求异面直线所成角一个公式.doc

.求异面直线所成角的一个公式江苏省姜堰中学 张圣官（225500）求两条异面直线所成的角，一般都用“引平行线作角，再解三角形”这一思路。本文通过对一道课本习题的变形、分析，得出求异面直线所成的角的一个公式，简单易记且便于使用。如图1，AB和平面所成的角是1，AC在平面内，AC和AB在上的射影AB所成的角为2，设BAC=，则有cos=cos1cos2（证明略）。我们把该题作如下变形：在平面内作一条平行于AC的直线l，显然l与AB异面，当2为锐角时，BAC的大小即为异面直线l与AB所成的角。如图2，设a、b是两条异面直线，b，a为平面上的射影记为c。若a与所成的角为1，b与c所成的角为2，两条异面直线a和b所成的角为，则cos=cos1cos2(*)。使用公式(*)时首先要确定1和2，而它们都与射影c有关。因此，如何恰当选择，以便于作出a在上的射影c就成了关键，下面以几道高考题为例。例1（1992年全国高考题）如图3所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，那么AM与CN所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D）解析选平面AB1为公式中的，显然CN、AM、BB1就是公式中的a、b、c。选D.例2（1990年全国高考题）如图4，正三棱锥SABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）（A）900 （B）600 （C）450 （D）300解析选平面SCF为公式中的，AB平面SCF，SF为SA在平面SCF上的射影，SA、EF、SF分别为公式中的a、b、c，选C.例3（1995年全国高考题）如图5，A1B1C1ABC是直三棱柱，BAC=900，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D）解析选平面AC1为公式中的，BCAC，BC平面AC1. D1F1/B1C1/BC，D1F1平面AC1，CF1为BD1在平面AC1上的射影，直线BD1、AF1、CF1就是公式中的a、b、c. 选A.例4（1996年全国高考题）如图6，正方形ABCD所在的平面与正方形ABCDEF所在的平面成600的二面角，则异面直线AD与BD所成角的余弦值是_.解析选平面BF为公式中的，过D作DHAF于H，BA平面DAH，BADH，DH平面BF。这样，AH为DA在平面BF上的射影，DA、BF、AH就是公式中的a、b、c。由条件，即为所求。例5（2000年上海高考题）如图7，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角的大小为，求四面体ABCD的体积。 解析选平面ABC为公式中的，则AD、BE、AB即为公式中的a、b、c。设BD=x，则，而，由得x=4. .例6（2002年全国高考题）如图8，正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 （ ） （A）900 （B）600 （C）450 （D）300解析选平面BC1为公式中的过D作DHBC于H，则DH，又E1G，C1H为E1D在上的射影，E1D、BC1、C1H即为公式中的a、b、c. 在直角梯形E1C1HD中，E1C1=，DH=，E1D=，C1H=，. 在C1BH中，BC1=，. 因此，.选B. 公式(*)巧妙地把求异面直