2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷

第 1 页 共 34 页 2017 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 12 分 在每小题所给出的四个分 在每小题所给出的四个 选项中 恰有一项是符合题目要求的 请将正确选项前的字母代号填涂在答题选项中 恰有一项是符合题目要求的 请将正确选项前的字母代号填涂在答题 卡相应位置上 卡相应位置上 1 2 分 2 的相反数是 A 2B C 2D 2 2 分 氢原子的半径大约是 0 000 0077m 将数据 0 000 0077 用科学记数法 表示为 A 0 77 10 5B 0 77 10 6C 7 7 10 5D 7 7 10 6 3 2 分 介于 A 4 与 3 之间 B 3 与 2 之间 C 2 与 1 之间 D 1 与 0 之间 4 2 分 下列平面图形 既是中心对称图形 又是轴对称图形的是 A 等腰三角形 B 正五边形C 平行四边形 D 矩形 5 2 分 如图是一个几何体的三视图 这个几何体是 A 四棱柱 B 三棱柱 C 三棱锥 D 圆锥 6 2 分 如图 正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm P 是对角线 BE 上一动点 过点 P 作直线 l 与 BE 垂直 动点 P 从 B 点出发且以 1cm s 的速度匀速平移至 E 点 设直线 l 扫过正六边形 ABCDEF 区域的面积为 S cm2 点 P 的运动时间为 t s 下列能反映 S 与 t 之间函数关系的大致图象是 第 2 页 共 34 页 A B C D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 20 分 不需写出解答过程 分 不需写出解答过程 请把答案直接填写在答题卡相应位置上 请把答案直接填写在答题卡相应位置上 7 2 分 8 的算术平方根是 8 的立方根是 8 2 分 要使式子在实数范围内有意义 则 x 的取值范围是 9 2 分 计算 10 2 分 已知反比例函数 y 的图象经过点 A 2 3 则当 x 1 时 y 11 2 分 某班的中考英语口语考试成绩如表 考试成绩 分3029282726 学生数 人3151363 则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 分 12 2 分 若方程 x2 12x 5 0 的两根分别为 a b 则 a2b ab2的值为 13 2 分 若圆锥的高是 8cm 母线长是 10cm 则这个圆锥的侧面积是 cm2 结果保留 14 2 分 若一个正多边形的每一个外角都是 30 则这个正多边形的边数为 15 2 分 如图 在 O 的内接六边形 ABCDEF 中 A C 220 则 E 第 3 页 共 34 页 16 2 分 如图 在 ABC 中 A 45 B 60 AB 4 P 是 BC 边上的动点 不与 B C 重合 点 P 关于直线 AB AC 的对称点分别为 M N 则线段 MN 长的取值范围是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 11 小题 共小题 共 88 分 请在答题卡指定区域内作答 解答分 请在答题卡指定区域内作答 解答 时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 1 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来 2 解方程 1 18 6 分 先化简代数式 1 并从 1 0 1 3 中选取一个合适的 数代入求值 19 8 分 某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源 随机抽取部分学生了解情况 并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方 图 上网查找学习资源方式频数分布表 第 4 页 共 34 页 查找方式频数频率 搜索引擎1632 专题网站15a 在线网校48 试题题库1020 其他b10 1 频数分布表中 a b 的值 a b 2 补全频数分布直方图 3 若全校有 1000 名学生 估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生 有多少名 20 6 分 从 2 名男生和 3 名女生中随机抽取运动会志愿者 求下列事件的概 率 1 抽取 1 名 恰好是女生的概率为 2 抽取 2 名 恰好是 1 名男生和 1 名女生 21 8 分 如图 在四边形 ABCD 中 BE AC DF AC 垂足分别为 E F BE DF AE CF 1 求证 AFD CEB 2 若 CBE BAC 四边形 ABCD 是怎样的四边形 证明你的结论 第 5 页 共 34 页 22 6 分 某商场销售一批衬衫 平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为 了扩大销售 增加盈利 商场采取了降价措施 假设在一定范围内 衬衫的单 价每降 1 元 商场平均每天可多售出 2 件 如果降价后商场销售这批衬衫每天 盈利 1250 元 那么衬衫的单价降了多少元 23 8 分 如图 小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC 并 测得 B C 两点的俯角分别为 60 和 35 已知大桥 BC 的长度为 100m 且与地 面在同一水平面上 求热气球离地面的高度 结果保留整数 参考数据 sin35 cos35 tan35 1 7 24 8 分 已知二次函数 y x2 a 1 x a 2 其中 a 是常数 1 求证 不论 a 为何值 该二次函数的图象与 x 轴一定有公共点 2 当 a 4 时 该二次函数的图象顶点为 A 与 x 轴交于 B D 两点 与 y 轴 交于 C 点 求四边形 ABCD 的面积 第 6 页 共 34 页 25 9 分 如图 在一条笔直的公路上有 M P N 三个地点 M P 两地相 距 20km 甲开汽车 乙骑自行车分别从 M P 两地同时出发 匀速前往 N 地 到达 N 地后停止运动 已知乙骑自行车的速度为 20km h 甲 乙两人之间的距 离 y km 与乙行驶的时间 t h 之间的关系如图 所示 1 M N 两地之间的距离为 km 2 求线段 BC 所表示的 y 与 t 之间的函数表达式 3 若乙到达 N 地后 甲 乙立即以各自原速度返回 M 地 请在图 所给的 直角坐标系中补全函数图象 26 9 分 如图 点 A 在 O 上 点 P 是 O 外一点 PA 切 O 于点 A 连接 OP 交 O 于点 D 作 AB OP 于点 C 交 O 于点 B 连接 PB 1 求证 PB 是 O 的切线 2 若 PC 9 AB 6 求图中阴影部分的面积 若点 E 是 O 上一点 连接 AE BE 当 AE 6时 BE 第 7 页 共 34 页 27 10 分 1 问题背景 如图 BC 是 O 的直径 点 A 在 O 上 AB AC P 为 BmC 上一动点 不与 B C 重合 求证 PA PB PC 小明同学观察到图中自点 A 出发有三条线段 AB AP AC 且 AB AC 这就为 旋转作了铺垫 于是 小明同学有如下思考过程 第一步 将 PAC 绕着点 A 顺时针旋转 90 至 QAB 如图 第二步 证明 Q B P 三点共线 进而原题得证 请你根据小明同学的思考过程完成证明过程 2 类比迁移 如图 O 的半径为 3 点 A B 在 O 上 C 为 O 内一点 AB AC AB AC 垂足为 A 求 OC 的最小值 3 拓展延伸 如图 O 的半径为 3 点 A B 在 O 上 C 为 O 内一点 AB AC AB AC 垂足为 A 则 OC 的最小值为 第 8 页 共 34 页 2017 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 12 分 在每小题所给出的四个分 在每小题所给出的四个 选项中 恰有一项是符合题目要求的 请将正确选项前的字母代号填涂在答题选项中 恰有一项是符合题目要求的 请将正确选项前的字母代号填涂在答题 卡相应位置上 卡相应位置上 1 2 分 2 的相反数是 A 2B C 2D 分析 根据相反数的含义 可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前 边添加 据此解答即可 解答 解 根据相反数的含义 可得 2 的相反数是 2 故选 C 点评 此题主要考查了相反数的含义以及求法 要熟练掌握 解答此题的关 键是要明确 相反数是成对出现的 不能单独存在 求一个数的相反数的方法 就是在这个数的前边添加 2 2 分 氢原子的半径大约是 0 000 0077m 将数据 0 000 0077 用科学记数法 表示为 A 0 77 10 5B 0 77 10 6C 7 7 10 5D 7 7 10 6 分析 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示 一般形式为 a 10 n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂 指数由原数 左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 解答 解 0 000 0077 用科学记数法表示为 7 7 10 6 故选 D 点评 本题考查用科学记数法表示较小的数 一般形式为 a 10 n 其中 第 9 页 共 34 页 1 a 10 n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3 2 分 介于 A 4 与 3 之间 B 3 与 2 之间 C 2 与 1 之间 D 1 与 0 之间 分析 首先由 4 7 9 可估算出的取值范围 易得结果 解答 解 4 7 9 2 3 2 故选 B 点评 本题考查了估算无理数的大小 利用 夹逼法 是解答此题的关键 4 2 分 下列平面图形 既是中心对称图形 又是轴对称图形的是 A 等腰三角形 B 正五边形C 平行四边形 D 矩形 分析 根据中心对称图形的定义旋转 180 后能够与原图形完全重合即是中心 对称图形 以及轴对称图形的定义即可判断出 解答 解 A 等腰三角形旋转 180 后不能与原图形重合 此图形不是 中心对称图形 但它是轴对称图形 故此选项错误 B 正五边形旋转 180 后不能与原图形重合 此图形不是中心对称图形 是轴对称图形 故此选项错误 C 平行四边形旋转 180 后能与原图形重合 此图形是中心对称图形 但不是 轴对称图形 故此选项错误 D 矩形旋转 180 后能与原图形重合 此图形不是中心对称图形 是轴对 称图形 故此选项正确 故选 D 点评 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义 根据定义得出图形形 状是解决问题的关键 5 2 分 如图是一个几何体的三视图 这个几何体是 第 10 页 共 34 页 A 四棱柱 B 三棱柱 C 三棱锥 D 圆锥 分析 主视图 左视图 俯视图是分别从物体正面 左面和上面看 所得到 的图形 解答 解 由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体 由左视图为 三角形可得为三棱柱 故选 B 点评 此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力 同时也体现 了对空间想象能力方面的考查 6 2 分 如图 正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm P 是对角线 BE 上一动点 过点 P 作直线 l 与 BE 垂直 动点 P 从 B 点出发且以 1cm s 的速度匀速平移至 E 点 设直线 l 扫过正六边形 ABCDEF 区域的面积为 S cm2 点 P 的运动时间为 t s 下列能反映 S 与 t 之间函数关系的大致图象是 A B C D 分析 从给出的图象中看 中间位置的图象一致 只要计算两边取值中的图 第 11 页 共 34 页 象即可作出判断 先计算点 P 从 B 到 G 时扫过的面积 S 发现是二次函数 且开口向下 可以否 定 A 和 B 再计算点 P 从 9 t 12 时扫过的面积为正六边形的面积 EMN 的 面积 计算得到一个开口向下的二次函数 由此作判断 解答 解 由题意得 BP t 如图 1 连接 AC 交 BE 于 G Rt ABG 中 AB 6 ABG 60 BAG 30 BG AB 3 由勾股定理得 AG 3 AC 2AG 6 当 0 t 3 时 PM t MN 2t S S BMN MN PB 所以选项 A 和 B 不正确 如图 2 当 9 t 12 时 PE 12 t MEP 60 tan MEP PM 12 t MN 2PM 2 12 t S S正六边形 S EMN 2 AF BE AG MN PE 6 12 3 12 t 12 t 54 144 24t t2 第 12 页 共 34 页 24t 90 此二次函数的开口向下 所以选项 C 正确 选项 D 不正确 故选 C 点评 本题考查了动点所在直线的运动问题 利用数形结合的思想 确定动 直线扫过区域面积的几种可能 通过计算其解析式来判断 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 20 分 不需写出解答过程 分 不需写出解答过程 请把答案直接填写在答题卡相应位置上 请把答案直接填写在答题卡相应位置上 7 2 分 8 的算术平方根是 2 8 的立方根是 2 分析 依据算术平方根的性质和立方根的性质解答即可 解答 解 8 的算术平方根是 2 8 的立方根是 2 故答案为 2 2 点评 本题主要考查的是算术平方根 立方根的性质 熟练掌握算术平方根 立方根的性质是解题的关键 8 2 分 要使式子在实数范围内有意义 则 x 的取值范围是 x 2 分析 根据被开方数是非负数 可得答案 第 13 页 共 34 页 解答 解 由题意 得 x 2 0 解得 x 2 故答案为 x 2 点评 此题考查了二次根式的意义和性质 概念 式子 a 0 叫二次根 式 性质 二次根式中的被开方数必须是非负数 否则二次根式无意义 9 2 分 计算 2 分析 直接利用二次根式乘运算法则计算得出答案 解答 解 原式 2 故答案为 2 点评 此题主要考查了二次根式的乘法运算 正确化简二次根式是解题关 键 10 2 分 已知反比例函数 y 的图象经过点 A 2 3 则当 x 1 时 y 6 分析 直接把 A 2 3 代入反比例函数 y 求出 k 的值 进而可得出反比 例函数的解析式 再把 x 1 代入求出 y 的值即可 解答 解 反比例函数 y 的图象经过点 A 2 3 3 解得 k 6 反比例函数的解析式为 y 当 x 1 时 y 6 故答案为 6 点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点 熟知反比例函数图象 上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 第 14 页 共 34 页 11 2 分 某班的中考英语口语考试成绩如表 考试成绩 分3029282726 学生数 人3151363 则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 1 分 分析 众数是一组数据中出现次数最多的数据 注意众数可以不只一个 找 中位数要把数据按从小到大的顺序排列 位于最中间的一个数 或两个数的平 均数 为中位数 解答 解 这组数出现次数最多的是 29 这组数的众数是 29 共 42 人 中位数应是第 21 和第 22 人的平均数 位于最中间的数是 28 28 这组数的中位数是 28 该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 29 28 1 分 故答案为 1 点评 本题属于基础题 考查了确定一组数据的中位数和众数的能力 要明 确定义 一些学生往往对这个概念掌握不清楚 计算方法不明确而误选其它选 项 注意找中位数的时候一定要先排好顺序 然后再根据奇数和偶数个来确定 中位数 如果数据有奇数个 则正中间的数字即为所求 如果是偶数个则找中 间两位数的平均数 12 2 分 若方程 x2 12x 5 0 的两根分别为 a b 则 a2b ab2的值为 60 分析 先根据根与系数的关系得到 a b 12 ab 5 再把 a2b ab2变形为 ab a b 然后利用整体代入的方法计算 解答 解 根据题意得 a b 12 ab 5 所以 a2b ab2 ab a b 5 12 60 第 15 页 共 34 页 故答案为 60 点评 本题考查了根与系数的关系 若 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根时 x1 x2 x1x2 13 2 分 若圆锥的高是 8cm 母线长是 10cm 则这个圆锥的侧面积是 60 cm2 结果保留 分析 先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径 然后根据圆锥的侧面展 开图为一扇形 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长 扇形的半径等于圆锥的 母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积 解答 解 圆锥的底面圆的半径 6 所以这个圆锥的侧面积 2 6 10 60 cm2 故答案为 60 点评 本题考查了圆锥的计算 圆锥的侧面展开图为一扇形 这个扇形的弧 长等于圆锥底面的周长 扇形的半径等于圆锥的母线长 14 2 分 若一个正多边形的每一个外角都是 30 则这个正多边形的边数为 12 分析 根据正多边形的每一个外角都相等 多边形的边数 360 30 计算 即可求解 解答 解 这个正多边形的边数 360 30 12 故答案为 12 点评 本题考查了多边形的内角与外角的关系 熟记正多边形的边数与外角 的关系是解题的关键 15 2 分 如图 在 O 的内接六边形 ABCDEF 中 A C 220 则 E 140 第 16 页 共 34 页 分析 连接 BF BD 根据已知条件得到的度数 的度数 440 得到 的度数 440 360 80 根据圆内接四边形的性质即可得到结论 解答 解 连接 BF BD A C 220 的度数 的度数 440 的度数 440 360 80 DBF 40 E 180 DBF 140 故答案为 140 点评 本题考查了圆周角定理 多边形的内角与外角 正确的作出辅助线是 解题的关键 16 2 分 如图 在 ABC 中 A 45 B 60 AB 4 P 是 BC 边上的动点 不与 B C 重合 点 P 关于直线 AB AC 的对称点分别为 M N 则线段 MN 长的取值范围是 2 MN 4 第 17 页 共 34 页 分析 连接 AM AN AP 过点 A 作 AD MN 于点 D 由对称性可知 AM AP AN MAN 等腰直角三角形 进而即可得出 MN AP 再根据 AP 的 取值范围即可得出线段 MN 长的取值范围 解答 解 连接 AM AN AP 过点 A 作 AD MN 于点 D 如图所示 点 P 关于直线 AB AC 的对称点分别为 M N AM AP AN MAB PAB NAC PAC MAN 等腰直角三角形 AMD 45 AD MD AM MN AM AB 4 B 60 2 AP 4 AM AP 2 MN 4 故答案为 2 MN 4 点评 本题考查了轴对称的性质 等腰直角三角形的判定和性质 解题的关 键是证得 AMN 是等腰直角三角形 第 18 页 共 34 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 11 小题 共小题 共 88 分 请在答题卡指定区域内作答 解答分 请在答题卡指定区域内作答 解答 时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 1 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来 2 解方程 1 分析 1 分别求出不等式组中两不等式的解集 找出两解集的公共部分确 定出不等式组的解集 表示在数轴上即可 2 分式方程去分母转化为整式方程 求出整式方程的解得到 x 的值 经检验 即可得到分式方程的解 解答 解 1 解不等式 得 x 1 解不等式 得 x 1 则不等式组的解集是 1 x 1 2 方程两边同乘 x 3 得 3x x 3 1 解得 x 1 检验 当 x 1 时 x 3 0 所以 x 1 是原方程的解 点评 此题考查了解分式方程 以及解一元一次不等式组 熟练掌握运算法 则是解本题的关键 18 6 分 先化简代数式 1 并从 1 0 1 3 中选取一个合适的 第 19 页 共 34 页 数代入求值 分析 根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子 然后在 1 0 1 3 中 选取一个使得原分式有意义的 x 的值代入即可解答本题 解答 解 1 1 当 x 3 时 原式 点评 本题考查分式的化简求值 解答本题的关键是明确分式化简求值的方 法 19 8 分 某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源 随机抽取部分学生了解情况 并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方 图 上网查找学习资源方式频数分布表 查找方式频数频率 搜索引擎1632 专题网站15a 在线网校48 试题题库1020 其他b10 1 频数分布表中 a b 的值 a 30 b 5 2 补全频数分布直方图 3 若全校有 1000 名学生 估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生 有多少名 第 20 页 共 34 页 分析 1 由统计图和统计表可以分别求得 a b 的值 2 根据 b 的值即可画出直方图 3 用样本估计总体的思想 即可解决问题 解答 解 1 16 32 50 a 100 30 b 50 10 5 故答案为 30 5 2 频数分布直方图 如图所示 3 1000 32 320 名 答 该校利用搜索引擎查找学习资源的学生有 320 名 点评 本题考查频数分布直方图 频数分布表 用样本估计总体 解题的关 键是明确题意 找出所求问题需要的条件 利用数形结合的思想解答问题 20 6 分 从 2 名男生和 3 名女生中随机抽取运动会志愿者 求下列事件的概 第 21 页 共 34 页 率 1 抽取 1 名 恰好是女生的概率为 2 抽取 2 名 恰好是 1 名男生和 1 名女生 分析 1 根据概率的意义写出即可 2 画出树状图 然后根据概率公式列式计算即可得解 解答 解 1 P 女 故答案为 2 画出树状图如下 共有 20 种情况 其中 恰好是 1 名男生和 1 名女生 的情况有 12 种 所以 P 恰好是 1 名男生和 1 名女生 B 点评 本题考查了列表法和树状图法 用到的知识点为 概率 所求情况数与 总情况数之比 21 8 分 如图 在四边形 ABCD 中 BE AC DF AC 垂足分别为 E F BE DF AE CF 1 求证 AFD CEB 2 若 CBE BAC 四边形 ABCD 是怎样的四边形 证明你的结论 分析 1 求出 AF CE 再利用 边角边 证明即可 第 22 页 共 34 页 2 根据全等三角形对应边相等可得 AD BC 全等三角形对应角相等可得 BCE DAF 再根据内错角相等 两直线平行证明 AD BC 然后判断出四边 形 ABCD 是平行四边形 求出 ABC 90 最后根据有一个角是直角的平行四边 形是矩形证明 解答 证明 1 BE AC DF AC AFD CEB 90 AE FC AE EF FC EF AF CE 又 BE DF AFD CEB 2 四边形 ABCD 为矩形 AFD CEB AD BC BCE DAF AD BC 四边形 ABCD 为平行四边形 CBE BAC 又 CBE ACB 90 BAC ACB 90 ABC 90 四边形 ABCD 为矩形 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 矩形的判定 熟练掌握三角形 全等的判定方法并准确识图是解题的关键 第 23 页 共 34 页 22 6 分 某商场销售一批衬衫 平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为 了扩大销售 增加盈利 商场采取了降价措施 假设在一定范围内 衬衫的单 价每降 1 元 商场平均每天可多售出 2 件 如果降价后商场销售这批衬衫每天 盈利 1250 元 那么衬衫的单价降了多少元 分析 设衬衫的单价降了 x 元 根据题意等量关系 降价后的销量 每件的 利润 1250 根据等量关系列出方程即可 解答 解 设衬衫的单价降了 x 元 根据题意 得 20 2x 40 x 1250 解得 x1 x2 15 答 衬衫的单价降了 15 元 点评 此题主要考查了一元二次方程的应用 关键是正确理解题意 找出题 目中的等量关系 列出方程 23 8 分 如图 小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC 并 测得 B C 两点的俯角分别为 60 和 35 已知大桥 BC 的长度为 100m 且与地 面在同一水平面上 求热气球离地面的高度 结果保留整数 参考数据 sin35 cos35 tan35 1 7 分析 作 AD CB 交 CB 所在直线于点 D 利用锐角三角函数的定义求出 CD 及 BD 的长 利用 BC CD BD 即可得出结论 解答 解 作 AD CB 交 CB 所在直线于点 D 由题知 ACD 35 ABD 60 第 24 页 共 34 页 在 Rt ACD 中 ACD 35 tan35 CD AD 在 Rt ABD 中 ABD 60 tan60 1 7 BD AD BC CD BD AD AD AD AD 100 解得 AD 119m 答 热气球离地面的高 119m 点评 本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题 根据题意作出辅助 线 构造出直角三角形是解答此题的关键 24 8 分 已知二次函数 y x2 a 1 x a 2 其中 a 是常数 1 求证 不论 a 为何值 该二次函数的图象与 x 轴一定有公共点 2 当 a 4 时 该二次函数的图象顶点为 A 与 x 轴交于 B D 两点 与 y 轴 交于 C 点 求四边形 ABCD 的面积 分析 1 利用根的判别式符号进行证明 第 25 页 共 34 页 2 由抛物线解析式求得点 B C D 的坐标 然后利用分割法来求四边形 ABCD 的面积 解答 1 证明 y x2 a 1 x a 2 因为 a 1 2 4 a 2 a 3 2 0 所以 方程 x2 a 1 x a 2 0 有实数根 所以 不论 a 为何值 该函数的图象与 x 轴总有公共点 2 由题可知 当 a 4 时 y x2 3x 2 因为 y x2 3x 2 x 2 所以 A 当 y 0 时 x2 3x 2 0 解得 x1 1 x2 2 所以 B 1 0 D 2 0 当 x 0 时 y 2 所以 C 0 2 所以 S四边形 ABCD S ABD S BDC 1 点评 本题考查了待定系数法 抛物线和坐标轴的交点 顶点坐标 四边形 的面积的求法等 2 利用分割法求四边形的面积是本题的关键 25 9 分 如图 在一条笔直的公路上有 M P N 三个地点 M P 两地相 距 20km 甲开汽车 乙骑自行车分别从 M P 两地同时出发 匀速前往 N 地 到达 N 地后停止运动 已知乙骑自行车的速度为 20km h 甲 乙两人之间的距 离 y km 与乙行驶的时间 t h 之间的关系如图 所示 1 M N 两地之间的距离为 80 km 2 求线段 BC 所表示的 y 与 t 之间的函数表达式 3 若乙到达 N 地后 甲 乙立即以各自原速度返回 M 地 请在图 所给的 直角坐标系中补全函数图象 第 26 页 共 34 页 分析 1 根据路程 速度 时间 可求 PM 再计算 20 即可求解 2 由题意可知 B 0 C 1 40 根据待定系数法可求线段 BC 所表示 的 y 与 t 之间的函数表达式 3 当甲开汽车返回 M 地时 甲 乙两人之间的距离 y km 最大为 60 依 此补全函数图象 解答 解 1 20 3 20 60 20 80 km 答 M N 两地之间的距离为 80km 2 由题意可知 B 0 C 1 40 设 y 与 x 之间的函数表达式为 y kx b 根据题意得 当 x 时 y 0 当 x 1 时 y 40 所以 解得 所以 y 与 x 之间的函数表达式为 y 60 x 20 3 如图所示 第 27 页 共 34 页 故答案为 80 点评 此题主要考查了一次函数的应用 利用图表中数据得出汽车速度是解 题关键 26 9 分 如图 点 A 在 O 上 点 P 是 O 外一点 PA 切 O 于点 A 连接 OP 交 O 于点 D 作 AB OP 于点 C 交 O 于点 B 连接 PB 1 求证 PB 是 O 的切线 2 若 PC 9 AB 6 求图中阴影部分的面积 若点 E 是 O 上一点 连接 AE BE 当 AE 6时 BE 3 3或 3 3 分析 1 由 PA 切 O 于点 A 得 PAO 90 再证明 APO BPO 所 以 PBO PAO 90 可得结论 2 先根据垂径定理得 BC 3 根据勾股定理求圆的半径 OB 的长 利用 三角函数得 COB 60 利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求 S OPB和 S扇形 DOB的值 最后利用面积差得结论 分两种情况 i 当点 E 在上时 如图 2 作辅助线 构建直角三角形和等腰直角三角形 第 28 页 共 34 页 利用同弧所对的圆周角与半径及勾股定理分别计算 EH 和 BH 的长 相加即可得 BE 的长 ii 当点 E 在劣弧上时 如图 3 作辅助线 同理计算 EH 和 BH 的长 最后利 用勾股定理求 BE 的长 解答 1 证明 如图 1 连接 OB OP AB OP 经过圆心 O AC BC OP 垂直平分 AB AP BP OA OB OP OP APO BPO SSS PAO PBO PA 切 O 于点 A AP OA PAO 90 PBO PAO 90 OB BP 又 点 B 在 O 上 PB 与 O 相切于点 B 2 解 如图 1 OP AB OP 经过圆心 O BC AB 3 PBO BCO 90 PBC OBC OBC BOC 90 PBC BOC 第 29 页 共 34 页 PBC BOC OC 3 在 Rt OCB 中 OB 6 tan COB COB 60 S OPB OP BC 18 S扇 DOB 6 S阴影 S OPB S扇 DOB 18 6 分两种情况 i 当点 E 在上时 如图 2 作直径 AF 交 O 于 F 连接 EF EB 过 O 作 OG AE 于 G 过 F 作 FH EB 于 H EG AG AE 3 AOB 120 OA OB OAB 30 BEF OAB 30 Rt OGE 中 由 知 OA 6 OG 3 AG OG OGA 是等腰直角三角形 OAE 45 EBF OAE 45 AF 是 O 的直径 AEF 90 AEF 是等腰直角三角形 第 30 页 共 34 页 EF AE 6 Rt EHF 中 BEF 30 FH EF 3 EH 3 Rt BHF 中 EBF 45 BHF 是等腰直角三角形 BH FH 3 BE 3 3 ii 当点 E 在劣弧上时 如图 3 作直径 AF 并 O 于 F 连接 OB OE BF 过 B 作 BH OE 于 H AF 为 O 的直径 ABF 90 BAF 30 F BOF 60 OA OE 6 AE 6 OA2 OE2 AE2 AOE