粮仓温度检测的数学模型研究

20142014 届毕业生届毕业生 毕业论文毕业论文 题题 目目 粮仓温度检测的数学模型研究粮仓温度检测的数学模型研究 院系名称 院系名称 理学院理学院 专业班级 专业班级 数学数学 F1001F1001 学生姓名 学生姓名 赵伟峰赵伟峰 学学 号 号 201046800105 指导教师 指导教师 慕运动慕运动 教师职称 教师职称 教教 授授 起止日期 起止日期 2013 12 232013 12 23 至至 2014 5 202014 5 20 地地 点点 6 6 号教学号教学 楼楼 2014 年 5 月 22 日 摘摘 要要 粮食测温的主要目的是发现粮食温度变化的规律 正确地分析粮 堆的温度变化情况和趋势 进而准确地判断储粮是否处于安全状态 从而把控粮仓粮食的质量安全 如何运用线性回归拟合分析的方法 配合粮食的温度检测系统 较精确地得到粮仓内粮食温度变化情况 成了一个值得探讨的话题 关键词 粮仓温度 线性回归 检测系统 数学模型 TitleTitle Study on mathematical model of detection granary temperature Abstract The main purpose is to find food grain temperature variation of temperature temperature changes correctly analyze and trends grain heap and then accurately determine whether the stored grain in a safe state thereby controlling the quality and safety of food granary how to use linear regression fitting analysis methods with food temperature detection system an accurate temperature changes within the barn to get food situation has become a topic worth exploring Keywords Granary temperature Linear regression Detection system Mathematical model 目录 目录 0 引言 5 1 建立模型所要解决的问题及分析 6 1 1 问题重述 6 1 2 问题分析 6 1 3 模型假设 7 2 模型建立与求解 7 2 1 问题一的数据处理及分析 8 2 2 问题二的数据处理及分析 13 3 问题三的数据处理及分析 16 3 1 模型思路分析 16 3 2 应用回归分析模型的建立 17 3 3 回归方程的比较 18 3 4 模型的求解与结果分析 19 4 模型结果的检验与误差分析 21 4 1 对于模型结果合理性与可行性检验 21 4 2 模型误差的分析 23 5 模型的推广与改进方向 23 5 1 模型的推广 23 5 2 模型的改进 24 6 模型的优缺点 24 6 1 模型的优点 24 6 2 模型的缺点 24 7 总结 25 8 致谢 25 9 参考文献 26 0 引言引言 手中有粮 心中不慌 粮食作为人们赖以生存的基础 有着不可代替的作用 从个人角度来说 一日三餐 必不可少 没有粮食就无法生存 从国家层面来 说 一个国家必须掌握和控制一定数量的可以灵活支配 质量良好的粮食 才 能 备战备荒 才能保障人民的正常生活 才能维护社会的稳定 才能在日益 复杂的国际环境中立于不败之地 我国是粮食生产和消费大国 而我国粮食仓储环境一直较差 粮食仓储装备 机器管理水平也处于落后状态 怎样储藏粮食使其质量良好 储存时间长 也就 成了重中之重 一般来说 粮食存放在粮仓中 大型的粮仓可以存放数以万计 的粮食 而且这些粮食存放的时间有长有短 为了保证存放在粮仓中的粮食不 致腐烂变质 就必须使粮仓内的温度保持在一定的范围内 为了达到以上要求 就必须建立起一个及稳定又要精确的粮仓智能管理监测系统 同一粮仓内不同位置的温度值是不相等的 温度值与其所在的位置即空间坐 标值有关 要想全面掌握粮仓内的温度情况 需要在粮仓内设置许多个测试点 测试点设置的越多 就越能精确掌握粮仓内的温度情况 如何运用线性回归拟 合分析的方法 配合粮食的温度检测系统 较精确地得到粮仓内粮食温度变化 情况 成了一个值得探讨的话题 1 1 建立模型所要解决的问题及分析建立模型所要解决的问题及分析 1 11 1 问题重述问题重述 现在的粮食检测系统 大多用的是分布式系统 其系统构成一般由微机 单 片机 温度传感器及电缆构成 其中温度传感器分布在粮仓内各个测试点 负 责温度的测量 每个单片机连接若干个温度传感器 主要负责接收各个传感器 的温度数据 并把这些数据送给 PC 机 PC 机是上位机 是整个测温系统的管 理核心 负责数据采集 储存 处理 发出警报信号等工作 同一粮仓内不同位置的温度值是不相等的 温度值与其所在的位置即空间 坐标的值有关 要想全面掌握粮仓内的温度情况 需要在粮仓内设置许多个测 试点 测试点设置的越多 就越能精确掌握粮仓内的温度情况 但是 测试点 的增多不仅增加了粮仓结构的复杂程度 增加了储粮费用 而且在实际操作中 也不可能把粮仓内的各个位置都设成测试点 因此 粮仓内没有设置测试点位 置的温度就无法较精确的估计 为了更准确的计算出某一时间点粮仓中某一位置准确的粮食温度 便于粮食 温度检测研究部门对储粮技术更深一步的研究的改进 我们需要建立合理的数 学模型来正确估算粮仓在研究范围时间内粮食的变化情况 函数关系及图像 本文需要解决的问题有 问题一 根据材料中所给每隔 8 小时的数据 试分析同一层不一时间不同 测试点温度变化情况及比较 问题二 根据材料中所给每隔 8 小时的数据 试分析不同层不同一时间同 一测试点温度变化情况及比较 问题三 根据数据 试设置合理变量 构建合理的数学模型 分析粮仓中 不同测气元件位置的温度变化与时间的关系 1 21 2 问题分析问题分析 此题研究的是粮仓温度检测的数学建模问题 首先 我们根据题目中所给 附件材料分析所需的各种数据 对于粮仓温度检测系统来说 由于粮仓温度的 不同直接影响到粮食的储藏时间和质量 所以粮仓温度的良好控制是衡量粮仓 储量效果好坏的一个重要指标 为了优化粮仓温度检测系统 准确的得到每一 时刻粮仓每个方位的粮食温度情况 我们通过建立合理的评价指标体系 来建 立模型 针对问题一 问题要求根据所给材料中的数据进行合理处理 并分析在每 隔 8 小时的数据 试分析同一层同一时间不同测试点温度变化情况及比较 为 了能更加直观的表现出每个测气元件研究时间范围内粮食温度的变化情况 根 据测气元件分布示意图中各个元件位置的情况 可以采用横向和纵向的比较方 法 通过 excel 对进行数据处理做图 并对得出的图形进行比较分析得出结论 针对问题二 问题要求根据所给材料中的数据进行合理处理 并分析每隔 8 小时的数据 试分析同一层不同时间同一测试点温度变化情况及比较 我们 采用了解决问题一相同的方法 对测气元件进行横向比较并通过 excel 对进行 数据处理做图 并对得出的图形进行比较分析得出结论 针对问题三 问题要求根据所给材料中的数据进行合理处理 并分析每隔 8 小时的数据 试分析不同层同一时间同一测试点温度变化情况及比较 我们 采用了解决问题一相同的方法 对测气元件进行横向比较并通过 excel 对进行 数据处理做图 并对得出的图形进行比较分析得出结论 1 31 3 模型假设模型假设 假设一 为了保证所做模型有实际意义 假设所给附件内容真实可靠有效 假设二 为了方便研究 假设该粮仓在研究范围时间段内测气元件在粮仓 内位置的不同是唯一显著影响某一位置氮气浓度的因素 即不考虑在研究范围 时间段内粮仓内其他因素的变化 假设三 为了方便研究 假设所研究的粮仓在正常的气候温差下进行 不 受其他客观原因影响 2 2 模型的建立与求解模型的建立与求解 2 12 1 问题一的数据处理及结果分析问题一的数据处理及结果分析 根据材料一中所提供的数据分析可得 在提取数据的时候 其中一个变量 时间 的间断是等间距的 而且在提取每一个测气元件不同时间的粮食时 自t 变量 的提取值也是不一样的 根据图一给出的测气元件分布示意图 为了便t 于观察 分析比较从粮仓在间隔内测气元件之间浓度的变化情况及特点 便于 数据在图形在更好的反映出来 记 16 19 开始每隔八小时记一次 在所做图形 中 采用的是纵向 横向测气元件进行比较 其中根据测气元件分布示意图 一横列一纵列 通过所得图形如下 excel 测试点的设定 模拟仓设定四层监测点 模拟仓最下面那层属于第一层 往上以此为第二层 第三层 第四层 第一层的 1 号位对应的温度湿度数据是 Excel 表中的 1 和 2 2 号位对应的是 3 和 4 10 号位对应 19 和 20 第 二层的 1 号位对应的温度湿度数据是 Excel 表中的 21 和 22 20 号位对 应 39 和 40 第三层的 1 号位对应的温度湿度数据是 Excel 表中的 41 和 42 30 号位对应 59 和 60 第四层的 1 号位对应的温度湿度数据是 Excel 表中的 61 和 62 40 号位对应 79 和 80 图图 2 1 12 1 1 测温点每一层的布局示意图测温点每一层的布局示意图 图图 2 1 22 1 2 第一层 第一层 1 41 4 号温度变化离散折线图号温度变化离散折线图 图图 2 1 32 1 3 第一层 第一层 5 105 10 号温度变化离散折线图号温度变化离散折线图 图图 2 1 42 1 4 第二层 第二层 5 105 10 号温度变化离散折线图号温度变化离散折线图 图图 2 1 52 1 5 第二层 第二层 1 41 4 号温度变化离散折线图号温度变化离散折线图 图图 2 1 62 1 6 第三层 第三层 1 41 4 号温度变化离散折线图号温度变化离散折线图 图图 2 1 72 1 7 第四层 第四层 1 41 4 号温度变化离散折线图号温度变化离散折线图 图图 2 1 82 1 8 第四层 第四层 5 105 10 号温度变化离散折线图号温度变化离散折线图 从图 2 1 2 到图 2 1 8 可以看出 这八个图是在同一层面上粮食随温度变 化情况 每一层的 5 至 10 号的变化情况大致相同 1 至 4 号的变化情况大致相 同 就图 2 1 4 测温元件 5 6 7 8 9 10 号测试点变化情况来说 在 16 09 开始检测 起始点入库粮食温度都差不多 在 18 摄氏度左右 在 16 小时内温 度趋于平缓状态 只有 5 号检测点的温度有所上升 在十六小时以后整个研究 过程一直趋于平稳上升趋势 而就图 2 1 5 测温元件 1 2 3 4 温度变化情况来说 1 号和 4 号位置的 温度变化情况一致并相互重叠 2 号 3 号温度变化较一致 2 号温度比 3 号温 度高 在 16 09 开始检测 起始点入库粮食温度都差不多 在 18 摄氏度左右 在 16 小时内 1 号 4 号检测点温度处于先降后升 在十六小时以后整个研究过 程一直趋于平稳上升趋势 16 小时内 2 号 3 号检测点温度处于先升后降 在 十六小时以后整个研究过程一直趋于平稳上升趋势 从这四层的的数据来看 测温元件 5 6 7 8 9 10 号测试点的温度都 是 5 号 6 号最高 8 号 9 号最低 测温元件 1 2 3 4 号测试点的温度变化 2 号 3 号最高 1 号 4 号最低 从整个测温元件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号测试点的温度来看 2 3 5 6 号高 1 4 7 8 号低 9 10 号高 2 22 2 问题二的数据处理及结果分析问题二的数据处理及结果分析 根据材料中所给每隔 8 小时的数据 试分析不同层不同一时间同一测试 点温度变化情况及比较 由于粮仓可以看成一个立体图形 粮食温度的变化也 受粮仓高度的影响 下面是测温元件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号测试 点在不同层的温度变化情况示意图 图图 2 2 12 2 1 1 1 号检测点随时间的温度变化离散折线图号检测点随时间的温度变化离散折线图 图图 2 2 22 2 2 2 2 号检测点随时间的温度变化离散折线图号检测点随时间的温度变化离散折线图 图图 2 2 32 2 3 号 号 6 6 检测点随时间的温度变化离散折线图检测点随时间的温度变化离散折线图 图图 2 2 42 2 4 8 8 号检测点随时间的温度变化离散折线图号检测点随时间的温度变化离散折线图 图图 2 2 52 2 5 1010 号检测点随时间的温度变化离散折线图号检测点随时间的温度变化离散折线图 从图 2 2 1 到图 2 1 5 可以看出 是从高度方面说的 所选的几个检测点 是根据粮仓不同位置的特殊测试点所选的 观察图 2 2 1 可以看出 1 号检测点在 16 09 开始检测 起始点入库粮食温 度在 18 摄氏度左右 在 16 小时内 1 号检测点温度处于先降后升 在十六小时 以后整个研究过程一直趋于平稳上升趋势 观察图 2 2 2 可以看出 2 号检测点在 16 09 开始检测 起始点入库粮食温 度在 18 摄氏度左右 在 16 小时内 2 号检测点温度先降后升的趋势不太明显 在十六小时以后整个研究过程一直趋于平稳上升趋势 观察图 2 2 3 可以看出 6 号检测点在 16 09 开始检测 起始点入库粮食温 度在 18 摄氏度左右 在 40 小时内 3 号检测点温度处于平稳状态 在 40 小时以 后整个研究过程一直趋于平稳上升趋势 观察图 2 2 4 可以看出 8 号检测点在 16 09 开始检测 起始点入库粮食温 度在 18 摄氏度左右 在 40 小时内 1 号检测点温度处于平稳的下降趋势 在 20 小时以后整个研究过程一直趋于平稳上升趋势 观察图 2 2 5 可以看出 10 号检测点在 16 09 开始检测 起始点入库粮食 温度在 18 摄氏度左右 在 16 小时内 10 号检测点温度处于平稳的下降趋势 在 十六小时以后整个研究过程一直趋于平稳上升趋势 3 3 问题三的数据处理及结果分析问题三的数据处理及结果分析 3 13 1 模型思路分析模型思路分析 问题一与问题二的图形中可以直观的描述出粮仓中某一时间段内每个测温 元件的粮食温度变化及趋势 但是不足之处是所有的图形都是折线图 不是所 有数据做出来的图形 存在一定的误差 并且除了实验所记录的数据以外 我 们无法准确的知道其他时间点及位置的粮食温度 为了达到这一目的 我们需 要建立合适的数学模型 利用线性拟合方法可以把上面统计处理所得数据通过 平滑曲线反映出来 便于更好观察其变化特点 运用 Mathematica 软件 进行一 元多项式高次线性拟合 在整个问题中 时间 一直是一个自变量 还有一个自变量是检测元件位置 t 因变量是粮食温度大小 设为 这样我们就可以得到一组组的数据c ii yx 寻找因变量和自变量之间的函数关系解析式 为此 我们可以 m 2 1 0i 采用曲线拟合回归分析法来找到这个函数解析式 所需数据在材料一 xFy 和材料二中提取 3 23 2 实用回归分析模型的建立实用回归分析模型的建立 1 一元线性回归方程的建立 在只考虑两个变量之间的关系时 用来描述与之间的线性关系的数学结xy 构的通常表达形式为 3 3 1 xy 10 上式 3 3 1 将实际问题中与之间的线性关系用了两个部分来描述 一部xy 分是由自变量的变化引起了线性变化的部分 即 另一部分则是由xyx 10 其他的一切随机因素引起的 记作 上式 3 3 1 确切的表达了变量与 x 之间的线性关系的密切相关 但密切的程度还没有到由一个确定唯一的yx 的这种特殊关系 y 上式 3 3 1 就称为就称作变量对的一元线性回归理论模型 一般称yx 为被解释变量 即因变量 为解释变量 即自变量 式中和是未知参yx 0 1 数 通常称为回归常数 是回归系数 表示的是其他随机因素的影响 0 1 在式 3 3 1 中一般是假定是不可观察的随机性误差 它是一个随机的变量 通常我们会假定满足 3 3 2 var 0 2 E 其中 表示的是的数学期望 表示的是的方差 对上式 3 3 1 E var 两边求期望 得到 3 3 3 xyE 10 我们通常就称式 3 3 3 为回归方程 一般情况下 对于所研究的某个问题 从中获取 n 组样本观测值 如果它们复合模型 3 3 1 则 nn yxyxyx 2211 3 3 4 xyi 10 2 1ni 由式 3 3 2 有 3 3 5 var 0 2 i i E 2 1ni 通常对于获得的 n 组数据假定是独立观测的 所以对于与 n yyy 21 都是相对独立的随机变量 但是是确定性变量 它 n 21 2 1nixi 的值是可以精确地测量和控制的 称式 3 3 4 为一元线性回归理论模型 对式 3 3 4 两边分别求数学期望和方差 得 3 3 6 ii xyE 10 2 var i y 2 1ni 式 3 3 6 表示的是随机变量的期望不相同 方差相同 所 n yyy 21 以是独立的随机变量 但是是不同分布 但是对于的 n yyy 21n 21 随机变量时独立同分布的 从平均意义上表达变量与的统计规律性 关于这一点 ii xyE 10 yx 在应用上非常重要 由于人们关心的正是这个平均值 正确理解回归方程的这 一特点对实际生活应用有很重要的指导意义 尤其是在宏观经济的研究中 例 如 在收入和支出的研究中 人们也许关心的正是当国民收入到达某个水xy 平时 人均消费能力达到多少 在玉米平均产量与施肥量的关系中 人们yx 关心的正是当施肥量确定后 玉米的平均产量是多少 x 回归分析的主要任务就是通过 n 组样本观测值 对 ii yx 2 1ni 进行估计 一般用分别表示的估计值 则称 1 0 10 1 0 3 3 7 xy 10 为关于的一元线性经验回归方程 yx 3 33 3 回归方程的比较回归方程的比较 有时通过同一组数据我们可能得到不同的回归方程 通常采用两个指标选 择出最优方程 指标如下 1 拟合系数 其越大说明残差越小 回归曲线拟合越好 2 R 2 残差越小说明拟合优度越好 3 43 4 模型的求解与结果分析模型的求解与结果分析 由于检测元件比较多 对每一个元件的数据都进行处理太过繁琐 所以选 取了其中几个代表性的位置进行了计算 为了是每个范围都有涉及到 选取了 1 号检测点和 10 号检测点 Excel 基于以上的原理可以很方便的对数据进行回归分析 根据附录利用 Excel 软件进行回归拟合 对所提取的有效数据 我们分别进行了多种不同的 线性回归分析和非线性回归分析 最后根据 3 3 2 中指标 认真分析比较最终 选择了相对而言回归优度较高的函数 其相关图像信息如下 图图 3 1 1 号检测点线性回归拟合示意图号检测点线性回归拟合示意图 图图 3 2 10 号检测点线性回归拟合示意图号检测点线性回归拟合示意图 图图 3 3 1 号检测点的残差号检测点的残差 图图 3 4 10 号检测点的残差号检测点的残差 图 3 3 3 到 3 3 4 表示的是 1 号 10 号检测点的残差 残差越小拟合越高 且应该分布在中间线的两侧 从图上看 拟合都较为理想 回归统计 线性回归的系数 0 9716787 89 拟合系数 0 9441596 7 调整后的拟合系数 0 9385756 37 标准误差 0 5982157 32 观测值 12 表一 表一 1 1 号检测点拟合系数数据表号检测点拟合系数数据表 回归统计 线性回归的系数 0 9716787 89 拟合系数 0 9441596 7 调整后的拟合系数 0 9385756 37 标准误差 0 5982157 32 观测值 12 表二 表二 1010 号检测点拟合系数数据表号检测点拟合系数数据表 由上表一 表二中可以看出拟合系数约为 0 94 充分说明拟合优度较高 另一方面调整后的拟合系数也达到了 0 93 比较而言拟合度为优 由以上数据和图表可以判断以上最佳拟合曲线为线性拟合 由 Excel 的线 性回归分析得到 1 号和 10 号拟合度较高的函数分别为 1 号检测点 439 166504 0 xy 10 号检测点 171 164711 0 xy 4 4 模型结果的检验与误差的分析模型结果的检验与误差的分析 4 14 1 对于模型结果合理性与可行性的检验对于模型结果合理性与可行性的检验 以 8 号检测点为例 输入数据得到如下结果 图图 4 1 8 号检测点线性回归拟合示意图号检测点线性回归拟合示意图 图图 4 2 8 号检测点线性回归拟合示意图号检测点线性回归拟合示意图 观测值预测 Y残差 116 606650731 59334927 217 125194670 37480533 317 64373861 0 44373861 418 16228255 0 86228255 518 68082649 0 880826489 619 19937043 0 399370429 719 71791437 0 317914369 820 23645831 0 336458309 920 755002250 044997752 1021 273546190 226453812 1121 792090130 407909872 1222 206925280 59307472 8 号检测点的数据拟合比较好 可见模型的建立符合要求 本次建模有实验得到的大量数据 在做建模的时候 只是提取的一部分的 数据得到了以上的拟合函数 所以通过函数我们可以计算出未用的时间的氮气 浓度与实验所得进行对比 对比相差较小就说明了模型的合理性和可行性 4 24 2 模型误差的分析模型误差的分析 由于实际现实中受到诸多因素的影响 计算结果一定会有相应的误差的 下面从以下几个方面分析误差产生的影响 第一 误差来自原始数据 在提取数据时提取数据与真实数据之间的的误 差 由于数据提取时不可避免的人工误差 导致模型在计算的时候具有不准确 性 第二 由于线性拟合函数是由离散的 不连续点拟合出的函数 本身就具 有误差性 所以对于函数中的变量可能具有误差性 第三 误差来自问题三 因为粮食浓度的影响不仅仅是未知影响 而在这 里就忽略了其他因素的影响 另外数据有限不能够很好地全面的反应真实情况 5 5 模型的推广与改进方向模型的推广与改进方向 5 15 1 模型的推广模型的推广 问题三利用回归分析的方法寻求粮仓温度变化和时间之间的函数解析式的 数学模型 可以推广到任意一对具有相关关系的自变量和因变量的函数求解 经过改进甚至可以进行多元线性和非线性拟合 而问题三的利用回归分析拟合出函数解析式的方法可以推广到多元线性和 非线性回归 这种思想并不局限于研究粮仓氮气浓度的变化 还可以应用到收 费口车辆排队问题 商品质量和用户满意度等问题 5 25 2 模型的改进模型的改进 1 在问题一和问题二的数据收集中 存在误差 可以适当改进 2 问题一和二的拟合结果比较规律 但这是建立在有限数据上的 要想 更好的建立模型还需要大量的真是的数据 3 问题三的回归分析模型的数据可以取的更多一点 从而使回归更精确 4 要想建立可靠 可预测的粮仓温度检测模型 需要建立一个大的粮仓数 据库 切实防护好粮食的安全为国计民生做出贡献 6 6 模型的优缺点模型的优缺点 6 16 1 模型优点模型优点 1 模型的构建应用的回归分析方法较简单 荣易理解 2 模型求解比较容易实现 而且模型实用性及推广性较强 只要收集到 数据并进行简单处理即可 3 所模型易修改 分析起来容易入手 6 26 2 模型缺点模型缺点 1 函数考虑简单 误差较大 2 影响因素比较多 但是建模时考虑的不周全 且不易避免 比如气候 粮食的品种 储藏地点的选择 3 函数关系式简单 数据不足 若想完善需要建立一个大的粮仓数据库 7 7 总结总结 我国是一个人口大国 粮食安全一直都是与民生密切相关的一个问题 为 了更好的优化粮仓那个温度检测技术 为粮食储藏 粮食安全提供更好的支持 是本毕业设计的目的 本文旨在应用数学模型来分析研究粮仓温度检测的数学 问题 对于应用数学解决问题的能力的提高有一定的促进意义 对于处理粮仓氮气扩散这一问题 主要是建立在处理大量数据上 在毕业 设计期间树立应用数学模型来分析研究并解决问题 由于本科数学专业知识学 习的有限以及计算机方面的不足 建立出来的模型并不是最合理最完善的 还 会存在一定的误差 但总体上来说本毕业设计对储藏的粮食中的温度检测变化 规律初步研究 并得出了一定的规律达到了预期的结果 基本达到了导师当初 设计本课题设计的目的 8 8 致谢致谢 四年的时光转瞬即逝 即将这个带给我太多美好的地方 我感到万分的不 舍 但是天下没有不散的筵席 我们终将踏上新的征程 开始新的明天 在这里我首先要感谢指导我完成本篇论文的慕运动老师 在论文设计期间 从刚开始的开题报告 外文翻译到后来论文思路方向 结构框架设计 论文进 度控制以及最后的修改阶段 慕运动老师都给了我很多指导和帮助 并及时提 醒我注意各个阶段的任务安排情况 最终使我得以顺利按期完成本篇论文 在 此向慕老师表示衷心地感谢 同时感谢大学四年里我所有的老师 他们不单教我学专业知识 还交给我 们做人的道理 不仅关心我们的学习情况 还经常了解我们的