2012高中数学单元训练48 抛物线

用心 爱心 专心1 课时训练课时训练 4848 抛物线抛物线 说明 本试卷满分 100 分 考试时间 90 分钟 一 选择题 每小题 6 分 共 42 分 1 2010 江苏南通九校模拟 2 抛物线 y ax2的准线方程是 y 1 则 a 的值为 A B C 4 D 4 4 1 4 1 答案 答案 B 解析 解析 y ax2x2 y 又准线方程为 y 1 故 1 a a 1 a4 1 4 1 2 2010 江苏苏州一模 5 抛物线 y x2的焦点坐标是 4 1 A 0 B 0 16 1 16 1 C 1 0 D 0 1 答案 答案 D 解析 解析 y x2x2 4y 其焦点为 0 1 4 1 3 2010 中科大附中模拟 7 已知抛物线的顶点为原点 焦点在 y 轴上 抛物线上点 m 2 到焦点的距离为 4 则 m 的值为 A 4 B 2 C 4 或 4 D 2 或 2 答案 答案 C 解析 解析 设抛物线方程为 x2 2py p 0 则 2 4 p 4 故抛物线方程为 x2 8y m2 2 p 8 2 m 4 4 2010 湖北黄冈一模 11 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点作直线交抛物线于 P x1 y1 Q x2 y2 两点 若 x1 x2 3p 则 PQ 等于 A 4p B 5p C 6p D 8p 答案 答案 A 解析 解析 PQ PF FQ x1 x2 x1 x2 p 又 x1 x2 3p 故 PQ 4p 2 p 2 p 5 2010 江苏南通九校模拟 9 已知点 P m 3 是抛物线 y x2 4x n 上距点 A 2 0 最 近一点 则 m n 等于 A 1 B 3 C 5 D 7 答案 答案 C 解析 解析 由已知得 P 为抛物线的顶点 2 3 故 3 2 2 4 2 n n 7 m n 2 7 5 6 2010 浙江联考 7 一动圆圆心在抛物线 x2 4y 上 过点 0 1 且恒与定直线 l 相切 则直线 l 的方程为 A x 1 B x C y 1 D y 16 1 16 1 答案 答案 C 解析 解析 根据抛物线定义 圆心到焦点 0 1 的距离与到准线的距离相等 故 l 为准线 y 1 用心 爱心 专心2 7 2010 北京东城区一模 8 已知点 P 是抛物线 y2 2x 上的动点 点 P 在 y 轴上的射影是 M 点 A 的坐标是 A 4 则 PA PM 的最小值是 2 7 A B 4 C D 5 2 11 2 9 答案 答案 C 解析 解析 PA PM PA PM PA PF AF 2 1 2 1 2 1 2 1 22 4 2 1 2 7 2 1 2 9 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 8 过点 0 2 与抛物线 y2 8x 只有一个公共点的直线有 条 答案 答案 3 解析 解析 两条切线和一条平行于对称轴的直线 应填 3 9 过抛物线 y2 4x 的焦点 F 作倾角为的弦 AB 则 AB 的长是 3 答案 答案 3 16 解析 解析 利用结论 AB 3 16 2 3 4 sin 2 2 2 p 10 2010 湖北十一校大联考 16 设 PQ 是抛物线 y2 2px p 0 上过焦点 F 的一条弦 l 是 抛物线的准线 给定下列命题 以 PF 为直径的圆与 y 轴相切 以 QF 为直径的圆与 y 轴相切 以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 以 PF 为直径的圆与 y 轴相离 以 QF 为直 径的圆与 y 轴相交 则其中所有正确命题的序号是 答案 答案 解析 解析 设 P x1 y1 PF 中点为 A A 到 y 轴的距离为 PF 故 2 2 21 1 y p x 2 1 2 2 1 p x 正确 同理 也正确 又 PQ x1 x2 p PQ 的中点 B 到准线的距离为 2 2 2121 yyxx 故 正确 错误 22 21 pxx 三 解答题 11 13 题每小题 10 分 14 题 13 分 共 43 分 11 已知抛物线 y2 2px p 0 过焦点 F 的弦的倾斜角为 0 且与抛物线相交于 A B 两点 1 求证 AB 2 sin 2p 2 求 AB 的最小值 1 证明 证明 如右图 焦点 F 的坐标为 F 0 2 p 用心 爱心 专心3 设过焦点 倾斜角为 的直线方程为 y tan x 与抛物线方程联立 消去 y 并 2 p 整理 得 tan2 x2 2p ptan2 x 0 4 tan 22 p 此方程的两根应为交点 A B 的横坐标 根据韦达定理 有 x1 x2 2 2 tan tan2pp 设 A B 到抛物线的准线 x 的距离分别为 AQ 和 BN 根据抛物线的定义 有 2 p AB AF FB AQ BN x1 x2 p 2 sin 2p 2 解析 解析 因 AB 的定义域是 0 0 的一条焦点弦 AB 被焦点 F 分成 m n 两部分 求证 为 nm 11 定值 本题若推广到椭圆 双曲线 你能得到什么结论 解析 解析 1 当 AB x 轴时 m n p nm 11 p 2 2 当 AB 不垂直于 x 轴时 设 AB y k x 2 p A x1 y1 B x2 y2 AF m BF n m x1 n x2 2 p 2 p 将 AB 方程代入抛物线方程 得 k2x2 k2p 2p x 0 4 22 pk 4 2 2 21 2 2 21 p xx k ppk xx 用心 爱心 专心4 nm 11 mn nm pp xx p xx pxx2 4 2 2 2121 21 本题若推广到椭圆 则有 e 是椭圆的离心率 若推广到双曲线 则要求弦 nm 11 ep 2 AB 与双曲线交于同一支 此时 同样有 e 为双曲线的离心率 nm 11 ep 2 13 如右图 M 是抛物线 y2 x 上的一点 动弦 ME MF 分别交 x 轴于 A B 两点 且 MA MB 1 若 M 为定点 证明 直线 EF 的斜率为定值 2 若 M 为动点 且 EMF 90 求 EMF 的重心 G 的轨迹方程 1 证明 证明 设 M y02 y0 直线 ME 的斜率为 k k 0 则直线 MF 的斜率为 k 直线 ME 的方程为 y y0 k x y02 由得 2 2 00 xy yxkyy ky2 y y0 1 ky0 0 解得 y0 yE k kyy 1 00 yE xE k ky01 2 2 0 1 k ky 同理可得 yF xF k ky01 2 2 0 1 k ky kEF 定值 0 2 1 yxx yy FE FE 2 解析 解析 当 EMF 90 时 MAB 45 所以 k 1 由 1 得 E 1 y0 2 1 y0 F 1 y0 2 1 y0 设重心 G x y 则有 用心 爱心 专心5 33 3 32 3 0 2 0 yyyy y yxxx x FEM FEM 消去参数 y0 得 y2 x 0 27 2 9 1 x 14 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 M 1 3 N 5 1 若点 C 满足 t 1 t t R R 点 C 的轨迹与抛物线 y2 4x 交于 A B 两点 OCOMON 1 求证 OAOB 2 在 x 轴上是否存在一点 P m 0 使得过点 P 任作抛物线的一条弦 并以该弦为直径的 圆都过原点 若存在 请求出 m 的值及圆心的轨迹方程 若不存在 请说明理由 1 证明 由 t 1 t t R R 知点 C 的轨迹是 M N 两点所在的直线 故点OCOMON C 的轨迹方程是 y 3 x 1 即 y x 4 4 3 1 由 x 4 2 4xx2 12x 16 0 4 4 2 xy xy x1x2 16 x1 x2 12 y1y2 x1 4 x2 4 x1x2 4 x1 x2 16 16 x1x2 y1y2 0 故 OAOB 2 解析 解析 存在点 P 4 0 使得过点 P 任作抛物线的一条弦 以该弦为直径的圆都过原 点 由题意知 弦所在的直线的斜率不为零 故设弦所在的直线方程为 x ky 4 代入 y2 x 得 y2 4ky 16 0 y1 y2 4k y1y2 16 kOA kOB 1 16 1616 44 21 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 yyy y y y x y x y OA OB 故以 AB 为直径的圆都过原点 设弦 AB 的中点为 M x y 则 x x1 x2 y y1 y2 2 1 2 1 x1 x2 ky1 4 ky2 4 k y1 y2 8 k 4k 8 4k2 8 弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 消去 k 得 y2 2x 8 2 42 2 ky kx 轻松阅读轻松阅读 圆锥曲线的由来圆锥曲线的由来 用心 爱心 专心6 圆锥曲线是圆 椭圆 抛物线与双曲线的总称 它们都可以通过不经过圆锥顶点的平面 截圆锥面得到 圆锥曲线也因此