高中数学数列讲义总结(高三毕业班老师总结)

精品文档 1欢迎下载 高三数学总复习讲义高三数学总复习讲义 数列概念数列概念 知识清单知识清单 1 数列的概念 1 数列定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 数列中的每个数都叫这个数列的项 记作 在数列第一个位置的项叫第 1 项 或 n a 首项 在第二个位置的叫第 2 项 序号为 的项叫第项 也叫通项 记作 nn n a 数列的一般形式 简记作 1 a 2 a 3 a n a n a 2 通项公式的定义 如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示 n a 那么这个公式就叫这个数列的通项公式 例如 数列 的通项公式是 7 n ann nN 数列 的通项公式是 n a 1 n nN 说明 表示数列 表示数列中的第项 表示数列的通项公式 n a n an n a f n 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 例如 n a 1 n 1 21 1 2 nk kZ nk 不是每个数列都有通项公式 例如 1 1 4 1 41 1 414 3 数列的函数特征与图象表示 序号 1 2 3 4 5 6 项 4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射 从函数观点看 数列实质上是定义域为正整数集 或它的有限子集 的函数当自变N f n 量从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 通常用n 1 2 3 fff f n 来代替 其图象是一群孤立点 n a f n 4 数列分类 按数列项数是有限还是无限分 有穷数列和无穷数列 按数 列项与项之间的大小关系分 单调数列 递增数列 递减数列 常数列和摆动数列 精品文档 2欢迎下载 5 递推公式定义 如果已知数列的第 1 项 或前几项 且任一项与它的 n a n a 前一项 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的 1n a 递推公式 6 数列 的前 项和与通项的关系 n an n S n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 课前预习课前预习 1 根据数列前 4 项 写出它的通项公式 1 1 3 5 7 2 2 21 2 2 31 3 2 41 4 2 51 5 3 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 2 数列中 已知 n a 2 1 3 n nn anN 1 写出 10 a 1n a 2 n a 2 是否是数列中的项 若是 是第几项 2 79 3 3 如图 一粒子在区域上运动 在第一 0 0 x yxy 秒内它从原点运动到点 接着按图中箭头所示方向 1 0 1 B 在 x 轴 y 轴及其平行方向上运动 且每秒移动一个单位 长度 1 设粒子从原点到达点时 所经过的时间分别为 试写出 nnn ABC nnn a b c 的通相公式 nnn a b c 2 求粒子从原点运动到点时所需的时间 16 44 P 3 粒子从原点开始运动 求经过 2004 秒后 它所处的坐标 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 4 1 已知数列适合 写出前五项并写出其通项公式 n a 1 1a 1n a 2 2 n n a a 2 用上面的数列 通过等式构造新数列 写出 并写出的 n a 1nnn baa n b n b n b 前 5 项 5 05 广东 14 设平面内有条直线 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三n 3 n 0 C5 C4 C3 C2 B5 B4 B3 B2 A6A5A4 A3A2 C1B1 A1x y 精品文档 3欢迎下载 条直线不过同一点 若用表示这条直线交点的个数 则 当 nfn 4 f 时 用表示 4 n nfn 6 2003 京春理 14 文 15 在某报 自测健康状况 的报道中 自测血压结果与相应年龄 的统计数据如下表 观察表中数据的特点 用适当的数填入表中空白 内 高三数学总复习讲义高三数学总复习讲义 等差数列等差数列 知识清单知识清单 1 等差数列定义 一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差等2 于同一个常数 那么这个数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字 母表示 用递推公式表示为或 d 1 2 nn aad n 1 1 nn aad n 2 等差数列的通项公式 1 1 n aand 说明 等差数列 通常可称为数列 的单调性 为递增数列 为常A Pd0 0d 数列 为递减数列 0d 3 等差中项的概念 定义 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 其中 aAbAab 2 ab A 成等差数列 aAb 2 ab A 4 等差数列的前和的求和公式 n 1 1 1 22 n n n aan n Snad 5 等差数列的性质 1 在等差数列中 从第 2 项起 每一项是它相邻二项的等差中项 n a 2 在等差数列中 相隔等距离的项组成的数列是 n aAP 精品文档 4欢迎下载 如 1 a 3 a 5 a 7 a 3 a 8 a 13 a 18 a 3 在等差数列中 对任意 n amnN nm aanm d nm aa d nm mn 4 在等差数列中 若 且 则 n amnpqN mnpq mnpq aaaa 说明 设数列是等差数列 且公差为 n ad 若项数为偶数 设共有项 则 奇偶 2nS Snd 1 n n Sa Sa 奇 偶 若项数为奇数 设共有项 则 偶奇 21n S S n aa 中 1 Sn Sn 奇 偶 6 数列最值 1 时 有最大值 时 有最小值 1 0a 0d n S 1 0a 0d n S 2 最值的求法 若已知 可用二次函数最值的求法 若已知 n S n SnN 则最值时的值 可如下确定或 n a n SnnN 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n a a 课前预习课前预习 1 01 天津理 2 设Sn是数列 an 的前n项和 且Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 而且也是等比数列D 既非等比数列又非等差数列 2 06 全国 I 设是公差为正数的等差数列 若 则 n a 123 15aaa 123 80a a a 111213 aaa A B C D 1201059075 3 02 京 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这个数列有 A 13 项B 12 项C 11 项D 10 项 4 01 全国理 设数列 an 是递增等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则它的 首项是 A 1 B 2 C 4 D 6 精品文档 5欢迎下载 5 06 全国 II 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 3 6 S S 1 3 6 12 S S A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 6 全国 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S7 7 S15 75 Tn为 数列 的前n项和 求Tn n Sn 7 全国 已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b10 100 求数列 bn 的通项bn 设数列 an 的通项an lg 1 记Sn是数列 an 的前n项和 试比较Sn与 n b 1 lgbn 1的大小 并证明你的结论 2 1 8 02 上海 设 an n N N 是等差数列 Sn是其前n项的和 且S5 S6 S6 S7 S8 则下列结论错误的是 A d 0 B a7 0 C S9 S5D S6与S7均为Sn的最大值 9 全国 等差数列 an 的前m项和为 30 前 2m项和为 100 则它的前 3m项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 精品文档 6欢迎下载 高三数学总复习讲义高三数学总复习讲义 等比数列等比数列 知识清单 1 等比数列定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这 个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母表示 即 q 0 q 数列对于数列 1 2 3 都是等比数列 它们的公比依次是 1n a 0 n aq q 2 5 注意 从第二项起 常数 等比数列的公比和项都不为零 2 1 q 2 等比数列通项公式为 0 1 1 1 qaqaa n n 说明 1 由等比数列的通项公式可以知道 当公比时该数列既是等比数列也是等差1d 数列 2 等比数列的通项公式知 若为等比数列 则 n a m n m n a q a 3 等比中项 如果在中间插入一个数 使成等比数列 那么叫做的等比中项 两个ba与GbGa Gba与 符号相同的非零实数 都有两个等比中项 4 等比数列前 n 项和公式 一般地 设等比数列的前 n 项和是 当时 123 n a a aa n S 123n aaaa 1 q 或 当 q 1 时 错位相减法 q qa S n n 1 1 11 1 n n aa q S q 1 naSn 说明 1 和各已知三个可求第四个 2 注意求和公式中是 n Snqa 1nn Sqaa 1 n q 通项公式中是不要混淆 3 应用求和公式时 必要时应讨论的情况 1 n q1 q1 q 5 等比数列的性质 等比数列任意两项间的关系 如果是等比数列的第项 是等差数列的第项 且 n an m am 公比为 则有 nm q mn mn qaa 对于等比数列 若 则 也就是 n avumn vumn aaaa 精品文档 7欢迎下载 如图所示 23121nnn aaaaaa n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 12321 若数列是等比数列 是其前 n 项的和 那么 成等比数 n a n S Nk k S kk SS 2kk SS 23 列 如下图所示 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 课前预习课前预习 1 在等比数列中 则 n a 3 7 12 2aq 19 a 2 和的等比中项为 23 23 1A 1B 1C 2D 3 在等比数列中 求 n a2 2 a54 5 a 8 a 4 在等比数列中 和是方程的两个根 则 n a 1 a 10 a 2 2510 xx 47 aa 5 2 A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 5 在等比数列 已知 求 n a5 1 a100 109 aa 18 a 6 2006 年辽宁卷 在等比数列中 前项和为 若数列也是等比数列 n a 1 2a n n S 1 n a 则等于 n S A B C D 1 22 n 3n2n31 n 7 2006 年北京卷 设 则等于 4710310 22222 n f nnN f n A B C D 2 81 7 n 1 2 81 7 n 3 2 81 7 n 4 2 81 7 n 8 1996 全国文 21 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S3 S6 2S9 求数列的公比 q 9 2005 江苏 3 在各项都为正数的等比数列 an 中 首项a1 3 前三项和为 21 则 a3 a4 a5 A 33 B 72 C 84 D 189 精品文档 8欢迎下载 10 2000 上海 12 在等差数列 an 中 若a10 0 则有等式 a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N N 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 bn 中 若b9 1 则有等式 成立 高三数学总复习讲义高三数学总复习讲义 数列通项与求和数列通项与求和 知识清单知识清单 1 数列求通项与和 1 数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式 an 1 1 s ss nn 1 2 n n 2 求通项常用方法 作新数列法 作等差数列与等比数列 累差叠加法 最基本的形式是 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 归纳 猜想法 3 数列前 n 项和 重要公式 1 2 n n n 1 2 1 12 22 n2 n n 1 2n 1 6 1 13 23 n3 1 2 n 2 n2 n 1 2 4 1 等差数列中 Sm n Sm Sn mnd 等比数列中 Sm n Sn qnSm Sm qmSn 裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和 即 an f n 1 f n 然后累加抵消掉中间的许多项 这种先裂后消的求和法叫裂项求和法 用裂项法求和 需要掌握一些常见的裂项 如 n n n 1 11 1 1 CAnBAnBCCAnBAn an 1 1 nnn 1 1 1 n n Cn 1r 1 Cnr Cn 1r 等 1 n n 1 n 1 1 n 错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和 常用错项相消法 其中是等差数列 是等比数列 记 nnn cba n b n c nnnnn cbcbcbcbS 112211 精品文档 9欢迎下载 则 1 211nnnnn qSbcbcb c 并项求和 把数列的某些项放在一起先求和 然后再求 Sn 数列求通项及和的方法多种多样 要视具体情形选用合适方法 通项分解法 nnn cba 2 递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系 an k f an k 1 an k 2 an 称为数列的递归关系 由递归 关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列 如由 an 1 2an 1 及 a1 1 确定的数 列即为递归数列 12 n 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种 1 归纳 猜想 数学归纳法证明 2 迭代法 3 代换法 包括代数代换 对数代数 三角代数 4 作新数列法 最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题 课前预习课前预习 1 已知数列为等差数列 且公差不为 0 首项也不为 0 求和 n a n i iia a 1 1 1 2 求 321 1 4321 1 321 1 21 1 1 Nn n 3 设 a 为常数 求数列 a 2a2 3a3 nan 的前 n 项和 4 已知 数列是首项为 a 公比也为 a 的等比数列 令 1 0 aa n a lgNnaab nnn 求数列的前项和 n bn n S 5 求 6 设数列是公差为 且首项为的等差数列 n adda 0 求和 n nnnnn CaCaCaS 1 1 0 01 7 求数列 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 前 n 项和 典型例题典型例题 一 有关通项问题一 有关通项问题 精品文档 10欢迎下载 1 1 利用 利用求通项求通项 1 1 1 2 n nn Sn a SSn EGEG 数列的前项和 1 试写出数列的前 5 项 2 数列是等差数列吗 3 n an 2 1 n Sn n a 你能写出数列的通项公式吗 n a 变式题变式题 1 1 20052005 湖北卷 湖北卷 设数列的前 n 项和为 Sn 2n2 求数列的通项公式 n a n a 变式题变式题 2 2 20052005 北京卷 北京卷 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 n 1 2 3 求 1 1 3 nn aS a2 a3 a4的值及数列 an 的通项公式 变式题变式题 3 3 20052005 山东卷 山东卷 已知数列的首项前项和为 且 证 n a 1 5 a n n S 1 5 nn SSnnN 明数列是等比数列 1 n a 2 2 解方程求通项 解方程求通项 EGEG 在等差 在等差数列中 1 已知 2 已知 n a 8121 48 168 SSad 求和 6588 10 5 aSaS 求和 3 已知 31517 40 aaS 求 变式题变式题 1 1 是首项 公差的等差数列 如果 则序号等于 n a 1 1a 3d 2005 n a n A 667 B 668 C 669 D 670 3 3 待定系数求通项 待定系数求通项 EGEG 写出下列数列的前 5 项 1 n a 11 1 41 1 2 nn aaan 变式题变式题 1 1 20062006 年福建卷 年福建卷 已知数列满足求数列的通项公式 n a 11 1 21 nn aaanN n a 4 4 由前几项猜想通项 由前几项猜想通项 EGEG 根据下面的图形及相应的点数 在空格及括号中分别填上适当的图形和数 写出点数的通项公式 变式题变式题 1 1 20072007 年深圳理科一模 年深圳理科一模 如下图 第 1 个多边形是由正三角形 扩展 而来 第 2 个 多边形是由正方形 扩展 而来 如此类推 设由正边形 扩展 而来的多边形的边数为 n n a 1 4 7 精品文档 11欢迎下载 则 6 a 34599 1111 aaaa 变式题变式题 2 2 观察下列各图 并阅读下面的文字 像这样 10 条直线相交 交点的个数最多是 其 通项公式为 A A 4040 个个 B B 4545 个个 C C 5050 个个 D D 5555 个个 二 有关等差 等比数列性质问题二 有关等差 等比数列性质问题 EGEG 一个等比数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn A 83 B 108 C 75 D 63 变式变式 1 1 一个等差数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn 变式变式 2 2 江苏版第 江苏版第 7676 页习题页习题 1 1 等比数列的各项为正数 且 n a 56473132310 18 loglogloga aa aaaa 则 A A 1212 B B 1010 C C 8 8 D D 2 2 3 log 5 EGEG 设数列 设数列是单调递增的等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则它的首项是 n a A 1 B 2 C 4 D 8 变式题变式题 1 1 在各项都为正数的等比数列中 首项 前三项和为 21 则 n a 1 3a 345 aaa A 33 B 72 C 84 D 189 三 数列求和问题三 数列求和问题 2 条直线相交 最多有 1 个 交点 3 条直线相交 最多有 3 个 交点 4 条直线相交 最多有 6 个 交点 精品文档 12欢迎下载 EGEG 已知 已知是等差数列 其中 公差 1 求数列的通项公式 并作出它的图像 n a 1 31a 8d n a 2 数列从哪一项开始小于 0 3 求数列前项和的最大值 并求出对应的值 n a n ann 变式题变式题 1 1 已知 已知是各项不为零的等差数列 其中 公差 若 求数列前项 n a 1 0a 0d 10 0S n an 和的最大值 变式题变式题 2 2 在等差数列中 求的最大值 n a 1 25a 179 SS n S EGEG 求和 求和 21 123 n n Sxxnx 变式题变式题 1 1 已知数列和 设 求数列的前项和 42 n an 1 2 4 n n b n n n b a c n cn n T 变式题变式题 2 2 20072007 全国全国 1 1 文文 2121 设是等差数列 是各项都为正数的等比数列 且 n a n b 11 1ab 求 的通项公式 求数列的前n项和 35 21ab 53 13ab n a n b n n a b n S 变式题变式题 2 2 设等比数列的公比为 q 前 n 项和为 Sn 若 Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 则 q n a 的值为 3 3 利用等比数列的前 利用等比数列的前项和公式证明项和公式证明n EG 11 1221 0 0 nn nnnnn ab aabababbnNab ab 变式题变式题 0505 天津 天津 已知 当时 0 0 1221 baNnbabbabaau nnnnn n ba 求数列的前 n 项和 n u n S EGEG 1 已知数列的通项公式为 求前项的和 2 已知数列的通项公式为 n a 1 1 n a n n n n a 求前项的和 1 1 n a nn n 变式题变式题 1 1 已知数列的通项公式为 设 求 n a n a 1 2 n 13242 111 n nn T a aaaaa n T 变式题变式题 2 2 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足 an 2 2an 1 an 0 n N 求数列 an 的通项公式 设 是否存在最大的整数m 使得任意的n均有 nn n n bbbSNn an b 21 12 1 精品文档 13欢迎下载 总成立 若存在 求出m 若不存在 请说明理由 32 m Sn 实战训练实战训练 A A 1 07 重庆文 在等比数列 an 中 a2 8 a1 64 则公比 q 为 A 2 B 3 C 4 D 8 2 07 重庆理 若等差数列 的前三项和且 则等于 n a9 3 S1 1 a 2 a A 3 B 4 C 5 D 6 3 设 为公比 q 1 的等比数列 若和是方程的两根 则 n a 2004 a 2005 a0384 2 xx 20072006 aa 4 07 天津理 设等差数列的公差不为 0 若是与的等比中项 则 n ad 1 9ad k a 1 a 2k a 2 4 6 8k 5 设等差数列的公差是 2 前项的和为 则 n adn n S 22 lim n n n an S 6 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前n项和Sn 100 则n A 9 B 10 C 11 D 12 5 等差数列 an 的前n项和为Sn 若 246 2 10 SSS 则等于 A 12 B 18 C 24 D 42 6 全国 2 文 已知数列的通项 则其前项和 52 n an n n S 7 07 全国 1 理 等比数列的前项和为 已知 成等差数列 则 n an n S 1 S 2 2S 3 3S 的公比为 n a 8 已知是等差数列 其前 10 项和 则其公差 n a 10 10a 10 70S d 2 3 1 3 1 3 2 3 9 已知成等比数列 且曲线的顶点是 则等于 abcd 2 23yxx bc ad 3 2 1 2 10 已知是等差数列 其前 5 项和 则其公差 n a 46 6aa 5 10S d 11 07 辽宁理 设等差数列