实数,无理数常见形式

精锐教育学科教师辅导讲义精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号 学员编号 xxxxxxxxxx 年年 级 级 xxxx 课课 时时 数 数 xxxx 学员姓名 学员姓名 xxxxxxxx 辅导科目 数学辅导科目 数学 学科教师 学科教师 xxxx 授课类型授课类型C 数的开方 C 实数及其运算 T 实数应用 授课日期及时段授课日期及时段Xxxx 年年 x 月月 x 日日 xxxx xxxx 教学内容教学内容 一 专题讲解一 专题讲解 平方根平方根 定义 定义 一般地 如果一个数的平方等于 a 那么这个数叫做 a 的平方根 或叫 a 的二次方根 特点 特点 一个正数有正负两个平方根 它们互为相反数 0 的平方根是 0 负数没有平方根 表示方法表示方法 一个整数 a 的正的平方根表示为 或 其中 a 叫做被开方数 中的 2a 2 a 2 叫做根的指数 一般可省略不写 或 读作 二次根号 a 或 根号 a 正数 a 的负a 2 a 的平方根表示为 或 正数 a 的平方根为 读作 正负根号 a 我们把 a 的a 2 aa 正的平方根称为 a 的算术平方根 a 开平方运算开平方运算 定义 求一个非负数 a 的平方根的运算叫做开平方 其中数 a 叫做被开方数 平方运算与开平方运算 是互为逆运算的关系 平方根 或算术平方根 的几个公式 式子 有意义的条件为 a 0 a 表示 a 的算术平方根 是非负数 即 0 aaa a a 0 a a 0 a a 0 或 a a 0 2 a 2 a 2 a a 例题 1 使式子有意义的 x 的取值范围是 2 5 2 x x 2 使等式成立的 x 的值 2 xx A 是正数 B 是负数 C 是 0 D 不能确定 3 的平方根是 81 A B C D 99 33 非负性 非负性 A 非负数 若 a 0 则称 a 为非负数 初中阶段有三种非负数 aa 2 a B 若几个非负数的和为 0 在这几个非负数均为 0 例题 1 已知 23 1 1 0 abab 则 2 已知实数 2 11 a b20 24 c a b cbccc ab 满足则的算术平方根是 3 ABC 的三边长为 a b c a 和 b 满足 求 c 的取值范围 2 1440abb 立方根立方根 定义定义 如果一个数 x 的立方等于 a 即 a 那么就称这个数 x 为 a 的立方根或三次方根 3 x 表示法表示法 a 的立方根表示为 其中 a 为被开方数 中的 3 为根指数 根指数 3 不能省略 3 a 3 读作 三次根号 a 或 a 的立方根 3 a 性质性质 任意数都有立方根 任意一个数都有唯一的立方根 正数有一个正的立方根 负数有一个负的 立方根 0 的立方根仍为 0 有关立方根的补充说明和公式有关立方根的补充说明和公式 1 在中 被开方数 a 可为正数 负数 0 且的正负与 a 一致 3 a 3 a 2 3 a 3 a 3 a 3 3 a 3 3 a 4 开立方运算 求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方运算 开立方运算与立方运算是互为逆运算 的关系 练习 1 已知实数 a 满足 323 0 11aaaaa 那么 2 立方根等于 的数是 8 A B C D 5126422 3 设2a 2 的整数部分为 小数部分为b 求 16ab 8b的立方根 开平方与开立方的联系与区别开平方与开立方的联系与区别 在遇到开方开不尽的情况时 如无特殊说明 计算结果一律保留四位有效数字 在实数运算中 被开方数如果是带分数 要先化为假分数 然后再进行计算 二 专题达标 一 细心填一填 每空一 细心填一填 每空 2 分 共分 共 32 分 分 1 125 的立方根是 9 的算术平方根是 的平方根是 16 2 如果 那么 x 如果 那么 3 x9 2 x x 3 要使有意义 则 x 可以取的最小整数是 53 x 4 平方根等于本身的数是 立方根等于本身的数是 5 如果 那么 若 则 x 0 2 1 2 2 x xxx 2 6 若是实数 则ba 012 1 ba 2 2 ba 7 的立方根是 计算 64 8 若和互为相反数 求的为 3 12 a 3 31b b a 9 式子中的的取值范围是 2 1 x x x 15 2 的相反数是 绝对值是 3 10 已知正数 a 和 b 有下列命题 1 若 则 2 若则 3 2 baab13 baab 2 3 若则 根据以上的规律猜想 若 则 6 baab3nba ab 16 若 1 3 化简 x1 x3 x 20 已知实数 在数轴上的位置如图所示 化简 的结果是 abcba bc 0acb 二 精心选一选 每小题二 精心选一选 每小题 3 分 共分 共 21 分 分 1 的算术平方根是 2 3 A 9 B 3 C D 33 2 下列叙述正确的是 A 0 4 的平方根是 B 的立方根不存在2 0 3 2 C 是 36 的算术平方根 D 27 的立方根是 36 3 下列等式中 错误的是 A B C D 864 15 11 225 121 6216 3 1 0001 0 3 4 下列各数中 无理数的个数有 1 0 10100172316 42 0 A 1 B 2 C 3 D 4 5 化简的结果是 1 21 A B C 2 D 22 22 2 8 下列说法正确的个数是 两个无理数的和一定是无理数 两个无理数的和一定是有理数 两个无理数的积一定是无理数 两个无理数的积一定是有理数 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 三 认真答一答 共三 认真答一答 共 47 分 分 2 求下列各式中的 x 的值 8 分 04 1 2 x54 3 2 3 x 3 已知满足 求的平方根 6 分 yx 0 22 132 yxyxyx 5 4 2 4 若 求 yx的值 5 分 122 xxy 5 代数式的最大值为 6 求 a b 的值ba 3049 22 ba 四 实践与探究四 实践与探究 12 分 分 先计算下列各式 2 3 2 0 5 2 6 2 3 4 2 1 3 2 0 根据计算结果 回答 一定等于 a 吗 你发现其中的规律了吗 请你用自己的语言描述出来 2 a 利用你总结的规律 计算 若 则 2x 2 2 x 2 3 14 一 专题精讲 实实数数可以分为有有理理数数和无无理理数数两类 无理数 无限不循环小数叫做无理数 三种常见的无理数 无理数 无限不循环小数叫做无理数 三种常见的无理数 1 所有开不尽的方根都是无理数 所有开不尽的方根都是无理数 2 一 一 些含些含 的数是无理数 的数是无理数 3 无限不循环的小数 无限不循环的小数 例题 例题 1 下面 5 个数 其中是有理数的有 1 3 1416 3 14 1 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2 在下列说法中 错误的是 A 无限小数都是无理数 B 实数与数轴上的点一一对应 C 无理数都是无限小数 D 带有根号的数不都是无理数 实数 a 的相反数为 a 0 的相反数是其本身 若 a 与 b 互为相反数 则 a b 0 实数 a 的倒数为 a 0 若 a 与 b 互为倒数 则有 ab 1 1 a 实数 a 的绝对值表示为 正实数的绝对值等于它本身 0 的绝对值为 0 负实数的绝对值是它的相a 反数 即 a a 0 a a 0 a 例题 1 的倒数是 的绝对值是 的相反数是 3 5 2 实数与数轴上的点一一对应 数轴上每一个点都表示一个实数 反过来 每一个实数都可以用数轴上 的一个点表示 在数轴上 右边对应的实数比左边点对应的实数大 正实数大于一切负实数 0 大于 一切负数 正实数大于 0 实数的运算顺序和有理数一样 练习 1 若 35 b ab 的小数部分是a 3 5的小数部分是则的值为 A 0 B 1 C 1 D 2 实数的大小比较方法 实数的大小比较方法 1 数轴比较法 2 代数比较法 3 差值比较法 4 商值比较法 5 倒数比较法 若 a 0 b 0 则 a b 1 a 1 b 6 平方比较法 若 a 0 b 0 则 a b 2 a 2 b 7 开方比较法 若 a 0 b 0 则 a bab 8 估算法 5 实数中的非负数即性质 1 任意实数 a 的绝对值是非负数 即 0 任意实数 a 的平方是非负数 即a 0 0 n 为正整数 任意非负数 a 的 n 次算术平方根是非负数 即 0 a 0 常 2 a 2n a n a 用的是 0a 2 性质 若 0 则 a 0 b 0 反之亦然 若 0 则 a 0 b 0 反之亦然 2 a 2 b ab 若 0 则 a 0 b 0 非负数有最小值 最小值为 0 有限个非负数之和仍然是非负数 ab 例题 1 若 则的值等于 2 1 2 30abc 23 abc A B C D 06 24 32 2 已知 m n 是有理数 且 求 m n 的值 52 32 5 70mn 二 专题过关二 专题过关 一 一 填空题 填空题 1 的算术平方根是 2 6 2 43 3 2 的平方根是 4 实数 a b c 在数轴上的对应点如图所示 化简 cbcbaa 2 5 若 m n 互为相反数 则 nm 5 6 若 0 则 m n 2 2 1 nm 7 若 则 a 0 aa 2 8 的相反数是 12 9 3 8 3 8 10 绝对值小于 的整数有 二 二 选择题 选择题 11 代数式 中一定是正数的有 1 2 xxy 2 1 m 33 x A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 12 若有意义 则 x 的取值范围是 73 x A x B x C x D x 3 7 3 7 3 7 3 7 13 若 x y 都是实数 且 则 xy 的值 42112 yxx A 0 B C 2 D 不能确定 2 1 14 下列说法中 错误的是 A 4 的算术平方根是 2 B 的平方根是 381 C 8 的立方根是 2 立方根等于 的实数是 15 64 的立方根是 A 4 B 4 C 4 D 16 16 已知 则的值是 04 3 2 ba b a 3 0cba A B C D 4 1 4 1 4 3 3 4 3 17 计算的值是 33 841627 A 1 B 1 C 2 D 7 18 有一个数的相反数 平方根 立方根都等于它本身 这个数是 A 1 B 1 C 0 D 1 19 下列命题中 正确的是 A 无理数包括正无理数 0 和负无理数 B 无理数不是实数 C 无理数是带根号的数 D 无理数是无限不循环小数 20 下列命题中 正确的是 A 两个无理数的和是无理数 B 两个无理数的积是实数 C 无理数是开方开不尽的数 D 两个有理数的商有可能是无理数 三 三 解答题 解答题 21 求的平方根和算术平方根 22 计算的值 9 7 2252826 23 解方程 x 8 0 3 24 若 求的值 0 13 1 2 yxx 2 5yx 25 计算 5 1 5 5 26 若 求 3x y 的值 13223 xxy 四 综合应用 本题共四 综合应用 本题共 10 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 20 分 分 27 若 a b c 满足 求代数式的值 01 5 3 2 cba a cb 28 已知 求 7 x y 20 的立方根 0 5 252 2 x xxy 1 1 实数应用题 实数应用题 例 7 1 检修小组从 A 地出发 在东西路上检修线路 如果规定向东行驶为正 向西行驶为负 一天中 行驶记录如下 单位 km 4 7 9 8 6 4 3 1 求收工时距 A 地多远 2 若每千米耗油 0 3L 问从出发到收工共耗油多少升 2 小丽想用一块面积为 400cm2正方形纸片 沿着边的方向裁出一块面积位 300 cm2的长方形纸片 使它的长宽之比为 3 2 不知能否裁出来 正在发愁 小明见了说 别发愁 一定能用一块面积大的 纸片裁出一块面积小的纸片 你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗 3 已知某商品价格逐年下降 到第四年销售价已经变成原来的 80 假设每年下降的百分比是一样的 试求该商品每年下降的百分比 已知 结果精确到 0 1 9283 0 8 0 3 2 2 技巧性实数运算技巧性实数运算 1 2 1 11 1 1 nnnn 11 1 1 dnnddnn 例例 8 8 计算 1 2007654321 2 20001999 1 43 1 32 1 21 1 3 2 1 2007 3 1 2006 4 1 2005 6 1 2004 练习 1 10098 1 75 1 53 1 31 1 2 2 1 3 4 3 17 4 3 9 6 5 5 3 3 实数规律实数规律 探索性问题探索性问题 例 9 1 观察下列数 2 5 10 26 37 50 根据规律其中 x 65 x 2 观察下面三行数 3 9 27 81 243 729 0 12 24 84 240 732 1 3 9 27 81 243 a 第 行数按什么规律排列 b 第 行数与第 行数分别有什么关系 c 取每行数的第 10 个数 计算这三个数的和 2 已知 4 3 4 4 3 4 3 2 3 3 2 3 2 1 2 2 1 2 若 都是正整数 则的最小值是 1010 b a b a ba ba 3 由猜想 12321111 12111 11 222 19 2 111 个 4 观察下列式子 32642212 542086424312642 请根据上述规律计算 2002 2004 2006 2008 2100 5 观察下列各式 请你将猜想到的规律用含自然数 5 1 4 5 1 3 4 1 3 4 1 2 3 1 2 3 1 1 的代数式表示出来是 1 nn 课堂检测课堂检测 1 小明买了一个体积为 4100的球形礼物 商店里有 15 15 15 20 20 20 40 40 40的三 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 种规格的包装盒 盒越大 价格越高 小明选择哪种包装盒比较合适 4 球的体积 半径的立方 3 2 设实数的整数部分为 a 小数部分为 b 求的值 5 2 5aab 3 已知甲数是的平方根 乙数是的平方根 求甲 乙两个数的积 7 1 9 1 2 4 4 火星有两个非常小的卫星 较大的一颗直径为 27km 较小的一颗的体积是较大卫星的 求较小卫星的直径 125 729 5 求与这两个数的小数部分的差 结果精确到 0 01 113 3 128 6 如图 在数轴上 1 的对应点 A B A 是线段 BC 的中点 则点 C 所表示的数是 2 A B 22 22 C D 21 12 7 细心观察图表 认真分析各式 然后解答问题 2 1 2 S1 1 2 1 2 1 3 S2 2 2 2 2 1 4 S3 3 2 3 1 请用含有 n n 是正整数 的等式表示上述变化规律 2 推算出 OA10的长 3 推算出 S12 S2 2 S32 S102 的值 x 210 CBA O 1 S2S4 S3 S5 A2 A1 A3 A4 A5 A6 1 1 1 1 1 8 已知的平方根是 4 是的算术平方根 求的值 21a 3 31ab 2ab 9 已知 求的平方根 322 xxy x y 10 已知 是的整数部分 是的小数部分 求的值 a5b5 2 5 a b 11 已知实数 a b 在数轴上的位置如图所示 b a0 试化简 a b 2 a b 12 若 2x 3 2和 y 2互为相反数 求 x y 的值 13 如果 A 的平方根是 2x 1 与 3x 4 求 A 的值 14 已知与互为相反数 求的值 3 21x 3 23 y y x21 15 已知是的算术平方根 是的立方根 2 8 ba aM 8 a 42 3 ba bN 3 b 的平方根 NM 16 已知 x y 都是实数 且 求的平方根422 xxy x y 17 如果一个数的平方根是和 求这个数 3 a152 a 18 已知 a b 满足 解关于的方程 0382 bax 12 2 abxa 19 一个正方形的表面积为 2400 求这个正方形的体积 2 cm 20 1 2 3 22 1213 16 8 1 3 2 3232 21 化简 2 33 3125216 22 已知 a b 满足 解关于的方程 0382 bax 12 2 abxa 课后作业课后作业 一 选择题 一 选择题 1 在实数范围内 下列判断正确的是 A 若baba 则 B 若 baba 则 2 C 若 22 baba 则 D 若baba 则 33 2 以下四个命题 若是无理数 则是实数 若是有理数 则是无理数 若是整数 则是有aaaaaa 理数 若是自然数 则是实数 其中 真命题的是 aa 3 当 下列关系式成立的是 01a aa 3 aa aa 3 aa aa 3 aa aa 3 aa 4 已知 0 x 或 15 使式子有意义的 x 的取值范围是 2 5 2 x x 16 大于 小于的整数有 个 2 10 17 点A在数轴上和原点相距3个单位 点B在数轴上和原点相距5个单位 则A B两点之间的距离是 18 点 A 在 x 轴上 且到 y 轴的距离为 B 与 A 点关于点 1 0 对称 则 B 点坐标为5 19 若 其中 为整数 则 101nn 81mm mnmn 20 如果a是15的整数部分 b是15的小数部分 ab 21 若有意义 则 a 能取的最小整数值为 15 a 22 是个整数 那么最小正整数 a 是 a200 23 已知 x y 是有理数 且 x y 满足 则 x y 2 232233 2xyy 24 我们知道 黄老师又用计算器求得 534 32 553344 32 555333444 32 则计算等于 555533334444 32 2 333444 32011 2 42011 个 个 25 请你观察 思考下列计算过程 因为 112 121 所以 11 因为 1112 12321 所以 12111112321 由此猜想 76543211234567898 三 综合题 三 综合题 26 化简下列各题 1 2 3 3 125 124 1027 0 4 1 6 3 27 10 225 20 4 1 12121 3 4 2 3