2012届高考数学一轮复习 4.2 函数与方程教案 新课标

1 2 2 函数与方程 函数与方程 2 2 知识归纳知识归纳 1 函数零点的定义 方程有实根函数图象与轴有交点函数有零点 0f x yf x x yf x 2 函数变号零点与不变号零点 二重零点 性质 1 定理 如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线 并且有 yf x a b 那么函数在区间内有零点 即存在 使得 0f af b yf x a b ca b 这个也就是方程的实数根 0f c c 0f x 2 变号了一定有零点 能证明 f x 单调则有且只有一个零点 不变号不一定无零点 如 二重零点 在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号 3 怎样求零点 即为求解方程的根 解一 利用计算器或计算机作的对应值表 若在区间上连续 并且有 x f x a b 那么函数在区间内至少有一个实数根 若能证明 0f af b yf x a b 在单调性 则在有且只有一个零点 再在其它区间内同理去寻找 yf x a b a b 解二 试探着找到两个 x 对应值为一正一负 至少有一个 再证单调增函数即可得有且只 有一个 解三 构造两个易画函数 画图 看图象交点个数 很实用 4 用二分法求函数零点近似值的步骤 f x 在给定精确度 用二分法求函数零点的近似值的步骤是 f x 1 确定区间 验证 给定精确度 a b 0f af b 2 求区间的中点 a b 2 ba c 3 计算 cf 若 0 则 c 就是函数的零点 计算终止 cf 若 则令 b c 此时零点 0 cfaf cax 0 若则令 a c 此时零点 用列表更清楚 0 bfcf bcx 0 4 判断是否达到精确度 即若 则得到零点近似值 否则重复 2 ab ab或 4 2 说明 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合 对函数的不变号零点 不使用 用二分法求函数的零点近似值必须用上节的三种方法之一先求出零点所在的区间 典型例题典型例题 一 确定零点的个数 例 1 1 二次函数中 则函数的零点个数是 2 0 yaxbxc a 0a c A 1 个 B 2 个 C 0 个 D 无法确定 分析 分析条件 是二次项系数 确定抛物线的开口方向 所以0a c a 0 cf 由此得解 0 0a ca f 解 因为 所以 即与异号 即或 0 cf 0 0a ca f a 0 f 0 0 0 a f 0 0 0 a f 所以函数必有两个零点 故选 B 2 函数的零点个数为 44 23 xxxxf 解 可由试根法求得的一根为 从而可得 由函数的零0 xf1 x 2 2 1 xxxxf 点个数为 3 个 例 2 函数的零点所在的大致区间是 2 lnf xx x A 1 2 B 2 3 C 和 3 4 D 1 1 e e 分析 从已知的区间 求和 判断是否有 a b f a f b 0f af b 解 因为 故在 1 2 内没有零点 非 A 1 20 2 ln2 10ff 又 所以 所以在 2 3 内有一个零点 选 B 2 3 ln30 3 f 2 3 0ff f x 例 2 下列函数中 在区间 1 2 上有零点的是 1 xxf543 2 xxxf3xx2y 2 6x3xln x f 63 xexf x 解析 直接求出 x 1 符合 首先判断一元二次函数的零点个数 通过求所对应方程判别式的大小 0 0 且且 零点 3x21xy 2 3 1x或 即判断与与的交点情况 需要画图 并判断交点所在区间xlny 6x3y 同理 判断与的交点情况 x ey 6x3y 3 答案答案 例 4 试证明函数在上有且仅有一个零点 42 x f xex R 证明 且 0 20f 1 20fe 而函数在区间上是连续不断的 f x 0 1 在区间内有零点 f x 0 1 又 在上是一个单调递增函数 如果函数有不仅 40 x fxe f x R f x 一个的零点 可设为它的两个不等的零点 则有 这与在上是 12 x x 12 f xf x f xR 一个单调递增函数矛盾 函数在上有且仅有一个零点 f xR 二 求函数零点的近似值 例 5 求方程在区间内的实数解 精确到 0 01 01 3 xx 2 0 解 考察函数由于 函数在内 3 1f xxx 0 2 0 fof 3 1f xxx 2 0 存在零点 即方程在区间内有解 取 0 2 的中点 1 方程在01 3 xx 2 0 0 1 f 1 2 内有解 又所以在区间存在零点 方程在 1 1 5 1 0 1 5 0ff f x 1 1 5 内有解 如此下去 取区间作为计算器的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 1 1 5 区间中点坐标中点函数值取区间 nn ab 1 1 5 0 5 1 25 1 25 0f 1 25 1 5 0 25 1 375 1 375 0f 1 25 1 375 0 125 1 3125 1 3125 0f 1 3125 1 375 0 0625 1 34375 1 34375 0f 1 3125 1 34375 0 03125 1 328125 1 328125 0f 1 3125 1 328125 0 015625 1 3203125 1 3203125 0f 1 3203125 1 328125 0 0078125 至此可以看出 函数的零点落在区间长度小 1 328125 1 3203125 0 0078125 0 01 4 于 0 01 的区间内 因为该区间的所有值精确到 0 01 的都是 1 32 1 3203125 1 328125 所以 1 32 是函数精确到 0 01 的一个近似零点 3 1f xxx 例 6 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点 反比例函数的图 1 yf x 1 1 2 yfx 象与直线的两个交点间距离为 8 yx 12 f xf xfx 1 求函数的表达式 f x 2 证明 当时 关于的方程有三个实数解 3a x f xf a 解 1 2 8 f xx x 2 由得 即 在同一坐标系作出 f xf a 22 88 xa xa 22 88 xa xa 和的大致图象 其中的图象是以坐标轴为渐近线 且 2 8 fx x 22 3 8 fxxa a 2 fx 位于第一 三象限的双曲线 的图象是以为顶点 开口向下的抛物线 因 3 fx 2 8 0 a a 此 与的图象在第三象限有一个交点 即有一个负数解 2 fx 3 fx f xf a 又 当时 2 23 8 2 4 2 4ffa a 3a 2 32 8 2 2 80ffa a 当时 在第一象限的图象上存在一点在图象的上方 3a 3 fx 3 2 2 f 2 fx 与的图象在第一象限有两个交点 即有两个正数解 因此 方程 2 fx 3 fx f xf a 有三个实数解 f xf a 方法二 由得 因式分解为 即 f xf a 22 88 xa xa 8 0 xa xa ax 或 又不是的根 故可化为 xa 8 0 xa ax 0 x 22 88 xa xa 8 0 xa ax 只须证明和不是的根 且具 22 80 xa x xa 0 x 22 80 xa x 22 80 xa x 有两个不等的实根 作业作业 1 已知关于已知关于的方程的方程 2 2 0 0 有实数解 求实有实数解 求实xxaxcossin 2 a 数数的取值范围 的取值范围 a 答案 0 4 a32 5 2 已知二次函数 2 f xaxbxc 1 若 且 试证明必有两个零点 abc 1 0f f x 2 若对于且 方程有两个不 12 x xR 12 xx 12 f xf x 12 1 2 f xf xf x 等的实根 证明必有一实根属于 12 x x 证明 1 1 0 0fabc 又 即 0 0abcac 0ac 又 方程有两个不等实根 所以函数 2 440bacac 2 0axbxc 有两个实根 f x 2 令 12 1 2 g xf xf xf x 则 12 1112 1 22 f xf x g xf xf xf x 21 2212 1 22 f xf x g xf xf xf x 1221 12 2 12 22 1 4 f xf xf xf x g xg x f xf x AA 1212 0f xf xg xg x A 在内必有一实根 即在内必有一实 0g x 12 x x 12 1 2 f xf xf x 12 x x 根 3 已知关于x的二次函数 2 21 12f xxtxt 1 求证 对于任意 方程必有实数根 tR 1f x 2 若 求证 方程在区间上各有一个实数根 13 24 t 0f x 1 1 0 0 2 及 1 由知必有实数根 1 1f 1f x 或由得必有实数根 22 21 8 21 0tttD 1f x 2 当时 因为 13 24 t 1 0 122 0 2 ftt 6 所以方程在区间上各有一个实数根 0f x 1 0 1 及 0 2 4 已知已知 t t 8 8 对于 对于 f t f t 值域内的所有实数值域内的所有实数 m m 不等式 不等式 t tf 2 log 2 恒成立 求恒成立 求 x x 的取值范围 的取值范围 xmmxx424 2 解析 t 8 f t 3 2 2 1 原题转化为 0 恒成立 为 m 的一次函数 这里思维的转化很重要