圆 PBC PQD BPC BQC 正确 正确 过 P 作 PM AD 于 M PE AB 于 E PF DC 于 F 则 E P F 三点共线 四边形 ABCD 是正方形 AB AD DC BC DAC BAC DAB 90 MAE PEA PMA 90 PM PE 四边形 AMPE 是正方形 AM PM PE AE AP 在 Rt AEP 中 由勾股定理得 AE2 PE2 2 解得 AE AM PE P M 1 DF 1 设 AB BC CD A D a 则 BE PF a 1 BEP PFQ BPQ 90 BPE EBP 90 EPB FPQ 9 0 EBP FPQ 在 BEP 和 PFQ 中 BEP PFQ ASA PE FQ 1 B P PQ 正 确 DQ 1 1 2 Q 为 CD 中点 DC 2DQ 4 正方形 ABCD 的面积是 4 4 16 正确 故选 A 点评 本题考查了正 方形的性质和 判定 全等三 角形的性质和 判定 勾股定 理 三角形的 内角和定理等 知识点 主要 考查学生的推 理能力 题目 综合性比较强 有一定的难 度 10 如图 1 直角 EPF 的顶点和正方形 ABCD 的顶点 C 重合 两直角边 PE PF 分别和 AB AD 所在的直线交 于点 E 和 F 易得 PBE PDF 故结论 PE PF 成立 1 如图 2 若点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上 其他条件不变 1 中的结论是否仍然成立 说明理由 2 如图 3 将 2 中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD 其他条件不变 若 AB m BC n 直接写出的值 考点 正方形的性质 垂线 全等三 角形的判定与 性质 分析 1 过点 P 分 别作 AB AD 的垂线 垂足 分别为 G H 有材料提供的 证明思路可证 明 PGE PHF 再根据 全等三角形的 性质 对应边 相等可得 PE PF 2 有 1 证题思路可知 方形 ABCD 改 为矩形 ABCD 其他条件不变 则 PGE PHF 再根据 相似三角形的 性质 对应边 的比值相等可 得 的比 值 解答 解 1 成 立 证明如下 如图 过点 P 分别作 AB AD 的垂 线 垂足分别 为 G H 则 GPH 90 PG PH PGE PHF 90 EPF 90 1 2 PGE PHF PE PF 2 点评 本题是一个动 态几何题 考 查了正方形性 质 矩形的性 质 全等三角 形的判定以及 性质 三角形 相似的条件和 性质及进行有 条理的思考和 表达能力 还 考查按要求画 图能力 11 如图 边长一定的正方形 ABCD Q 为 CD 上一个动点 AQ 交 BD 于点 M 过 M 作 MN AQ 交 BC 于点 N 作 NP BD 于点 P 连接 NQ 下列结论 AM MN MP BD BN DQ NQ 为定值 其 中一定成立的是 A B C D 考点 正方形的性质 全等三角形的 判定与性质 确定圆的条 件 专题 动点型 分析 由题可知 A B N M 四点共圆 进 而可得出 ANM NAM 45 由等角 对等边知 AM MN 故 正确 由同角的余角 相等知 HAM PMN 所以 Rt AHM Rt MP N 即可得出结 论 故 正确 先由题意得出 四边形 SMWB 是正方形 进 而证出 AMS NMW 因为 AS NW 所以 AB BN SB B W 2BW 而 BW BM 1 所以 故 正 确 因为 BAN QAD NAQ 45 在 NAM 作 AU AB AD 且使 BAN NAU DAQ QA U 所以 ABN UAN DAQ UAQ 有 UAN UAQ 90 BN NU DQ UQ 即可得出 结论 故 正 确 解答 解 如图 作 AU NQ 于 U 连接 AN AC AMN AB C 90 A B N M 四点共圆 NAM DB C 45 ANM ABD 45 ANM NA M 45 由等角对等边 知 AM MN 故 正确 由同角的余角 相等知 HAM PMN Rt AHM Rt MPN MP AH AC BD 故 正确 如图 作 MS AB 垂足 为 S 作 MW BC 垂足 为 W 点 M 是 对角线 BD 上 的点 四边形 SMWB 是正方 形 有 MS MW BS BW AMS NM W AS NW AB BN SB BW 2BW BW BM 1 故 正 确 BAN QAD NAQ 45 在 NAM 作 AU AB AD 且使 BAN NAU DAQ QA U ABN UA N DAQ UAQ 有 UAN UAQ BN NU D Q UQ 点 U 在 NQ 上 有 BN DQ QU U N NQ 故 正确 故选 D 点评 本题利用了正 方形的性质 四点共圆的判 定 圆周角定 理 等腰直角 三角形的性质 全等三角形的 判定和性质求 解 12 1 如图 ABC 中 AB AC BAC 90 点 D 为 BC 边上一点 与点 B C 不重合 连接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 可猜想线段 CF BD 之间的数量关系是 相等 位置关系是 垂直 2 当点 D 在线段 BC 的延长线时 如图 1 中的结论是否仍然成立 如果成立 给出证明 如果不成立 说明理由 考点 正方形的性质 全等三角形的 判定与性质 等腰直角三角 形 专题 几何综合题 分析 1 可通过证 明三角形 ABD 和三角形 ACF 全等来实 现 因为 AD AF AB AC 只要证明 BAD CAF 即可 BAD 90 D AC FAC 这 样就构成了全 等三角形判定 中的 SAS ABD ACF 因此 BC CF B ACF 因为 B ACB 90 那么 ACF ACD 9 0 即 FC BC 也就 是 FC BD 2 当点 D 在 BC 的延长 线上时 的结 论仍成立 由 正方形 ADEF 的性质可推出 DAB FAC 所以 CF BD ACF ABD 结合 BAC 90 AB AC 得到 BCF ACB ACF 90 度 即 CF BD 解答 解 1 CF 与 BD 的数量 关系是 CF BD 位置关系是 CF BD 故答案为 相 等 垂直 2 当点 D 在 BC 的延长 线上时 1 中 的结论仍成 立 5 分 理由如下 由正方形 ADEF 得 AD AF DA F 90 BAC 90 DAF BAC DAB FAC 又 AB AC DAB FAC 4 分 CF BD AC F ABD 6 分 BAC 90 AB AC ABC 45 ACF 45 BCF ACB ACF 90 即 CF BD 点评 本题中综合考 查了正方形的 性质 全等三 角形的判定等 知识 关键是 证明三角形全 等 判定两个 三角形全等 先根据已知条 件或求证的结 论确定三角形 然后再根据三 角形全等的判 定方法 看缺 什么条件 再 去证什么条 件 13 已知点 O 为正方形 ABCD 的中心 M 为射线 OD 上一动点 M 与点 O D 不重合 以线段 AM 为一边作正 方形 AMEF 连接 FD 1 当点 M 在线段 OD 上时 如图 1 线段 BM 与 DF 有怎样的数量及位置关系 请判断并直接写出结果 2 当点 M 在线段 OD 的延长线上时 如图 2 1 中的结论是否仍然成立 请结合图 2 说明理由 考点 正方形的性质 全等三角形的 判定与性质 专题 证明题 探究 型 分析 1 根据正方 形性质求出 AF AM AD AB FAM DAB 90 推 出 FAD MAB 证 FAD MAB 推出 BM DF FD A ABD 45 求出 ADB 45 即可 2 根据正方 形性质求出 AF AM AD AB FAM DAB 90 推 出 FAD MAB 证 FAD MAB 推出 BM DF FD A ABD 45 求出 ADB 45 即可 解答 解 1 BM DF BM DF 理由是 四边 形 ABCD AMEF 是正方形 AF AM AD AB FAM DAB 90 FAM DAM DAB DAM 即 FAD MAB 在 FAD 和 MAB 中 FAD MA B BM DF F DA ABD 45 ADB 45 FDB 45 45 90 BM DF 即 BM DF BM DF 2 解 成立 理由是 四边 形 ABCD 和 AMEF 均为正 方形 AB AD AM AF BAD MAF 90 FAM DA M DAB D AM 即 FAD MAB 在 FAD 和 MAB 中 FAD MA B BM DF A BM ADF 由正方形 ABCD 知 ABM ADB 45 BDF ADB ADF 90 即 BM DF 1 中的结 论仍成立 点评 本题考查了正 方形的性质和 全等三角形的 性质和判定的 应用 关键是 求出 FAD MAB 本题具 有一定的代表 性 主要培养 学生运用性质 进行推理的能 力和猜想能 力 14 以 ABC 的各边 在边 BC 的同侧分别作三个正方形 他们分别是正方形 ABDI BCFE ACHG 试探究 1 如图中四边形 ADEG 是什么四边形 并说明理由 2 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEG 是矩形 3 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEG 是正方形 考点 正方形的判定 与性质 全等 三角形的判定 与性质 平行 四边形的判定 矩形的判定 分析 1 根据全等 三角形的判定 定理 SAS 证得 BDE BAC 所以全 等三角形的对 应边 DE AG 然后 利用正方形对 角线的性质 周角的定义推 知 EDA DAG 180 易证 ED GA 最后 由 一组对边平 行且相等 的判 定定理证得结 论 2 根据 矩 形的内角都是 直角 易证 DAG 90 然 后由周角的定 义求得 BAC 135 3 由 正方 形的内角都是 直角 四条边 都相等 易证 DAG 90 且 AG AD 由 ABDI 和 ACHG 的性质 证得 AC AB 解答 解 1 图中 四边形 ADEG 是平行四边 形 理由如下 四边形 ABDI 四边形 BCFE 四边形 ACHG 都是正 方形 AC AG AB BD BC BE GAC EB C DBA 90 ABC EBD 同为 EBA 的余角 在 BDE 和 BAC 中 BDE BAC SAS DE AC AG BAC BD E AD 是正方形 ABDI 的对角线 BDA BAD 45 EDA BDE BDA BDE 4 5 DAG 360 G AC BAC BA D 360 90 BA C 45 225 BAC EDA DAG BDE 45 225 BAC 180 DE AG 四边形 ADEG 是平行四边形 一组对边平 行且相等 2 当四边形 ADEG 是矩形 时 DAG 90 则 BAC 360 BAD DAG GAC 360 45 90 90 135 即当 BAC 135 时 平行四边形 ADEG 是矩形 3 当四边形 ADEG 是正方 形时 DAG 90 且 AG AD 由 2 知 当 DAG 90 时 BAC 135 四边形 ABDI 是正方形 AD AB 又 四边形 ACHG 是正方 形 AC AG AC AB 当 BAC 135 且 AC AB 时 四边形 ABDI 是正方 形 点评 本题综合考查 了正方形的判 定与性质 全 等三角形的判 定与性质 平 行四边形的判 定与性质等知 识点 解题时 注意利用隐含 在题干中的已 知条件 周角 是 360 15 在直角三角形 ABC 中 C 90 BC 2 以 AB 为边作正方形 ABDE 连接 AD BE 交 O CO 则 AC 的长为 A 2B 3C 4D 考点 全等三角形的 判定与性质 勾股定理 正 方形的判定与 性质 专题 数形结合 分析 延长 CB 过点 D 作 CB 延长线 的垂线 交点 为 F 过点 O 作 OM CF 先 证明 RT ACB RT BFD 然后分 别表示出 OM CM 的长 度 在 RT OCM 中利用勾 股定理可得出 答案 解答 解 延长 CB 过点 D 作 CB 延长线的垂线 交点为 F 过点 O 作 OM CF 则可得 OM 是 梯形 ACFD 的 中位线 ABC FBD CAB ABC 90 CAB FBD 在 RT ACB 和 RT BFD 中 RT ACB RT BFD AC BF BC DF 设 AC x 则 OM CM 在 RT OCM 中 OM2 CM2 OC2 即 2 2 18 解得 x 4 即 AC 的长度为 4 故选 C 点评 此题考查了正 方形的性质 勾股定理 梯 形的中位线定 理 全等三角 形的判定和性 质 解答本题 的关键是正确 作出辅助线 构造全等三角 形 难度较 大 16 如图 已知正方形 ABCD 点 E 是 BC 上一点 以 AE 为边作正方形 AEFG 1 连接 GD 求证 ADG ABE 2 连接 FC 求证 FCN 45 3 请问在 AB 边上是否存在一点 Q 使得四边形 DQEF 是平行四边形 若存在 请证明 若不存在 请说明理 由 考点 正方形的性质 全等三角形的 判定与性质 平行四边形的 判定 专题 证明题 开放 型 分析 1 根据同角 的余角相等得 DAG BAE 再根据 SAS 证得 ADG ABE 2 过 F 作 BN 的垂线 设 垂足为 H 首 先证 ABE EHF 全等 然 后得 AB EH BE F H 然后根据 AB BC EH 即 BE EC EC C H 得到 CH BE FH 即可得证 3 在 AB 上 取 AQ BE 连 接 QD 首先证 DAQ ABE ADG 三个三角形全 等 易证得 AG QD 平行 且相等 又由 于 AG EF 平 行且相等 所 以 QD EF 平 行且相等 即 可得证 解答 证明 1 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方 形 DA BA EA GA BAD EAG 90 DAG BAE ADG ABE 2 过 F 作 BN 的垂线 设 垂足为 H BAE AEB 90 FEH AEB 90 BAE HEF AE EF ABE EHF AB EH BE FH AB BC EH BE EC EC C H CH BE F H FCN 45 3 在 AB 上 取 AQ BE 连 接 QD AB AD DAQ ABE ABE EHF DAQ AB E ADG GAD ADQ AG QD 平行 且相等 又 AG EF 平 行且相等 QD EF 平行 且相等 四边形 DQEF 是平行四边 形 在 AB 边上存 在一点 Q 使 得四边形 DQEF 是平行 四边形 点评 考查全等三角 形的判定及平 行四边形的判 定 难度较 大 二 填空题 共二 填空题 共 1 小题 小题 17 如图 1 2 四边形 ABCD 是正方形 M 是 AB 延长线上一点 直角三角尺的一条直角边经过点 D 且直角顶 点 E 在 AB 边上滑动 点 E 不与点 A B 重合 另一条直角边与 CBM 的平分线 BF 相交于点 F 1 如图 1 当点 E 在 AB 边的中点 N 为 AD 边的中点位置时 通过测量 DE EF 的长度 猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 相等 请证明你的上述猜想 2 如图 2 当点 E 在 AB 边上的任意位置时 猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系 并证明你的结论 考点 正方形的性质 全等三角形的 判定与性质 分析 1 根据图形 可以得到 DE EF NE B F 要证明这两 个关系 只要 证明 DNE EBF 即可 2 连接 NE 在 DA 边 上截取 DN EB 证出 DNE EBF 即可得出答 案 解答 解 1 DE EF 证明 四 边形 ABCD 是 正方形 N E 分别为 AD AB 的中 点 DN EB AN AE AEN 为等腰 直角三角形 ANE 45 DNE 180 4 5 135 BF 平分 CBM AN A E EBF 90 45 135 DNE EBF NDE DEA 90 BEF DEA 90 NDE BEF DNE EBF DE EF 2 DE EF 证明 连接 NE 在 DA 边 上截取 DN EB 四边形 ABCD 是正方形 DN EB AN AE AEN 为等腰 直角三角形 ANE 45 DNE 180 4 5 135 BF 平分 CBM AN A E EBF 90 45 135 DNE EBF NDE DEA 90 BEF DEA 90 NDE BEF DNE EBF DE EF 点评 此题主要考查 了正方形的性 质 全等三角 形的判定与性 质 解决本题 的关键就是求 证 DNE EBF 三 解答题 共三 解答题 共 13 小题 小题 18 已知 四边形 ABCD 是正方形 MAN 45 它的两