关于声波和电磁波的类比模型（翻译）

关于声波关于声波 电磁波的类比模型电磁波的类比模型 Jose M Carcione Fabio Cavallini 1994 07 01 收到 1994 11 02 修改 摘要摘要 我们通过研究波传播的运动学特征及能量平衡 对电磁波和声波进行了类 比 研究表明 从理论上来看 TEM 横向 模式的电磁波的传播与在单斜晶 系介质的对称面中的粘弹性 SH 波的传播完全类似 与电磁方程式相对应的粘弹 性模型是三维的 Maxwell 基本定律 类比模型把质点速度类比于磁场 把应力 类比于电场 柔度类比于介电常数 黏度的倒数类比于电导率 密度类比于磁 导率 所以 用相同的方法计算两种波的相速 慢度 衰减量 品质因子和能 速是可行的 因为有物理色散和各向异性的耗散时 精确性是很重要的 所以 在做数值实验时我们选用了时域谱技术 从而证实了由于黏度和电导率的各向 异性而产生的耗散效应 针对各向异性的弹性介质 找到了一种解析方法 并 运用对应原则将其扩展到粘弹性介质和电磁领域 最后 用数值方法解决了两 个对应的问题 并用原本为解决粘弹性介质中波的传播问题而设计的计算机代 码解决了一个电磁问题 1 引言引言 电磁波已经被广泛用于研究地球电气特性的探测技术 我们知道 传导性严 重依赖于岩石特性如孔隙几何形状 黏土含量和水的电导率等 特别是在煤矿 开采中 电磁波可用于定位地质扰动的区域 如沙道和断层等 另一方面 声 波是地球物理学中对碳氢化合物勘查的主要工具 地震勘探法是以不均匀地质 层和界面对声波的反射为基础的 早在 17 世纪 人们就知道光波和声波具有相似性 Hooke 认为光是介质中 的质点振动位移 它以无限的速度传播 后来 在 19 世纪 Maxwell 和 Lord Kelvin 广泛地运用物理和数学上的类比来研究声学和电磁学中的现象 实际上 Maxwell 正是通过与弹性位移的类比 才把位移电流的概念引入到电磁方程中 重新改造粘弹性动力学方程组 使其格式上与 Maxwell 方程组严格对应 这是 有可能的 很多情况下 这种格式上的类比可以变成数学上的等价 例如两个 领域中的问题可以用相同的解析 或数值 方法解决 本论文阐释了描述各向异性介质中 TEM 波传播的二维 Maxwell 方程组与在 Maxwell 各向异性的粘弹性固体中传播的 SH 波的波动方程组是完全相似的 Maxwell 很有可能知道这种等价 他意识到了导电过程 绝缘体的静电感应 和介质黏性 弹性 的相似 事实上 Maxwell 在他分别于 1861 年和 1862 年 分两期发表的论文 On physical lines of force 中 已经完成了光的电磁理论工 作 其中包括传导电流和位移电流的概念 另一方面 他于 1867 年提出了粘弹 性模型 他似乎通过与描述电能在电缆中传导和耗散过程的 Thomson 的电报方 程组的对比 总结出了粘弹性流变学 可以将这种类比关系应用于以下几个方面 第一 可以简单地修改现存的粘 弹性动力学模型代码 来模拟电磁波传播 第二 根据对应原则获得的一组解 决粘弹性 SH 波问题的方法 可用于测试电磁方面的代码 再者 各向异性的粘 弹性介质中平面谐波的传播理论也可用于各向异性的电磁波的传播 尤其是 各向异性效应的引入与关于储存有石油和天然气的沉积结构有关 确实 人们 都知道 声波在嵌入在各向异性的页岩中的裂纹石灰岩和薄层饱和砂岩层中传 播 其速度和衰减量的各向异性特征是很重要的 此外 电导率的值跨度很大 可能从 这可能意味着各向异性程度很高 在某些情况下 10 14 到10 6 像在页岩和砂岩的夹层间 纵向传导率是横向传导率的 9 倍之多 从这个意义 上讲 电磁衰减效应在碳氢化合物的指示上非常重要 本论文的结构如下 第 2 3 节介绍了电磁波和声波的方程组 第 4 节确立 了类比模型 包括和电路的对应关系 第 5 节分析了描述波的传播过程的运动 和能量方面的问题 最后 在第 6 节 我们用数值方法求解了场方程组 并将 结果与理论预测进行了对比 另外 用关于各向异性的电磁波传播的问题对数 值模型的计算程序进行了测试 2 Maxwell 方程组方程组 Maxwell 方程组用三维矢量符号表示如下 1 2 其中 分别是电场强度 磁感应强度 磁场强度 电位移矢量 和分别是电流密度和磁流密度 一般而言 以上矢量是在笛卡尔坐标系和时间变量 之上设立的 假设已知和 是由后文的方程 5 明确给出的电场已知函数 则方程 1 和 2 由 6 个标量方程和 12 个未知标量组成 另外六个标量方程是本构关系 在各向 同性介质中 可表示如下 3 4 其中 和 分别是介电常数和磁导率矩阵 圆点表示普通矩阵乘法 此外 电流密度表示如下 5 其中 是电导率矩阵 是已知的源基准值 在第四节中值为 0 将方程 3 4 5 代入到方程 1 2 中得 6 7 3 声场方程组声场方程组 声场的基本方程组可用质点速度和应力的一阶时间导数来表示 根据 Auld 8 柯西方程组可表示如下 8 其中 9 是应力矢量 是质点速度矢量 是密度 是体力矢量 而且 本文规定微 分算子 10 000 0 0 0 00 0 应变 可由位移给出 11 2 2 2 其中 等等 2 应变和质点速度关系如下 12 Auld 见参考文献 8 p 101 在建立声波 电磁波类比模型时使用了三维 Kelvin Voigt 模型 13 其中 和分别是 Kelvin Voigt 弹性和黏性矩阵 将此关系与一维 Kelvin Voigt 应力 应变关系进行对比 参考文献 9 公式 10 43 用方程 12 消去应力的时间导数 并定义如下矩阵 1 可得下面的方程 14 1 Auld 确立了方程 8 14 与 6 7 的类比关系 其中 对应于 对应 于 为获得更好的对应关系 我们引入三维 Maxwell 本构关系 10 来代替方程 13 15 1 1 其中 和分别是 Maxwell 弹性和黏性矩阵 将上面的关系和一维 Maxwell 应力 应变关系 9 方程 10 34 作对比 用方程 12 消去应变 可得类比于 7 的方程 16 1 1 定义兼容矩阵 17 1 和矩阵 18 1 方程 16 变为 19 一般而言 这种类比并不意味着声波方程和电磁波方程能解决相同的数学 问题 事实上 是一个六维的矢量 是一个三维矢量 此外 声波方程涉及 到的是的矩阵 介质特性 而电磁波方程涉及的是矩阵 然而 在 6 63 3 二维情况下 通过使用 Maxwell 模型能建立两者之间的完全等价 这将在下一 节中讨论 4 声波声波 电磁波的类比模型电磁波的类比模型 一般而言 现实存在的介质的特性可由对称的各向异性的介电常数张量和电 导率张量描述 例如 假设 20 110 13 0 220 130 33 21 110 13 0 220 130 33 张量 20 和 21 对应于一种单斜晶体 它的对称面垂直于 y 轴 通过坐标变 换 这些对称矩阵总可以对角化 这种变换被称为介质的主系 并给出了这两 个张量矩阵的三个主元素 在各向同性的立方体介质中 三个主元素相等 在 四方和六方物质中 这三个参数中的两个是相等的 在斜方晶系 单斜晶系和 三斜晶系介质中 这三个参数均不相等 对大多数物质来说 磁导率张量是各 向同性的 在这种情况下 我们设磁导率张量 其中 是磁导率 是 的单位矩阵 3 3 现在 假设电磁波在 x z 面传播 在y轴方向上物质的特性保持不变 那 么 分量 和分量 是不相关的 不考虑电源电流 前面 的三个场分量遵循 TEM 波 横向的电场和磁场 微分方程 22 23 11 13 11 13 24 13 33 13 33 这些各向异性方程可推广到 Greenfield 和 Wu 1 使用的各向同性模型 一方 面 在声波传播过程中 如果介质在 y 轴方向的特性相同 则 SH 波有它自身的 不相关的 微分方程 在文献中被称为 SH 波动方程 参考文献 11 在单 斜晶系介质的镜面对称面中 这是完全正确的 在这种平面上的传播是纯粹的 反平面应变运动 而且这是在所有传播角度上有纯 SH 波存在的最普遍的状态 另一方面 纯 SH 波在六方介质中的传播是一个衰减的过程 一组嵌入在横向上 各向同性的结构中的平行断裂可由单斜晶系介质代替 当这种介质的镜面对称 面是垂直的 纯粹的反平面应变波是 SH 波 此外 单斜晶系介质还包括很多其 他的对称性更高的介质 弱四方介质 强三方介质和斜方晶系介质都包含于单 斜晶系集 在一种单斜晶系介质中 弹性和黏性矩阵及它们的逆矩阵有以下形式 8 25 11 12 13 12 22 23 13 23 33 0 150 0 250 0 350 000 15 25 35 000 440 46 0 550 460 66 衰减所具有的任何对称性都遵循物质的晶体形态对称性 被称为诺依曼原 理的经验法则可证明这种论断 12 描述 SH 波运动的相关元素为 26 44 46 46 66 然后 可由方程组 8 的第二行和 19 的第四 六行得出微分方程 27 28 44 46 44 46 29 46 66 46 66 其中 30 44 66 66 44 46 46 44 66 462 44 66 66 44 46 46 44 66 462 31 硬度和黏度 I J 4 6 分别是矩阵和的 I J 元素 通过下面的替换 可将方程 22 24 转化为方程 27 29 反之亦然 32 35 34 44 46 46 66 11 13 13 33 35 44 46 46 66 11 13 13 33 36 其中 为简单起见 和 被重新定义为的矩阵 2 2 引入的硬度和黏性矩阵 2 2 37 44 46 46 66 44 46 46 66 我们可得到二维等式和 这两个等式分别与三维方程 17 和 18 1 1 相类似 因此 基于 Maxwell 流变学的各向异性 SH 波动方程在数学上等价于强 迫项是磁流的各向异性的 Maxwell 方程 为了对场方程有一个直观的概念 并引入品质因子的概念 我们进行了下 面的研究 可由图 1 和图 2 表示 众所周知 Maxwell 流变模型的机械表示是 一个弹簧和一个阻尼器的串联 例如 图 1 表示的模型可构建出的方 46 46 程 29 其中和分别是阻尼器和弹簧的应变 事实上 和 1 2 44 1 及表明方程 29 成立 确实 如果 44 2 1 2 那么 46 46 0 44 1 44 44 1 44 图 1 对应于应力 应变本构关系中 xy 分量的 Maxwell 粘弹性模型 其中 阻尼器和弹簧产生的应变分别是和 46 46 0 1 2 图 2 等价于图 1 所示的粘弹性模型的电路图 其中 R 和 C 分别是电阻和电容 V 是电压 和 是电流 其类比关系是电阻损耗的能量等价于阻尼器失去的 1 2 能量 贮存在电容器中的能量等价于贮存在弹簧中的势能 另一方面 磁能等 价于弹性动能 用图表示电磁场方程并不容易 然而 如果我们用相应的集总参数系统来代 替分布参数系统 那么这样的解释将会变得更直观 确实 若我们考虑一下方 程 23 并为简单起见 假定 那么方程的等号右边变为 13 13 0 11 11 参考电路方程 1 1 2 正如图 2 所表示的 它对应于一个电容器和一个电阻器的并联 其中 和 分别 是电阻值和电容值 是电压 也就是电场的积分 和是电流值 V R对 1 2 应于 图 1 所示的串联线路可能类比于图 2 所示的并联电路 这咋一看让 人很惊讶 但这是体现在场方程和对应关系 32 36 的数学原理的结果 图 2 所示的电路图的一个重要参数是电容的损耗因数 该电路可被认作电阻消耗了 电容贮存的能量 在角频率为 的谐波电压的作用下 总电流 并不和电压正交 而是两者的相角相差 结果 损耗因数 2 1和电压 同相 而 2与 正交 为 38 tan 1 2 cos 2 sin 2 使上述式子的分子和分母分别都乘以电压 可得出电阻的耗散功率和电容的 无功功率之间的关系 39 tan cos 2 sin 2 2 2 1 电路的品质因子是损耗因数的倒数 用介电常数和电导率分别替换电容和电阻 可得到电磁场的品质因子为 40 在下节结束 上述的品质因子公式将会从声波和电磁波的类比模型中得到 5 运动和能量问题的研究运动和能量问题的研究 描述波运动的运动量有慢度 相速度和衰减矢量 本节首先对声波进行了分 析 然后通过等价关系 32 36 将分析结果应用于电磁波 对于角频率为 的 简谐平面波 在不考虑体力的情况下 柯西方程 8 变为 41 0 另一方面 广义的 Maxwell 应力 应变关系 15 有下面的形式 42 其中 是复硬度矩阵 表示如下 43 1 上述方程的所有矩阵都是六维的 然而 由于只存在 SH 模式 通过 21 形式的 矩阵 可以得到一个相似的方程 在这种情况下 应力和应变分别简化为 44 其中是位移场 在均匀的粘弹性 SH 平面波中 位移有下面的形式 2 0 2 010 45 其中 是位置矢量 46 是复波矢量 47 通过方向余弦和 定义了波的传播方向 将应力 应变方程 42 代入到柯西方 程 41 得到下列所示的色散关系 48 66 2 2 46 44 2 2 0 这个关系明确了复速度表示如下 49 66 2 2 46 44 2 1 2 结合复速度 实的慢度和衰减矢量表示如下 50 1 51 1 然而 相速度是慢度的倒数 下面给出了它的矢量形式 52 1 1 运算符和分别表示取实部和取虚部 能速 波前 被定义为平均能 量密度除以平均能流密度 能流是坡印廷矢量的实部 而平均能量是动能和势 能密度峰值之和的二分之一 参考 13 附录 B 对这些量进行了计算 因此 能速表示为 53 1 66 46 1 44 46 3 其中 和分别是沿着 x 轴和 z 轴方向的单位矢量 附录 B 给出了品质因子 1 3 如下 54 2 2 根据声波 电磁波的对应关系 32 36 从方程 43 可以知道复硬度矩阵 对 应于复介电常数矩阵的逆 即 55 1 然后 将此等价关系及密度与磁导率的对应关系 36 应用到方程 49 即可通 过方程 50 51 52 53 54 计算出电磁波的慢度 衰减量 相速 能 速和品质因子 在斜方晶系介质 格式为的所有元素都不存在 所以复硬度矩阵是对角 46 化的 其元素为 1 1 1 1 56 其中 在声波的情况下 且上式变为 4或6 1 1 1 57 在电磁波的情况下 在各向同性的介质中 则在声波的 1或3 44 66 情况下 复速度变为 1 1 1 1 2 58 在电磁波的情况下 复速度为 59 1 1 2 其中 是刚性模量 是黏度 是介电常数 是电导率 很明显 动能和应变能密度与磁能和电能密度有联系 用电路元器件来做 类比 动能 应变能分别类比于贮存在电感 电容中的能量 耗散能量类比于 电阻损失的能量 Maxwell 使用过相似的类比 在质点机械运动和电路之间也 可以确立这种类比关系 在各向同性介质中 声波和电磁波的品质因子分别为 60 61 且这种情况很普遍 但是且却对应弹性极限的情况 需 0 0 要注意的是 和都是波传播过程的弛豫时间 6 波动方程和模拟波动方程和模拟 方程 28 和 29 可写作如下的紧凑形式 62 2 上式也可使用二维表示法从方程 19 推出 其中 用 乘 2 以方程 62 可得 63 2 柯西方程 27 变为 64 1 2 方程 63 和 64 可以推出速度 应力公式 从而求解出由 32 定义的未知矢量 波动方程有如下形式 65 其中 是一个空间微分算子矩阵 为了在时域内求解 用到最多的是一种显 式或隐式的有限差法 这种技术基于进化算子的一种泰勒展开 在这里 可用 参考文献 15 介绍的一种谱时间集成技术来解方程 65 其形式解为 66 0 其中 初始条件假设为 0 被称作系统的演化算符 相应的数值运 算是基于在算子的特征值的复数域内指数函数在一组最优插值点上的的一种 多项式内插法 这些最优插值点应该都位于由复频率平面的虚轴和负实半轴形 成的 T 型域上 这样 内插多项式近乎是最优的 在各向同性的情况下 算子 的特征值 是复数 满足下列特征方程 67 2 0 其中 是真实的波数 67 的解中有一个为静态模式的解 为 另 外两个为传播模式的解 位于虚轴附近 需要注意的是 是系统的弛豫时 间 等于高频相速度的平方 在各向异性情况下 算子的特征值同样位 于 T 型域上 为了平衡时间积分和空间精度 使用了傅里叶伪谱法计算空间导数 当然 也可以用有限差分或有限元来计算 表 1 介质的物质属性 图 3 频率为 600kHz 的电磁平面波的慢度 a 衰减量 b 能速 c 和品质因子 d 的极坐标图 表 1 给出了介质的物质属性 其中 和分别是自由空间的介电常数和 0 0 磁导率 图 3 分别展示了频率为 600kHz 的均匀电磁平面波的慢度 a 衰减量 b 能速 c 和品质因子 d 曲线的方向和形状依赖于介电张量和电导率张量 从图 中可以看出 衰减量的各向异性程度非常高 在与水平轴夹角为的方向上衰 30 减量最大 类似地 慢度也有各向异性的特征 而能速表明了波前的形状 矩形数值网格的每边都有个网格点 在电磁波模拟中统一的 105 网格间距为 而在声波模拟中网格间距为 场源 30米 20米 初始化为一个线源 垂直于 x z 平面 电磁波的源中心频率为 300kHz 声波的 源中心频率为 50Hz 截止频率都为各自中心频率的两倍 图 4 对位于接收机处的磁场的数值解和解析解进行了比较 其中接收机相 对于场源的位置 x z 在图上已标出 场源与接收机之间的距离为 600 米 正如 所料 尽管相速度在低频的情况下无规律 但是两种解几乎完全一致 图 4 电磁波的数值解和解析解之间的比较 源中心 频率为 300kHz 场源和接收机之间的距离为 600 米 图 5 弹性 a 声波和粘弹性 b 声波的速度在 0 44s 时的瞬态图 弹性波前比粘弹性波前稍宽 这是因为在 Maxwell 物质中 频率为零时相速度消失 频率无限大时相速度接近弹性速度 图 6 在 13 5时 电磁波场在纯绝缘介质 a 和导电介质 b 中的 瞬态图 其各向异性耗散特征与图 3b 所描述的衰减曲线一致 图 5 展示了质点速度在时间 0 44s 时的瞬态图 其中 a 对应弹性极限下的 情况 b 对应粘弹性的情况 最后 图 6 展示了磁分量在时间 1 35 时的瞬态图 其中 a 对应弹性极限下的情况 b 对应在耗散下的情 0 况 图 5 和图 6 展示的结果是用相同的计算机代码和不同的输入数据得到的 可以看出 有损耗介质的瞬态图比无损耗介质的瞬态图呈现出各向异性程度更 高的耗散特性 有损耗的电磁瞬态图展示的特性分别与图 3b 图 3c 展示的衰 减量 能速相一致 这种数值模型也可以有效地用于模拟非均匀介质中的电磁波 16 7 总结总结 我们已经列出了一种可逆的对应关系 它通过转换物理量 将 SH 水平剪 切 粘弹性方程变换为 TEM 横向电磁 方程 所做的基本假设是介质单斜对 称 并为简单起见 假设电源电流为零 类比模型构造了一个数学等价关系 它允许使用相同的分析方法解决声波和电磁波问题 所以 对粘弹性平面波的 分析能应用于电磁情况 类似地 在粘弹性问题中获得的瞬时解对应于电磁解 从根本上说 这些等价就是硬度和介电常数之间的对等 它们都是复的 频率 相关的矩阵 这种类比模型最有效的应用是用相同的计算机代码解决在一般的 非均匀介质中声波和电磁波的传播问题 未来研究的一个具有挑战性的问题是 将这些结果从二维推广到三维 并且 或者去掉物质对称性这样的假设 附录附录 A 在无界均匀介质中的解析解在无界均匀介质中的解析解 滞弹性问题的解析解可以通过对等原则得到 参考文献 9 这需要知道在 频域内弹性解的明确表述 然后 弹性可由对应的复硬度替代 粘弹性解可通 过傅里叶逆变换获得 考虑 62 中的弹性情况 即 并使用 64 消去应力张量 得到下面的 0 式子 A 1 2 2 其中 变量上面的点表示时域内的微分 因为在这里我们考虑的是均匀介质 所以方程 A 1 变为 A 2 44 2 2 66 2 2 2 46 2 下面我们要说明的是 通过坐标变换 将 A 2 左边的空间微分算子转化为一个 纯拉普拉斯微分算子 这是有可能的 如果是那样的话 方程 A 2 变为 A 3 2 2 2 2 考虑格林函数的解 也就是 方程 A 3 的等号左边式子在原点处是一个时间和 空间上的局部狄拉克函数 并将波动方程转化到频率域 得到如下方程 A 4 2 2 2 2 2 4 其中 是格林函数的傅里叶变换式 为了方便 引入了常量 A 4 的解 4 参考 17 如下 A