第十二讲 空间中的角与距、平行与垂直离

第十二讲 空间中的角与距离 平行与垂直 一 考点整合 一 三视图 正视图 侧视图 俯视图 二 空间中线线平行 线线垂直的判定与性质 线面平行 线面垂直的判定与性质 面面平行 面面 垂直的判定与性质 三 空间中的距离 点点 点线 点面 线线 线面 面面及球面距离共七种形式 线面距离 面面 距离一般要化成点面距离来求 点面距离的三种求法 1 直接法 作面的垂线段 2 等体积法 3 cos PAAP PA n PhPAPA nPA ee n 设是平面的斜线 为斜足 为平面外一点 向量为平面的法向量 则点 到平面的距离 其中为单位法向量 异面直线间距离的求法 1 定义法 找出两异面直线的公垂线段 求其长度 2 化为线面距离 1212 3 nl lAl Bl PA n dPA e n 向量法 设向量是异面直线公垂线上的方向向量 则异面直线的距 离 四 空间中的角的向量求法 1 122331 23 0 0 0 cos 22 sin cos a ba bu v ab a a ba uu v a ba uu v 设异面直线上的方向向量分别为 平面 的法向量分别为与所成的角为 与所成的角为与所成的角为则 例 1 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1414 正视图为一个三角形的几何体可以是 写出三种 例例 2 20102010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 7 7 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 3 1 A 3 2 B 1C 2D 2 1 主视图 左视图 2 俯视图 例例 3 20102010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6 6 如图 1 ABC 为正三角形 平面 AA BB CC CC ABC 且 3 AB 则多面体 ABC 的正视图 也称主视图 是 AA 3 2 BB CC A B C 作业 1 20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 1212 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其表面积 等于 A B 例 4 20102010 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 3 3 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 例例 5 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 7 7 正方体 ABCD 中 B与平面 AC所成角 1111 ABC D 1 B 1 D 的余弦值为 A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 例 6 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 1212 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 例 7 20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 6 6 如图 若是长方体被平面截去几何体 1111 ABCD A B C DEFGH 后得到的几何体 其中 E 为线段上异于的点 F 为线段上异于的点 且 11 EFGHBC 11 A B 1 B 1 BB 1 B 则下列结论中不正确的是 EH 11 AD A B 四边形是矩形 C 是棱柱 D 是棱台EHFGEFGH 例例 8 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1010 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱长都为 顶点都在一个球a 面上 则该球的表面积为 A B C D 2 a 2 7 3 a 2 11 3 a 2 5 a 例 9 20102010 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 1010 过正方体的顶点 A 作直线 使 与棱 1111 ABCDABC D ll AB AD 所成的角都相等 这样的直线 可以作 1 AAl A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 例 10 20102010 年高考浙江卷年高考浙江卷 6 6 设 m l 是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 作业 1 2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 11 与正方体的三条棱 所在直 1111 ABCDABC D AB 1 CC 11 AD 线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 2 20102010 年高考数学湖北卷理科年高考数学湖北卷理科 1313 圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水 若放入三个相同的球 球的半径与圆柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上 面的球 如图所示 则球的半径是 cm 3 2010 2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 10 10 到两互相垂直的异面的距离相等的点 在过其 中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 4 20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 1515 如图 二面角的大小是 60 线段 l AB Bl 与 所成的角为 30 则与平面所成的角的正弦值是 ABlAB 5 2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 16 已知球的半径为 4 圆与圆为该球的两个小圆 为圆OMNAB 与圆的公共弦 若 则两圆圆心的距离 MN4AB 3OMON MN 1 A 1 B 1 C 1 D A D CB 第十三讲 空间中的角与距离 平行与垂直 二 例 1 20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 1818 w w w k s5 u c o m已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1 点 M 是棱 AA 的 中点 点 O 是对角线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 求三棱锥 M OBC 的体积 例 2 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1616 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 例 3 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1818 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD ACBD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 中点 1 证明 PEBCA 1 若APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 例 4 2010 2010 年高考北京市理科年高考北京市理科 16 16 如图 正方形ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB CE EF 1 2 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面 BDE 求二面角A BE D的大小 例 5 20102010 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 1919 已知三棱锥 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 作业 1 2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 19 如图 直三棱柱 中 为的中点 111 ABCABC ACBC 1 AAAB D 1 BB 为上的一点 证明 为异面直线E 1 AB 1 3AEEB DE 与的公垂线 设异面直线与的夹角为 45 1 ABCD 1 ABCD 求二面角的大小 111 AACB 2 2010 2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 19 19 如题 19 图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 底面 ABCD PA AB 点 E 是棱 PB6 的中点 求直线 AD 与平面 PBC 的距离 若 AD 求二面角 A EC D 的平面角的余弦值 3 D AB C D M O A B C A D P E BC 题 19 图 第十二讲 空间中的角与距离 平行与垂直 一 考点整合 四 三视图 正视图 侧视图 俯视图 五 空间中线线平行 线线垂直的判定与性质 线面平行 线面垂直的判定与性质 面面平行 面面 垂直的判定与性质 六 空间中的距离 点点 点线 点面 线线 线面 面面及球面距离共七种形式 线面距离 面面 距离一般要化成点面距离来求 点面距离的三种求法 1 直接法 作面的垂线段 2 等体积法 3 cos PAAP PA n PhPAPA nPA ee n 设是平面的斜线 为斜足 为平面外一点 向量为平面的法向量 则点 到平面的距离 其中为单位法向量 异面直线间距离的求法 1 定义法 找出两异面直线的公垂线段 求其长度 2 化为线面距离 1212 3 nl lAl Bl PA n dPA e n 向量法 设向量是异面直线公垂线上的方向向量 则异面直线的距 离 四 空间中的角的向量求法 1 122331 23 0 0 0 cos 22 sin cos a ba bu v ab a a ba uu v a ba uu v 设异面直线上的方向向量分别为 平面 的法向量分别为与所成的角为 与所成的角为与所成的角为则 类型一 三视图的应用 2010 年课改区的高考卷几乎都出了三视图的内容 5 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1414 正视图为一个三角形的几何体可以是 写出三种 解析解析 三棱锥 三棱柱 圆锥等 9 20102010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 7 7 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 3 1 A 3 2 B 1C 2D 2 1 主视图 左视图 2 俯视图 第 7 小题图 答案 C 解析 由所给三视图知 对应的几何体为一倒放的直三棱柱 如下图所示 其高 CBAABC 为 底面满足 2ABC1 2 ACABACAB 故该几何体的体积为 故选 1212 2 1 AASV ABC C A C A B C B A B C D A1 B1 C1 D1 O 6 20102010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6 6 如图 1 ABC 为正三角形 平面 AA BB CC CC ABC 且 3 AB 则多面体 ABC 的正视图 也称主视图 是 AA 3 2 BB CC A B C 答案 D 1 20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 1212 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其表面积等于 答案 6 2 3 解析 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 侧面积为 所以其表面积为 3 242 3 4 3 2 16 6 2 3 2 2010 2010 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 12 12 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 答案 10 3 解析 由三视图知 该几何体是一个底面边长为 1 高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2 高为 1 的正四棱锥组成的组合体 因为正四棱柱的体积为 2 正四棱锥的体积为 故该几何体的 14 4 1 33 体积为 410 2 33 命题意图 本题考查立体几何中的三视图以及棱柱与棱锥体积的求解 考查空间想象能力 识图能 力 5 20102010 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 8 8 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积为 A 280B 292C 360D 372 8 C 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧 面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 一 选择题一 选择题 1 20102010 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 3 3 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 解析 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案 命题意图 本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质 属基础题 2 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 7 7 正方体 ABCD 中 B与平面 AC所成角的 1111 ABC D 1 B 1 D 余弦值为 A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 2 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的求法 利 用等体积转化求出 D 到平面 AC的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的具体体现 1 D 解析 因为 BB1 DD1 所以B与平面 AC所成角和DD1与平面 AC所成角相等 设 1 B 1 D 1 D DO 平面AC 由等体积法得 即 设 DD1 a 1 D 11 D ACDDACD VV 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以 记 DD1与平面 AC所成角为 则 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D 1 3 sin 3 DO DD 所以 6 cos 3 3 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 1212 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 3 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这个载体 考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为 则有h 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 22 max 2 212 3h max 4 3 3 V 4 20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 6 6 如图 若是长方体被平面截去几何体 1111 ABCD A B C DEFGH 后得到的几何体 其中 E 为线段上异于的点 F 为线段上异于的点 且 11 EFGHBC 11 A B 1 B 1 BB 1 B 则下列结论中不正确的是 EH 11 AD A B 四边形是矩形 C 是棱柱 D 是棱台EHFGEFGH 答案 D 解析 因为 所以 又平面 EH 11 AD 11 AD 11 BCEH 11 BCEH 11 BCBC 所以 平面 又平面 平面平面 EH 11 BCBCEH EFGHEFGH 11 BCBCFG 所以 故 所以选项 A C 正确 因为平面 EHFGEHFG 11 BC 11 AD 11 ABB A 所以平面 又平面 故 所以选项 B 也正EH 11 ADEH 11 ABB AEF 11 ABB AEH EF 确 故选 D 命题意图 本题考查空间中直线与平面平行 垂直的判定与性质 考查同学们的空间想象能力和逻 辑推理能力 8 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1010 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱长都为 顶点都在一个球面a 上 则该球的表面积为 A B C D 2 a 2 7 3 a 2 11 3 a 2 5 a 答案 B 解析解析 如图 P 为三棱柱底面中心 O 为球心 易知 所以球的半径满足 2331 3232 APaa OPa R 故 2222 317 3212 Raaa 22 7 4 3 SRa 球 12 20102010 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 1010 过正方体的顶点 A 作直线 使 与棱 1111 ABCDABC D ll AB AD 所成的角都相等 这样的直线 可以作 1 AAl A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D 1 A 1 B 1 C 1 D A D CB A B 13 20102010 年高考浙江卷年高考浙江卷 6 6 设 m l 是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 答案 B 15 2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 11 与正方体的三条棱 1111 ABCDABC D AB 1 CC 所在直线的距离相等的点 11 AD A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 16 2010 2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 10 10 到两互相垂直的异面的距离相等的点 在过其中一条直线且平行于 另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 答案 D 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 3 20102010 年高考数学湖北卷理科年高考数学湖北卷理科 1313 圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水 若放入三个相同的球 球的半径与圆柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上面的球 如图所示 则球的半径是 cm 答案 4 解析 设球半径为 r 则由可得 解得 r 4 3VVV 柱柱柱 3 322 4 86 3 rrrr 4 20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 1515 如图 二面角的大小是 60 线段 l AB Bl 与 所成的角为 30 则与平面所成的角的正弦值是 ABlAB 解析 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 C 在 内过 C 作 l 的垂线 垂足为 D 连结 AD 有三垂线定理可知 AD l 故 ADC 为二面角的平面角 为 60 l 又由已知 ABD 30 连结 CB 则 ABC 为与平面所成的角w w w k s 5 u c o mAB 设 AD 2 则 AC CD 13 AB 4 0 sin30 AD sin ABC 3 4 AC AB 答案 3 4 9 2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 16 已知球的半径为 4 圆与圆为该球的两个小圆 OMN 为圆与圆的公共弦 若 则两圆圆心的距离 ABMN4AB 3OMON MN 答案 3 命题意图 本试题主要考查球的截面圆的性质 解三角形问题 解析 设 E 为 AB 的中点 则 O E M N 四点共面 如图 所以4AB 由球的截面性质 有 2 2 AB OER2 3 2 ME 3OMME ONNE 所以与全等 所以 MN 被 OE 垂直平分 在直角三角形中 由面积3OMON MEO NEO 相等 可得 ME MO MN 23 OE A 9 20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 1818 本小题满分 12 分 w w w k s5 u c o m 已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1 点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是对角线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 求三棱锥 M OBC 的体积 D AB C D M O A B C A B C D 10 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1616 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查几何体的体积 考查空间想象能 力 推理论证能力和运算能力 满分 14 分 1 证明 因为 PD 平面 ABCD BC平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 900 得 CD BC 又 PDDC D PD DC平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC平面 PCD 故 PC BC 2 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则 易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面 PBC 的距离相 等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因为 PD DC PF FC 所以 DF PC 所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 2 2 方法二 体积法 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 900 所以 ABC 900 从而 AB 2 BC 1 得的面积 ABC 1 ABC S 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 11 33 ABC VSPD 因为 PD 平面 ABCD DC平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 22 2PCPDDC 由 PC BC BC 1 得的面积 PBC 2 2 PBC S 由 得 A PBCP ABC VV 11 33 PBC ShV A 2h 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 11 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1818 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD ACBD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 A E 为 AD 中点 2 证明 PEBC 3 若APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 18 解 以为原点 分别为轴 线段H HA HB HP x y z 的长为单位长 建立空间直角坐标系如图 则HA 1 0 0 0 1 0 AB 设 0 0 0 0 0 0 C mPn mn 则 1 0 0 0 2 2 m DmE 可得 1 1 0 2 2 m PEn BCm 因为00 22 mm PE BC 所以 PEBC 由已知条件可得 33 1 33 mnC 故 0 0 313 0 0 0 0 0 1 326 DEP 设 为平面的法向量 nx y x PEH 则 即 n HEo n HPo 13 0 26 0 xy z 因此可以取 1 3 0 n 由 1 0 1 PA 可得 2 cos 4 PAn 所以直线与平面所成角的正弦值为PAPEH 2 4 12 20102010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 1818 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD AP AB 2 BC 2 2 E F 分别 是 AD PC 的重点 证明 PC 平面 BEF 求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小 解法一 如图 以 A 为坐标原点 AB AD AP 算在直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐 标系 AP AB 2 BC AD 2 2 四边形 ABCD 是矩形 A B C D 的坐标为 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 2 0 D 0 2 2 0 P 0 0 2 又 E F 分别是 AD PC 的中点 E 0 2 0 F 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 0 1 PC BF EF 2 4 2 0 2 0 2 0 PC BF PC EF PC BF PC EF PC BF PC EF BF EF F 来源 Zxxk Com PC 平面 BEF II 由 由 I 知平面 知平面 BEF 的法向量的法向量 平面平面 BAP 的法向量的法向量 设平面 设平面 BEF 与平面与平面 BAP 的夹角为的夹角为 则则 45 平面平面 BEFBEF 与平面与平面 BAPBAP 的夹角为的夹角为 45 解法二解法二 I 连接 连接 PE EC 在在 PA AB CD PA AB CD AE DE AE DE PE PE CE CE 即即 PEC PEC 是等腰是等腰三角形 又又 F F 是是 PCPC 的中点 的中点 EF PC EF PC 又 F F 是是 PCPC 的中点 的中点 BF PC BF PC 来源来源 学学 科科 网网 Z X X K Z X X K 又 13 2010 2010 年高考北京市理科年高考北京市理科 16 16 本小题共 14 分 如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB CE EF 1 2 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 16 共 14 分 www ks 证明 I 设 AC 与 BD 交与点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG AC 1 1 2 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF 平面 EG 因为平面 BDE AF平面 BDE EG 所