2014-2017高考真题-第十三章-计数原理

第十三章第十三章 计数原理计数原理 考点考点 1 排列与组合排列与组合 1 2017 新课标 6 安排 3 名志愿者完成 4 项工作 每人至少完成 1 项 每项工作由 1 人完成 则不同的安排方式共有 A 12 种 B 18 种 C 24 种 D 36 种 1 D 4 项工作分成 3 组 可得 6 安排 3 名志愿者完成 4 项工作 每人至少完成 1 项 每项工作由 1 人完成 可得 6 36 种 故选 D 2 2016 全国 5 如图 小明从街道的 E 处出发 先到 F 处与小红会合 再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A 24 B 18 C 12 D 9 2 B 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种 从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种 所以从 E 点到 G 点的最短路径为 6 3 18 种 故选 B 3 2016 全国 12 定义 规范 01 数列 an 如下 an 共有 2m 项 其中 m 项为 0 m 项为 1 且对任意 k 2m a1 a2 ak中 0 的个数不少于 1 的个数 若 m 4 则不同的 规范 01 数列 共有 A 18 个 B 16 个 C 14 个 D 12 个 3 C 第一位为 0 最后一位为 1 中间 3 个 0 3 个 1 三个 1 在一起时为 只有 2 个 1 相邻时 共 A 种 其中 不符合题意 三个 1 都不在一起时有 C 种 共 2 43 4 2 8 4 14 4 2016 四川 4 用数字 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 A 24 B 48 C 60 D 72 4 D 由题可知 五位数要为奇数 则个位数只能是 1 3 5 分为两步 先从 1 3 5 三个数中选一个作为个位数有 C 再将剩下的 4 个数字排列得到 A 则满足条件的五位 1 34 4 数有 C A 72 选 D 1 34 4 5 2016 北京 8 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空盒 每 次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个球放 入乙盒 否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放入盒中 则 A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 5 B 取两个球往盒子中放有 4 种情况 红 红 则乙盒中红球数加 1 个 黑 黑 则丙盒中黑球数加 1 个 红 黑 红球放入甲盒中 则乙盒中黑球数加 1 个 黑 红 黑球放入甲盒中 则丙盒中红球数加 1 个 因为红球和黑球个数一样 所以 和 的情况一样多 和 的情况随机 和 对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中 的黑球数没有任何影响 和 出现的次数是一样的 所以对 B 选项中的乙盒中的红球与 丙盒中的黑球数的影响次数一样 综上选 B 6 2015 四川 6 用数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中比 40 000 大的偶数共 有 A 144 个 B 120 个 C 96 个 D 72 个 6 B 由题意 首位数字只能是 4 5 若万位是 5 则有 3 A 72 个 若万位是 4 则有 2 A 3 4 个 48 个 故 40 000 大的偶数共有 72 48 120 个 选 B 3 4 7 2014 大纲全国 5 有 6 名男医生 5 名女医生 从中选出 2 名男医生 1 名女医生组成 一个医疗小组 则不同的选法共有 A 60 种 B 70 种 C 75 种 D 150 种 7 C 从中选出 2 名男医生的选法有 C 15 种 从中选出 1 名女医生的选法有 C 5 种 2 61 5 所以不同的选法共有 15 5 75 种 故选 C 8 2014 辽宁 6 6 把椅子摆成一排 3 人随机就座 任何两人不相邻的坐法种数为 A 144 B 120 C 72 D 24 8 D 3 人中每两人之间恰有一个空座位 有 A 2 12 种坐法 3 人中某两人之间有两个 3 3 空座位 有 A A 12 种坐法 所以共有 12 12 24 种坐法 3 32 2 9 2014 四川 6 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不 同的排法共有 A 192 种 B 216 种 C 240 种 D 288 种 9 B 当最左端排甲时 不同的排法共有 A 种 当最左端排乙时 甲只能排在中间四个位 5 5 置之一 则不同的排法共有 C A 种 故不同的排法共有 A C A 9 24 216 种 1 44 45 51 4 4 4 10 2014 重庆 9 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的 演出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 A 72 B 120 C 144 D 168 10 B 依题意 先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A A 144 其中 3 个歌 3 3 3 4 舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种数为 A A A 24 因此满足题意的排 2 2 2 2 3 3 法种数为 144 24 120 选 B 11 2014 安徽 8 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为 60 的共 有 A 24 对 B 30 对 C 48 对 D 60 对 11 C 法一 直接法 如图 在上底面中选 B1D1 四个侧面中的面对角线都与它成 60 共 8 对 同样 A1C1对应的也有 8 对 下底面也有 16 对 这共有 32 对 左右侧面与前后侧 面中共有 16 对 所以全部共有 48 对 法二 间接法 正方体的 12 条面对角线中 任意两条垂直 平行或成角为 60 所以成角 为 60 的共有 C 12 6 48 对 2 12 12 2014 福建 10 用 a 代表红球 b 代表蓝球 c 代表黑球 由加法原理及乘法原理 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 1 a 1 b 的展开式 1 a b ab 表示 出来 如 1 表示一个球都不取 a 表示取出一个红球 而 ab 则表示把红球和蓝球都取 出来 依此类推 下列各式中 其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球 5 个无区别的蓝 球 5 个有区别的黑球中取出若干个球 且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 A 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5 B 1 a5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c 5 C 1 a 5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c5 D 1 a5 1 b 5 1 c c2 c3 c4 c5 12 A 分三步 第一步 5 个无区别的红球可能取出 0 个 1 个 5 个 则有 1 a a2 a3 a4 a5 种不同的取法 第二步 5 个无区别的蓝球都取出或都不取出 则 有 1 b5 种不同取法 第三步 5 个有区别的黑球看作 5 个不同色 从 5 个不同色的黑球 中任取 0 个 1 个 5 个 有 1 c 5种不同的取法 所以所求的取法种数为 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5 故选 A 13 2014 广东 8 设集合 A x1 x2 x3 x4 x5 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 那么集合 A 中满足条件 1 x1 x2 x3 x4 x5 3 的元素个数为 A 60 B 90 C 120 D 130 13 D 易知 x1 x2 x3 x4 x5 1 或 2 或 3 下面分三种情况讨论 其一 x1 x2 x3 x4 x5 1 此时 从 x1 x2 x3 x4 x5中任取一个让其等于 1 或 1 其 余等于 0 于是有 C C 10 种情况 其二 x1 x2 x3 x4 x5 2 此时 从 1 5 1 2 x1 x2 x3 x4 x5中任取两个让其都等于 1 或都等于 1 或一个等于 1 另一个等于 1 其余等于 0 于是有 2C C C 40 种情况 其三 x1 x2 x3 x4 x5 3 此时 2 52 5 1 2 从 x1 x2 x3 x4 x5中任取三个让其都等于 1 或都等于 1 或两个等于 1 另一个等于 1 或两个等于 1 另一个等于 1 其余等于 0 于是有 2C C C C C 80 种情况 由于 3 53 5 1 33 5 2 3 10 40 80 130 故答案为 D 14 2017 天津 14 用数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 组成没有重复数字 且至多有一 个数字是偶数的四位数 这样的四位数一共有 个 用数字作答 14 1 080 根据题意 分 2 种情况讨论 四位数中没有一个偶数数字 即在 1 3 5 7 9 种任选 4 个 组成一共四位数即可 有 A54 120 种情况 即有 120 个没有一个偶数数字四位数 四位数中只有一个偶数数字 在 1 3 5 7 9 种选出 3 个 在 2 4 6 8 中选出 1 个 有 C53 C41 40 种取法 将取出的 4 个数字全排列 有 A44 24 种顺序 则有 40 24 960 个只有一个偶数数字的四位数 则至多有一个数字是偶数的四位数有 120 960 1080 个 故答案为 1080 15 2017 浙江 16 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人 副队长 1 人 普通队员 2 人 组成 4 人服务队 要求服务队中至少有 1 名女生 共有 种不同的选法 用数字作 答 15 660 第一类 先选 1 女 3 男 有 C63C21 40 种 这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42 12 种 故有 40 12 480 种 第二类 先选 2 女 2 男 有 C62C22 15 种 这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42 12 种 故 有 15 12 180 种 根据分类计数原理共有 480 180 660 种 故答案为 660 16 2015 广东 12 某高三毕业班有 40 人 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 那么全班共写了 条毕业留言 用数字作答 16 1 560 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数 所以 全班共写了 A 40 39 1 560 条毕业留言 2 40 17 2014 北京 13 把 5 件不同产品摆成一排 若产品 A 与产品 B 相邻 且产品 A 与产品 C 不相邻 则不同的摆法有 种 17 36 将 A B 捆绑在一起 有 A 种摆法 再将它们与其他 3 件产品全排列 有 A 种 2 24 4 摆法 共有 A A 48 种摆法 而 A B C 3 件在一起 且 A B 相邻 A C 相邻有 2 2 4 4 CAB BAC 两种情况 将这 3 件与剩下 2 件全排列 有 2 A 12 种摆法 故 A B 相邻 3 3 A C 不相邻的摆法有 48 12 36 种 18 2014 浙江 14 在 8 张奖券中有一 二 三等奖各 1 张 其余 5 张无奖 将这 8 张奖券分 配给 4 个人 每人 2 张 不同的获奖情况有 种 用数字作答 18 60 分情况 一种情况将有奖的奖券按 2 张 1 张分给 4 个人中的 2 个人 种数为 C C 2 3 A 36 另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人 种数为 A 24 则获奖情况 1 1 2 43 4 总共有 36 24 60 种 考点考点 2 二项式定理及其应用二项式定理及其应用 1 2017 新课标 6 1 1 x 6展开式中 x2的系数为 A 15 B 20 C 30 D 35 1 C 2x y 5的展开式的通项公式 Tr 1 2x 5 r y r 25 r 1 r x5 ryr 令 5 r 2 r 3 解得 r 3 令 5 r 3 r 2 解得 r 2 x y 2x y 5的展开式中的 x3y3系数 23 40 故选 C 2 2017 新课标 4 x y 2x y 5的展开式中的 x3y3系数为 A 80 B 40 C 40 D 80 2 C 1 1 x 6展开式中 若 1 1 x 2 提供常数项 1 则 1 x 6提 供含有 x2的项 可得展开式中 x2的系数 若 1 提供 x 2项 则 1 x 6提供含有 x4的项 可得展开式中 x2的系数 由 1 x 6通项公式可得 可知 r 2 时 可得展 开式中 x2的系数为 可知 r 4 时 可得展开式中 x2的系数为 1 1 x 6展开式中 x2的系数为 15 15 30 故选 C 3 2016 四川 2 设 i 为虚数单位 则 x i 6的展开式中含 x4的项为 A 15x4 B 15x4 C 20ix4 D 20ix4 3 A 由题可知 含 x4的项为 C x4i2 15x4 选 A 2 6 4 2015 新课标全国 10 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 A 10 B 20 C 30 D 60 4 C Tk 1 C x2 x 5 kyk k 2 C x2 x 3y2的第 r 1 项为 C C x2 3 r xry2 k52 52 5r3 2 3 r r 5 解得 r 1 x5y2的系数为 C C 30 2 5 1 3 5 2015 湖南 6 已知 5的展开式中含 的项的系数为 30 则 a x a x 3 2 x A B C 6 D 6 33 5 D 的展开式通项 Tr 1 C x 1 rar x 1 rarC x r x a x 5 r5 5 r 2 r 2r5 5 2 令 r 则 r 1 T2 aC x aC 30 a 6 故选 D 5 2 3 21 5 3 2 1 5 6 2015 陕西 4 二项式 x 1 n n N 的展开式中 x2的系数为 15 则 n A 4 B 5 C 6 D 7 6 C 由题意易得 C 15 C C 15 即 15 解得 n 6 n 2nn 2n2n n n 1 2 7 2014 湖北 2 若二项式 7的展开式中 的系数是 84 则实数 a 2x a x 1 x3 A 2 B C 1 D 5 4 2 4 7 C Tr 1 C 2x 7 r 27 rC ar 令 2r 7 3 则 r 5 由 22 C a5 84 r7 a x r r7 1 x2r 7 5 7 得 a 1 故选 C 8 2014 浙江 5 在 1 x 6 1 y 4的展开式中 记 xmyn项的系数 f m n 则 f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 A 45 B 60 C 120 D 210 8 C 在 1 x 6的展开式中 xm的系数为 C 在 1 y 4的展开式中 yn的系数为 C 故 m6n4 f m n C C 从而 f 3 0 C 20 f 2 1 C C 60 f 1 2 m6n43 62 61 4 C C 36 f 0 3 C 4 故选 C 1 62 43 4 9 2014 四川 2 在 x 1 x 6的展开式中 含 x3项的系数为 A 30 B 20 C 15 D 10 9 C 只需求 1 x 6的展开式中含 x2项的系数即可 而含 x2项的系数为 C 15 故选 C 2 6 10 2014 湖南 4 5的展开式中 x2y3的系数是 1 2x 2y A 20 B 5 C 5 D 20 10 A 展开式的通项为 Tk 1 C x 5 k 2y k 1 k 22k 5C x5 k yk 令 5 k 2 k5 1 2k5 得 k 3 则展开式中 x2y3的系数为 1 3 22 3 5C 20 故选 A 3 5 11 2017 浙江 13 已知多项式 x 1 3 x 2 2 x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5 则 a4 a5 11 16 4 多项式 x 1 3 x 2 2 x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5 x 1 3中 x 的 系数是 3 常数是 1 x 2 2中 x 的系数是 4 常数是 4 a4 3 4 1 4 16 a5 1 4 4 故答案为 16 4 12 2017 山东 11 已知 1 3x n的展开式中含有 x2的系数是 54 则 n 12 4 1 3x n的展开式中通项公式 Tr 1 3x r 3r xr 含有 x2的系数 是 54 r 2 54 可得 6 6 n N 解得 n 4 故答案为 4 13 2016 全国 14 2x 5的展开式中 x3的系数是 用数字填写答案 x 13 10 2x 5展开式的通项公式 Tk 1 C 2x 5 k k C 25 kx5 k 0 1 2 3 4 5 xk 5xk 5 k 2 令 5 3 解得 k 4 得 T5 C 25 4x5 10 x3 x3的系数是 10 k 24 5 4 2 14 2016 北京 10 在 1 2x 6的展开式中 x2的系数为 14 60 展开式的通项 Tr 1 C 16 r 2x r C 2x r 令 r 2 得 T3 C 4x2 60 x2 即 r 6r 62 6 x2的系数为 60 15 2015 北京 9 在 2 x 5的展开式中 x3的系数为 用数字作答 15 40 展开式通项为 Tr 1 C 25 rxr 当 r 3 时 系数为 C 25 3 40 r53 5 16 2015 天津 12 在 6的展开式中 x2的系数为 x 1 4x 16 的展开式的通项 Tr 1 C x6 r Cx6 2r 15 16 x 1 4x 6 r6 1 4x r r6 1 4 r 当