2017年挑战中考数学压轴题(全套含答案)

第一部分第一部分 函数图象中点的存在性问题函数图象中点的存在性问题 1 1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例 2 2014 年益阳市中考第 21 题 例 3 2015 年湘西州中考第 26 题 例 4 2015 年张家界市中考第 25 题 例 5 2016 年常德市中考第 26 题 例 6 2016 年岳阳市中考第 24 题 例 7 2016 年上海市崇明县中考模拟第 25 题 例 8 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 26 题 1 2 因动点产生的等腰三角形问题 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题 例 10 2014 年张家界市第 25 题 例 11 2014 年邵阳市中考第 26 题 例 12 2014 年娄底市中考第 27 题 例 13 2015 年怀化市中考第 22 题 例 14 2015 年长沙市中考第 26 题 例 15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 16 2016 年上海市长宁区金山区中考模拟第 25 题 例 17 2016 年河南省中考第 23 题 例 18 2016 年重庆市中考第 25 题 1 3 因动点产生的直角三角形问题 例 19 2015 年益阳市中考第 21 题 例 20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例 21 2016 年郴州市中考第 26 题 例 22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例 23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 1 4 因动点产生的平行四边形问题 例 24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例 25 2014 年益阳市中考第 20 题 例 26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例 27 2015 年郴州市中考第 25 题 例 28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例 29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 30 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第 24 题 例 31 2016 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 1 5 因动点产生的面积问题 例 32 2014 年常德市中考第 25 题 例 33 2014 年永州市中考第 25 题 例 34 2014 年怀化市中考第 24 题 例 35 2015 年邵阳市中考第 26 题 例 36 2015 年株洲市中考第 23 题 例 37 2015 年衡阳市中考第 28 题 例 38 2016 年益阳市中考第 22 题 例 39 2016 年永州市中考第 26 题 例 40 2016 年邵阳市中考第 26 题 例 41 2016 年陕西省中考第 25 题 1 6 因动点产生的相切问题 例 42 2014 年衡阳市中考第 27 题 例 43 2014 年株洲市中考第 23 题 例 44 2015 年湘潭市中考第 25 题 例 45 2015 年湘西州中考第 25 题 例 46 2016 年娄底市中考第 25 题 例 47 2016 年湘潭市中考第 26 题 例 48 2016 年上海市闵行区中考模拟第 24 题 例 49 2016 年上海市普陀区中考模拟中考第 25 题 1 7 因动点产生的线段和差问题 例 50 2014 年郴州市中考第 26 题 例 51 2014 年湘西州中考第 25 题 例 52 2015 年岳阳市中考第 24 题 例 53 2015 年济南市中考第 28 题 例 54 2015 年沈阳市中考第 25 题 例 55 2016 年福州市中考第 26 题 例 56 2016 年张家界市中考第 24 题 例 57 2016 年益阳市中考第 21 题 第二部分第二部分 图形运动中的函数关系问题图形运动中的函数关系问题 2 1 由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2014 年常德市中考第 26 题 例 2 2014 年湘潭市中考第 25 题 例 3 2014 年郴州市中考第 25 题 例 4 2015 年常德市中考第 25 题 例 5 2015 年郴州市中考第 26 题 例 6 2015 年邵阳市中考第 25 题 例 7 2015 年娄底市中考第 26 题 例 8 2016 年郴州市中考第 25 题 例 9 2016 年湘西州中考第 26 题 例 10 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 25 题 例 11 2016 年哈尔滨市中考第 27 题 第三部分第三部分 图形运动中的计算说理问题图形运动中的计算说理问题 3 1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2014 年长沙市中考第 25 题 例 2 2014 年怀化市中考第 23 题 例 3 2014 年湘潭市中考第 26 题 例 4 2014 年株洲市中考第 24 题 例 5 2015 年衡阳市中考第 27 题 例 6 2015 年娄底市中考第 25 题 例 7 2015 年永州市中考第 26 题 例 8 2015 年长沙市中考第 25 题 例 9 2015 年株洲市中考第 24 题 例 10 2016 年怀化市中考第 22 题 例 11 2016 年邵阳市中考第 25 题 例 12 2016 年株洲市中考第 26 题 例 13 2016 年长沙市中考第 25 题 例 14 2016 年长沙市中考第 26 题 3 3 2 2 几何证明及通过几何计算进行说理问题几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 15 2014 年衡阳市中考第 26 题 例 16 2014 年娄底市中考第 26 题 例 17 2014 年岳阳市中考第 23 题 例 18 2015 年常德市中考第 26 题 例 19 2015 年益阳市中考第 20 题 例 20 2015 年永州市中考第 27 题 例 21 2015 年岳阳市中考第 23 题 例 22 2016 年常德市中考第 25 题 例 23 2016 年衡阳市中考第 25 题 例 24 2016 年永州市中考第 27 题 例 25 2016 年岳阳市中考第 23 题 例 26 2016 年株洲市中考第 25 题 例 27 2016 年湘潭市中考第 25 题 第四部分第四部分 图形的平移 翻折与旋转图形的平移 翻折与旋转 4 1 图形的平移 例 1 2015 年泰安市中考第 15 题 例 2 2015 年咸宁市中考第 14 题 例 3 2015 年株洲市中考第 14 题 例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第 18 题 4 2 图形的翻折 例 5 2016 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题 例 6 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 18 题 例 7 2016 年上海市闵行区中考模拟第 18 题 例 8 2016 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题 例 8 2016 年上海市普陀区中考模拟第 18 题 例 10 2016 年常德市中考第 15 题 例 11 2016 年张家界市中考第 14 题 例 12 2016 年淮安市中考第 18 题 例 13 2016 年金华市中考第 15 题 例 14 2016 年雅安市中考第 12 题 4 3 图形的旋转 例 15 2016 年上海昂立教育中学生三模联考第 18 题 例 16 2016 年上海市崇明县中考模拟第 18 题 例 17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题 例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第 18 题 例 19 2016 年上海市闸北区中考模拟第 18 题 例 20 2016 年邵阳市中考第 13 题 例 21 2016 年株洲市中考第 4 题 4 4 三角形 例 22 2016 年安徽省中考第 10 题 例 23 2016 年武汉市中考第 10 题 例 24 2016 年河北省中考第 16 题 例 25 2016 年娄底市中考第 10 题 例 26 2016 年苏州市中考第 9 题 例 27 2016 年台州市中考第 10 题 例 28 2016 年陕西省中考第 14 题 例 29 2016 年内江市中考第 11 题 例 30 2016 年上海市中考第 18 题 4 5 四边形 例 31 2016 年湘西州中考第 11 题 例 32 2016 年益阳市中考第 4 题 例 33 2016 年益阳市中考第 6 题 例 34 2016 年常德市中考第 16 题 例 35 2016 年成都市中考第 14 题 例 36 2016 年广州市中考第 13 题 例 37 2016 年福州市中考第 18 题 例 38 2016 年无锡市中考第 17 题 例 39 2016 年台州市中考第 15 题 4 6 圆 例 40 2016 年滨州市中考第 16 题 例 41 2016 年宁波市中考第 17 题 例 42 2016 年连云港市中考第 16 题 例 43 2016 年烟台市中考第 17 题 例 44 2016 年烟台市中考第 18 题 例 45 2016 年无锡市中考第 18 题 例 46 2016 年武汉市中考第 9 题 例 47 2016 年宿迁市中考第 16 题 例 48 2016 年衡阳市中考第 17 题 例 49 2016 年邵阳市中考第 18 题 例 50 2016 年湘西州中考第 18 题 例 51 2016 年永州市中考第 20 题 4 7 函数的图象及性质 例 52 2015 年荆州市中考第 9 题 例 53 2015 年德州市中考第 12 题 例 54 2015 年烟台市中考第 12 题 例 55 2015 年中山市中考第 10 题 例 56 2015 年武威市中考第 10 题 例 57 2015 年呼和浩特市中考第 10 题 例 58 2016 年湘潭市中考第 18 题 例 59 2016 年衡阳市中考第 19 题 例 60 2016 年岳阳市中考第 15 题 例 61 2016 年株洲市中考第 9 题 例 62 2016 年永州市中考第 19 题 例 63 2016 年岳阳市中考第 8 题 例 64 2016 年岳阳市中考第 16 题 例 65 2016 年益阳市中考第 14 题 例 66 2016 年株洲市中考第 10 题 例 67 2016 年株洲市中考第 17 题 例 68 2016 年东营市中考第 15 题 例 69 2016 年成都市中考第 13 题 例 70 2016 年泰州市中考第 16 题 例 71 2016 年宿迁市中考第 15 题 例 72 2016 年临沂市中考第 14 题 例 73 2016 年义乌市绍兴市中考第 9 题 例 74 2016 年淄博市中考第 12 题 例 75 2016 年嘉兴市中考第 16 题 1 1 1 1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 课前导学 相似三角形的判定定理有 3 个 其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件 因此探求两个三角形相似的动态问题 一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据 一般分三步 寻找一组等角 分两种情况列比例方 程 解方程并检验 如果已知 A D 探求 ABC 与 DEF 相似 只要把夹 A 和 D 的两边表示出来 按照对应边成比例 分和两种情况列方程 ABDE ACDF ABDF ACDE 应用判定定理 1 解题 先寻找一组等角 再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见 根据三边对应成比例列连比式解方程 组 还有一种情况 讨论两个直角三角形相似 如果一组锐角相等 其中一个直角三角形 的锐角三角比是确定的 那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长 要用到两点间的距离公式 而这个公式容易记错 理解记忆比较好 如图 1 如果已知 A B 两点的坐标 怎样求 A B 两点间的距离呢 我们以 AB 为斜边构造直角三角形 直角边与坐标轴平行 这样用勾股定理就可以求 斜边 AB 的长了 水平距离 BC 的长就是 A B 两点间的水平距离 等于 A B 两点的横坐 标相减 竖直距离 AC 就是 A B 两点间的竖直距离 等于 A B 两点的纵坐标相减 图 1 例 1 2014 年湖南省衡阳市中考第 28 题 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴交于 A 3 0 B 1 0 两点 与 y 轴交 于点 C 0 3m m 0 顶点为 D 1 求该二次函数的解析式 系数用含 m 的代数式表示 2 如图 1 当 m 2 时 点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点 设 APC 的面积 为 S 试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值 3 如图 2 当 m 取何值时 以 A D C 三点为顶点的三角形与 OBC 相似 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 14 衡阳 28 拖动点 P 运动 可以体验到 当点 P 运动到 AC 的中点的正下方时 APC 的面积最大 拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动 抛物线的 形状会改变 可以体验到 ACD 和 ADC 都可以成为直角 思路点拨 1 用交点式求抛物线的解析式比较简便 2 连结 OP APC 可以割补为 AOP 与 COP 的和 再减去 AOC 3 讨论 ACD 与 OBC 相似 先确定 ACD 是直角三角形 再验证两个直角三角形 是否相似 4 直角三角形 ACD 存在两种情况 图文解析 1 因为抛物线与 x 轴交于 A 3 0 B 1 0 两点 设 y a x 3 x 1 代入点 C 0 3m 得 3m 3a 解得 a m 所以该二次函数的解析式为 y m x 3 x 1 mx2 2mx 3m 2 如图 3 连结 OP 当 m 2 时 C 0 6 y 2x2 4x 6 那么 P x 2x2 4x 6 由于 S AOP 2x2 4x 6 3x2 6x 9 1 2 P OAy 3 2 S COP 3x S AOC 9 1 2 P OCx 所以 S S APC S AOP S COP S AOC 3x2 9x 2 327 3 24 x 所以当时 S 取得最大值 最大值为 3 2 x 27 4 图 3 图 4 图 5 3 如图 4 过点 D 作 y 轴的垂线 垂足为 E 过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F 由 y m x 3 x 1 m x 1 2 4m 得 D 1 4m 在 Rt OBC 中 OB OC 1 3m 如果 ADC 与 OBC 相似 那么 ADC 是直角三角形 而且两条直角边的比为 1 3m 如图 4 当 ACD 90 时 所以 解得 m 1 OAOC ECED 33 1 m m 此时 所以 所以 CDA OBC 3 CAOC CDED 3 OC OB CAOC CDOB 如图 5 当 ADC 90 时 所以 解得 FAFD EDEC 42 1 m m 2 2 m 此时 而 因此 DCA 与 OBC 不相似 2 2 2 DAFD DCECm 3 2 3 2 OC m OB 综上所述 当 m 1 时 CDA OBC 考点伸展 第 2 题还可以这样割补 如图 6 过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H 由直线 AC y 2x 6 可得 H x 2x 6 又因为 P x 2x2 4x 6 所以 HP 2x2 6x 因为 PAH 与 PCH 有公共底边 HP 高的和为 A C 两点间的水平距离 3 所以 S S APC S APH S CPH 2x2 6x 3 2 图 6 2 327 3 24 x 例 2 2014 年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1 在直角梯形 ABCD 中 AB CD AD AB B 60 AB 10 BC 4 点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动 设 AP x 2 1 c n j y 1 求 AD 的长 2 点 P 在运动过程中 是否存在以 A P D 为顶 点的三角形与以 P C B 为顶点的三角形相似 若存在 求出 x 的值 若不存在 请说明理由 3 设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为 S1 S2 若 S S1 S2 求 S 的最小值 动感体验 图 1 请打开几何画板文件名 14 益阳 21 拖动点 P 在 AB 上运动 可以体验到 圆心 O 的运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线段 观察 S 随点 P 运动的图象 可以看到 S 有最小值 此时点 P 看上去象是 AB 的中点 其实离得很近而已 思路点拨 1 第 2 题先确定 PCB 是直角三角形 再验证两个三角形是否相似 2 第 3 题理解 PCB 的外接圆的圆心 O 很关键 圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分 线上 同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上 而 BP 与 AP 是相关的 这样就可以以 AP 为自变量 求 S 的函数关系式 图文解析 1 如图 2 作 CH AB 于 H 那么 AD CH 在 Rt BCH 中 B 60 BC 4 所以 BH 2 CH 所以 AD 2 32 3 2 因为 APD 是直角三角形 如果 APD 与 PCB 相似 那么 PCB 一定是直角 三角形 如图 3 当 CPB 90 时 AP 10 2 8 所以 而 此时 APD 与 PCB 不相似 AP AD 8 2 3 4 3 3 PC PB 3 图 2 图 3 图 4 如图 4 当 BCP 90 时 BP 2BC 8 所以 AP 2 所以 所以 APD 60 此时 APD CBP AP AD 2 2 3 3 3 综上所述 当 x 2 时 APD CBP 3 如图 5 设 ADP 的外接圆的圆心为 G 那么点 G 是斜边 DP 的中点 设 PCB 的外接圆的圆心为 O 那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上 设这条直线与 BC 交于点 E 与 AB 交于点 F 设 AP 2m 作 OM BP 于 M 那么 BM PM 5 m 在 Rt BEF 中 BE 2 B 60 所以 BF 4 在 Rt OFM 中 FM BF BM 4 5 m m 1 OFM 30 所以 OM 3 1 3 m 所以 OB2 BM2 OM2 22 1 5 1 3 mm 在 Rt ADP 中 DP2 AD2 AP2 12 4m2 所以 GP2 3 m2 于是 S S1 S2 GP2 OB2 222 1 3 5 1 3 mmm 2 73285 3 mm 所以当时 S 取得最小值 最小值为 16 7 m 113 7 图 5 图 6 考点伸展 关于第 3 题 我们再讨论个问题 问题 1 为什么设 AP 2m 呢 这是因为线段 AB AP PM BM AP 2BM 10 这样 BM 5 m 后续可以减少一些分数运算 这不影响求 S 的最小值 问题 2 如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上 S 关于 m 的解析式是什么 如图 6 圆心 O 在线段 EF 的延长线上时 不同的是 FM BM BF 5 m 4 1 m 此时 OB2 BM2 OM2 这并不影响 S 关于 m 的解析式 22 1 5 1 3 mm 例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题 如图 1 已知直线 y x 3 与 x 轴 y 轴分别交于 A B 两点 抛物线 y x2 bx c 经过 A B 两点 点 P 在线段 OA 上 从点 O 出发 向点 A 以每秒 1 个单 位的速度匀速运动 同时 点 Q 在线段 AB 上 从点 A 出发 向点 B 以每秒个单位的2 速度匀速运动 连结 PQ 设运动时间为 t 秒 1 求抛物线的解析式 2 问 当 t 为何值时 APQ 为直角三角形 3 过点 P 作 PE y 轴 交 AB 于点 E 过点 Q 作 QF y 轴 交抛物线于点 F 连结 EF 当 EF PQ 时 求 点 F 的坐标 4 设抛物线顶点为 M 连结 BP BM MQ 问 是否存在 t 的值 使以 B Q M 为顶点的三角形与以 O B P 为顶点的三角形相似 若存在 请求出 t 的值 若不存在 请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 15 湘西 26 拖动点 P 在 OA 上运动 可以体验到 APQ 有 两个时刻可以成为直角三角形 四边形 EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形 MBQ 与 BOP 有一次机会相似 思路点拨 1 在 APQ 中 A 45 夹 A 的两条边 AP AQ 都可以用 t 表示 分两种情况 讨论直角三角形 APQ 2 先用含 t 的式子表示点 P Q 的坐标 进而表示点 E F 的坐标 根据 PE QF 列 方程就好了 3 MBQ 与 BOP 都是直角三角形 根据直角边对应成比例分两种情况讨论 图文解析 1 由 y x 3 得 A 3 0 B 0 3 将 A 3 0 B 0 3 分别代入 y x2 bx c 得 解得 930 3 bc c 2 3 b c 所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3 2 在 APQ 中 PAQ 45 AP 3 t AQ t 2 分两种情况讨论直角三角形 APQ 当 PQA 90 时 AP AQ 解方程 3 t 2t 得 t 1 如图 2 2 当 QPA 90 时 AQ AP 解方程t 3 t 得 t 1 5 如图 3 222 图 2 图 3 3 如图 4 因为 PE QF 当 EF PQ 时 四边形 EPQF 是平行四边形 所以 EP FQ 所以 yE yP yF yQ 因为 xP t xQ 3 t 所以 yE 3 t yQ t yF 3 t 2 2 3 t 3 t2 4t 因为 yE yP yF yQ 解方程 3 t t2 4t t 得 t 1 或 t 3 舍去 所以点 F 的坐标为 2 3 图 4 图 5 4 由 y x2 2x 3 x 1 2 4 得 M 1 4 由A 3 0 B 0 3 可知A B两点间的水平距离 竖直距离相等 AB 3 2 由B 0 3 M 1 4 可知B M两点间的水平距离 竖直距离相等 BM 2 所以 MBQ BOP 90 因此 MBQ与 BOP相似存在两种可能 当时 解得 如图5 BMOB BQOP 23 3 22tt 9 4 t 当时 整理 得t2 3t 3 0 此方程无实根 BMOP BQOB 2 33 22 t t 考点伸展 第 3 题也可以用坐标平移的方法 由P t 0 E t 3 t Q 3 t t 按照P E方向 将点Q向上平移 得F 3 t 3 再将F 3 t 3 代入y x2 2x 3 得t 1 或t 3 1 1 2 2 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 课前导学 我们先回顾两个画图问题 1 已知线段 AB 5 厘米 以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个 顶点 C 的轨 迹是什么 2 已知线段 AB 6 厘米 以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个 顶点 C 的 轨迹是什么 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆 圆上除了两个点以外 都是顶点 C 已知底边画等腰三角形 顶角的顶点在底边的垂直平分线上 垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时 一般都要先分类 如果 ABC 是等腰三角形 那么存在 AB AC BA BC CA CB 三种情况 解等腰三角形的存在性问题 有几何法和代数法 把几何法和代数法相结合 可以使 得解题又好又快 几何法一般分三步 分类 画图 计算 哪些题目适合用几何法呢 如果 ABC 的 A 的余弦值 是确定的 夹 A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子 表示出来 那么就用几何法 如图 1 如果 AB AC 直接列方程 如图 2 如果 BA BC 那么 如图 3 如果 CA CB 那么 1 cos 2 ACABA 1 cos 2 ABACA 代数法一般也分三步 罗列三边长 分类列方程 解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的 而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来 那么根据两点间的距离公式 三边长 的平方 就可以罗列出来 图 1 图 2 图 3 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题 如图 1 抛物线 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 的对称轴为 y 轴 且经过 0 0 和 两点 点 P 在该抛物线上运动 以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A 0 2 1 16 a 1 求 a b c 的值 2 求证 在点 P 运动的过程中 P 始终与 x 轴相交 3 设 P 与 x 轴相交于 M x1 0 N x2 0 两点 当 AMN 为等腰三角形时 求圆心 P 的纵坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 14 长沙 26 拖动圆心 P 在抛物线上运动 可以体验到 圆 与 x 轴总是相交的 等腰三角形 AMN 存在五种情况 思路点拨 1 不算不知道 一算真奇妙 原来 P 在 x 轴上截得的弦长 MN 4 是定值 2 等腰三角形 AMN 存在五种情况 点 P 的纵坐标有三个值 根据对称性 MA MN 和 NA NM 时 点 P 的纵坐标是相等的 图文解析 1 已知抛物线的顶点为 0 0 所以 y ax2 所以 b 0 c 0 将代入 y ax2 得 解得 舍去了负值 1 16 a 2 1 16 a 1 4 a 2 抛物线的解析式为 设点 P 的坐标为 2 1 4 yx 2 1 4 xx 已知 A 0 2 所以 2224 11 2 4 416 PAxxx 2 1 4 x 而圆心 P 到 x 轴的距离为 所以半径 PA 圆心 P 到 x 轴的距离 2 1 4 x 所以在点 P 运动的过程中 P 始终与 x 轴相交 3 如图 2 设 MN 的中点为 H 那么 PH 垂直平分 MN 在 Rt PMH 中 所以 MH2 4 224 1 4 16 PMPAx 224 11 416 PHxx 所以 MH 2 因此 MN 4 为定值 等腰 AMN 存在三种情况 如图 3 当 AM AN 时 点 P 为原点 O 重合 此时点 P 的纵坐标为 0 图 2 图 3 如图 4 当 MA MN 时 在 Rt AOM 中 OA 2 AM 4 所以 OM 2 3 此时 x OH 2 所以点 P 的纵坐标32 为 222 11 2 32 31 42 3 44 x 如图 5 当 NA NM 时 根据对称性 点 P 的纵坐标为也为 42 3 图 4 图 5 如图 6 当 NA NM 4 时 在 Rt AON 中 OA 2 AN 4 所以 ON 2 3 此时 x OH 2 所以点 P 的纵坐标为 32 222 11 2 32 31 42 3 44 x 如图 7 当 MN MA 4 时 根据对称性 点 P 的纵坐标也为 42 3 图 6 图 7 考点伸展 如果点 P 在抛物线上运动 以点 P 为圆心的 P 总经过定点 B 0 1 那么在 2 1 4 yx 点 P 运动的过程中 P 始终与直线 y 1 相切 这是因为 设点 P 的坐标为 2 1 4 xx 已知 B 0 1 所以 222222 111 1 1 1 444 PBxxxx 而圆心 P 到直线 y 1 的距离也为 所以半径 PB 圆心 P 到直线 y 1 的 2 1 1 4 x 距离 所以在点 P 运动的过程中 P 始终与直线 y 1 相切 例 10 2014 年湖南省张家界市中考第 25 题 如图 1 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 抛物线 y ax2 bx c a 0 过 O B C 三点 B C 坐标分别为 10 0 和 以 OB 为直径的 A 经过 C 点 直 1824 55 线 l 垂直 x 轴于 B 点 1 求直线 BC 的解析式 2 求抛物线解析式及顶点坐标 3 点 M 是 A 上一动点 不同于 O B 过点 M 作 A 的切线 交 y 轴于点 E 交直线 l 于 点 F 设线段 ME 长为 m MF 长为 n 请猜想 mn 的值 并证明你的结论 4 若点 P 从 O 出发 以每秒 1 个单位的速 度向点 B 作直线运动 点 Q 同时从 B 出发 以相同 速度向点 C 作直线运动 经过 t 0 t 8 秒时恰 好使 BPQ 为等腰三角形 请求出满足条件的 t 值 图 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 14 张家界 25 拖动点 M 在圆上运动 可以体验到 EAF 保持直角三角形的形状 AM 是斜边上的高 拖动点 Q 在 BC 上运动 可以体验到 BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨 1 从直线 BC 的解析式可以得到 OBC 的三角比 为讨论等腰三角形 BPQ 作铺垫 2 设交点式求抛物线的解析式比较简便 3 第 3 题连结 AE AF 容易看到 AM 是直角三角形 EAF 斜边上的高 4 第 4 题的 PBQ 中 B 是确定的 夹 B 的两条边可以用含 t 的式子表 示 分三种情况讨论等腰三角形 图文解析 1 直线 BC 的解析式为 315 42 yx 2 因为抛物线与 x 轴交于 O B 10 0 两点 设 y ax x 10 代入点 C 得 解得 1824 55 241832 555 a 5 24 a 所以 22 55255125 10 5 2424122424 yx xxxx 抛物线的顶点为 125 5 24 3 如图 2 因为 EF 切 A 于 M 所以 AM EF 由 AE AE AO AM 可得 Rt AOE Rt AME 所以 1 2 同理 3 4 于是可得 EAF 90 所以 5 1 由 tan 5 tan 1 得 MAME MFMA 所以 ME MF MA2 即 mn 25 图 2 4 在 BPQ 中 cos B BP 10 t BQ t 4 5 分三种情况讨论等腰三角形 BPQ 如图 3 当 BP BQ 时 10 t t 解得 t 5 如图 4 当 PB PQ 时 解方程 得 1 cos 2 BQBPB 14 10 25 tt 80 13 t 如图 5 当 QB QP 时 解方程 得 1 cos 2 BPBQB 14 10 25 tt 50 13 t 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在第 3 题条件下 以 EF 为直径的 G 与 x 轴相切于点 A 如图 6 这是因为 AG 既是直角三角形 EAF 斜边上的中线 也是直角梯形 EOBF 的中 位线 因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径 所以 G 与 x 轴相切于点 A 图 6 例 11 2014 年湖南省邵阳市中考第 26 题 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 m n x mn m n 与 x 轴相交于 A B 两点 点 A 位于点 B 的右侧 与 y 轴相交于点 C 1 若 m 2 n 1 求 A B 两点的坐标 2 若 A B 两点分别位于 y 轴的两侧 C 点坐标是 0 1 求 ACB 的大小 3 若 m 2 ABC 是等腰三角形 求 n 的值 动感体验 请打开几何画板文件名 14 邵阳 26 点击屏幕左下方的按钮 2 拖动点 A 在 x 轴 正半轴上运动 可以体验到 ABC 保持直角三角形的形状 点击屏幕左下方的按钮 3 拖动点 B 在 x 轴上运动 观察 ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上 可以体验到 等腰三角形 ABC 有 4 种情况 思路点拨 1 抛物线的解析式可以化为交点式 用 m n 表示点 A B C 的坐标 2 第 2 题判定直角三角形 ABC 可以用勾股定理的逆定理 也可以用锐角的三角 比 3 第 3 题讨论等腰三角形 ABC 先把三边长 的平方 罗列出来 再分类解方 程 图文解析 1 由 y x2 m n x mn x m x n 且 m n 点 A 位于点 B 的右侧 可知 A m 0 B n 0 若 m 2 n 1 那么 A 2 0 B 1 0 2 如图 1 由于 C 0 mn 当点 C 的坐标是 0 1 mn 1 OC 1 若 A B 两点分别位于 y 轴的两侧 那么 OA OB m n mn 1 所以 OC2 OA OB 所以 OCOB OAOC 所以 tan 1 tan 2 所以 1 2 又因为 1 与 3 互余 所以 2 与 3 互余 所以 ACB 90 图 1 图 2 图 3 3 在 ABC 中 已知 A 2 0 B n 0 C 0 2n 讨论等腰三角形 ABC 用代数法解比较方便 由两点间的距离公式 得 AB2 n 2 2 BC2 5n2 AC2 4 4n2 当 AB AC 时 解方程 n 2 2 4 4n2 得 如图 2 4 3 n 当 CA CB 时 解方程 4 4n2 5n2 得 n 2 如图 3 或 n 2 A B 重合 舍去 当 BA BC 时 解方程 n 2 2 5n2 得 如图 4 或 如 51 2 n 51 2 n 图 5 图 4 图 5 考点伸展 第 2 题常用的方法还有勾股定理的逆定理 由于 C 0 mn 当点 C 的坐标是 0 1 mn 1 由 A m 0 B n 0 C 0 1 得 AB2 m n 2 m2 2mn n2 m2 n2 2 BC2 n2 1 AC2 m2 1 所以 AB2 BC2 AC2 于是得到 Rt ABC ACB 90 第 3 题在讨论等腰三角形 ABC 时 对于 CA CB 的情况 此时 A B 两点关于 y 轴对称 可以直接写出 B 2 0 n 2 例 12 2014 年湖南省娄底市中考第 27 题 如图 1 在 ABC 中 ACB 90 AC 4cm BC 3cm 如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动 同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动 它们的速度 均为 1cm s 连结 PQ 设运动时间为 t s 0 t 4 解答下列问题 1 设 APQ 的面积为 S 当 t 为何值时 S 取得最大值 S 的最大值是多少 2 如图 2 连结 PC 将 PQC 沿 QC 翻折 得到四边形 PQP C 当四边形 PQP C 为菱形时 求 t 的值 3 当 t 为何值时 APQ 是等腰三角形 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 14 娄底 27 拖动点 Q 在 AC 上运动 可以体验到 当点 P 运动到 AB 的中点时 APQ 的面积最大 等腰三角形 APQ 存在三种情况 还可以体验到 当 QC 2HC 时 四边形 PQP C 是菱形 思路点拨 1 在 APQ 中 A 是确定的 夹 A 的两条边可以用含 t 的式子表示 2 四边形 PQP C 的对角线保持垂直 当对角线互相平分时 它是菱形 图文解析 1 在 Rt ABC 中 AC 4 BC 3 所以 AB 5 sinA cosA 3 5 4 5 作 QD AB 于 D 那么 QD AQ sinA t 3 5 所以 S S APQ 1 2 AP QD 13 5 25 tt 2 3 5 10 tt 2 3515 1028 t 当时 S 取得最大值 最大值为 5 2 t 15 8 2 设 PP 与 AC 交于点 H 那么 PP QC AH APcosA 4 5 5 t 如果四边形 PQP C 为菱形 那么 PQ PC 所以 QC 2HC 解方程 得 4 424 5 5 tt 20 13 t 图 3 图 4 3 等腰三角形 APQ 存在三种情况 如图 5 当 AP AQ 时 5 t t 解得 5 2 t 如图 6 当 PA PQ 时 解方程 得 1 cos 2 AQAPA 14 5 25 tt 40 13 t 如图 7 当 QA QP 时 解方程 得 1 cos 2 APAQA 14 5 25 tt 25 13 t 图 5 图 6 图 7 考点伸展 在本题情境下 如果点 Q 是 PP C 的重心 求 t 的 值 如图 8 如果点 Q 是 PP C 的重心 那么 QC HC 2 3 解方程 得 24 44 5 35 tt 60 23 t 图 8 例 13 2015 年湖南省怀化市中考第 22 题 如图 1 已知 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 点 P 以每秒 1 个单位的速度 从 A 向 C 运动 同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A B C 方向运动 它们到 C 点后都 停止运动 设点 P Q 运动的时间为 t 秒 1 在运动过程中 求 P Q 两点间距离的最大值 2 经过 t 秒的运动 求 ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式 3 P Q 两点在运动过程中 是否存在时间 t 使得 PQC 为等腰三角形 若存在 求出此时的 t 值 若不存在 请说明理由 结果保留一位小数 24 2 5 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 15 怀化 22 拖动点 P 在 AC 上运动 可以体验到 PQ 与 BD 保持平行 等腰三角形 PQC 存在三种情况 思路点拨 1 过点 B 作 QP 的平行线交 AC 于 D 那么 BD 的长就是 PQ 的最大值 2 线段 PQ 扫过的面积 S 要分两种情况讨论 点 Q 分别在 AB BC 上 3 等腰三角形 PQC 分三种情况讨论 先罗列三边长 图文解析 1 在 Rt ABC 中 AC 8 BC 6 所以 AB 10 如图 2 当点 Q 在 AB 上时 作 BD PQ 交 AC 于点 D 那么 2 2 ABAQt ADAPt 所以 AD 5 所以 CD 3 如图 3 当点 Q 在 BC 上时 162 2 8 CQt CPt 又因为 所以 因此 PQ BD 所以 PQ 的最大值就是 BD 6 2 3 CB CD CQCB CPCD 在 Rt BCD 中 BC 6 CD 3 所以 BD 所以 PQ 的最大值是 3 53 5 图 2 图 3 图 4 2 如图 2 当点 Q 在 AB 上时 0 t 5 S ABD 15 由 AQP ABD 得 所以 S S AQP 2 AQP ABD S AP SAD 2 15 5 t 2 3 5 t 如图 3 当点 Q 在 BC 上时 5 t 8 S ABC 24 因为 S CQP 1 2 CQ CP 1 162 8 2 tt 2 8 t 所以 S S ABC S CQP 24 t 8 2 t2 16t 40 3 如图3 当点Q在BC上时 CQ 2CP C 90 所以 PQC不可能成为等腰 三角形 当点Q在AB上时 我们先用t表示 PQC的三边长 易知CP 8 t 如图2 由QP BD 得 即 所以 QPAP BDAD 53 5 QPt 3 5 5 QPt 如图4 作QH AC于H 在Rt AQH中 QH AQ sin A AH 6 5 t 8 5 t 在Rt CQH中 由勾股定理 得CQ 22 QHCH 22 68 8 55 tt 分三种情况讨论等腰三角形PQC 1 当PC PQ时 解方程 得 3 4 如图5所示 3 5 8 5 tt 6 510t 当QC QP时 整理 得 22 683 5 8 555 ttt 2 111283200tt 所以 11t 40 t 8 0 解得 3 6 如图6所示 或t 8 舍去 40 11 t 当CP CQ时 整理 得 22 68 8 8 55 ttt 2 5160tt 解得 3 2 如图7所示 或t 0 舍去 16 5 t 综上所述 当t的值约为3 4 3 6 或等于3 2时 PQC是等腰三角形 图5 图6 图7 考点伸展 第 1 题求P Q两点间距离的最大值 可以用代数计算说理的方法 如图8 当点Q在AB上时 PQ 22 QHPH 22 68 55 ttt 3 5 5 t 当Q与B重合时 PQ最大 此时t 5 PQ的最大值为 3 5 如图9 当点Q在BC上时 PQ 22 CQCP 22 2 CPCP 5 8 t 当Q与B重合时 PQ最大 此时t 5 PQ的最大值为 3 5 综上所述 PQ的最大值为 3 5 图 8 图 9 1 1 3 3 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 课前导学 我们先看三个问题 1 已知线段 AB 以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个 顶点 C 的轨迹是 什么 2 已知线段 AB 以线段 AB 为斜边的直角三角形 ABC 有多少个 顶点 C 的轨迹是什 么 3 已知点 A 4 0 如果 OAB 是等腰直角三角形 求符合条件的点 B 的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1 点 C 在垂线上 垂足除外 如图 2 点 C 在以 AB 为直径的圆上 A B 两点 除外 如图 3 以 OA 为边画两个正方形 除了 O A 两点以外的顶点和正方形对角线的交 点 都是符合题意的点 B 共 6 个 解直角三角形的存在性问题 一般分三步走 第一步寻找分类标准 第二步列方程 第三步解方程并验根 一般情况下 按照直角顶点或者斜边分类 然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题 常常和相似三角形 三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线 可以构造两个 新的相似直角三角形 这样列比例方程比较简便 如图 4 已知 A 3 0 B 1 4 如果直角三角形 ABC 的顶 点 C 在 y 轴上 求点 C 的坐标 我们可以用几何的方法 作 AB 为直径的圆 快速找到两 个符合条件的点 C 如果作 BD y 轴于 D 那么 AOC CDB 设 OC m 那么 34 1 m m 这个方程有两个解 分别对应图中圆与 y 轴的两个交点 图 4 例 19 2015 年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1 已知抛物线 E1 y x2经过点 A 1 m 以原点为顶点的抛物线 E2经过点 B 2 2 点 A B 关于 y 轴的对称点分别为点 A B 1 求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式 2 如图 1 在第一象限内 抛物线 E1上是否存在点 Q 使得以点 Q B B 为顶点 的三角形为直角三角形 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 P 为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点 连结 OP 并延长与 抛物线 E2相交于点 P 求 PAA 与 P BB 的面积之比 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 15 益阳 21 拖动点 P 在抛物线 E1上运动 可以体验到 点 P 始终是线段 OP 的中点 还可以体验到 直角三角形 QBB 有两个 思路点拨 1 判断点 P 是线段 OP 的中点是解决问题的突破口 这样就可以用一个字母表示点 P P 的坐标 2 分别求线段 AA BB 点 P 到 AA 的距离 点 P 到 BB 的距离 就可以比较 PAA 与 P BB 的面积之比 图文解析 1 当 x 1 时 y x2 1 所以 A 1 1 m 1 设抛物线 E2的表达式为 y ax2 代入点 B 2 2 可得 a 所以 y x2 1 2 1 2 2 点 Q 在第一象限内的抛物线 E1上 直角三角形 QBB 存在两种情况 图 3 图 4 如图 3 过点 B 作 BB 的垂线交抛物线 E1于 Q 那么 Q 2 4 如图 4 以 BB 为直径的圆 D 与抛物线 E1交于点 Q 那么 QD 2 1 2 BB 设 Q x x2 因为 D 0 2 根据 QD2 4 列方程 x2 x2 2 2 4 解得 x 此时 Q 3 3 3 3 如图 5 因为点 P P 分别在抛物线 E1 E2上 设 P b b2 P c 2 1 2 c 因为 O P P 三点在同一条直线上 所以 即 PPMN OMON 2