第二章极限与连续答案

1 第二章第二章 极限与连续极限与连续 1 填空题 1 的间断点是 3 2 x y3 x 2 是函数的第 一 类间断点 0 x x xy 1 3 若极限存在 则称直线为曲线的 水平 渐近线 axf x limay y xf 4 有界函数与无穷小的乘积是 无穷小 5 当 函数与是 同阶 无穷小 0 xx3sinx 6 x x x 1 21 lim 0 2 e 7 设 0 0 sin xa x x bx xf 是常数 为 时 xf在ababba 0 x连续 8 函数 xfy 在点 0 xx 左 右极限都存在且相等是它在该点有极限的 充要 条件 9 函数 xfy 在点 0 xx 处有定义是它在该点连续的 必要 条件 10 若一个数列 当 无限增大 或 时 无限接近于某一个常数 n xn 则称为数列的极限 aa n x 11 若存在实数 使得对于任何的 都有 且 0 MRx Mxf 0lim 0 xg x 则 0 xgxf x0 lim 12 若 则直线为函数图形的 垂直 渐近线 lim 0 xf xx 0 xx y xf 2 选择题 1 1 的值为 的值为 A A x x x sin lim 0 A 1 B C 不存在 D 0 2 2 当 当时 与时 与等价的无穷小量是等价的无穷小量是 B B x 0 3 100 xx A B C D 3 xxx 3 x 3 3 若极限 若极限 常数 常数 则函数 则函数在点在点 D D axf xx lim 0 xf 0 x 2 C 有定义 但可以为任意数值 D 可以有定义也可以没有定义 0 xf 4 4 设函数 设函数 则当 则当时 时 为为 D D x xxf 1 sin 0 xf xf C 有界 但非无穷小量 D 无穷小量 5 5 的值为 的值为 D D lim sin sin x x x x 0 2 1 A 1 B C 不存在 D 0 6 6 当 当时 与时 与 sinxsinx2 2等价的无穷小量是等价的无穷小量是 x C D 2 1 cos xe x 1 7 7 当 当时 时 都是无穷小量 都是无穷小量 是是的 的 D D x x 1 x xsin C 同阶无穷小 D 无法比较 8 下列函数在指定的变化过程中 下列函数在指定的变化过程中 B 是无穷小量 是无穷小量 A e 1 x x B sin x x x 9 当 当时 下列变量中无穷大量是 时 下列变量中无穷大量是 A x A B 1ln x 1 2 x x 1010 的 的 B B x 1 arctan x f0 x 是 A 连续点 B 跳跃间断点 C 可去间断点 D 无穷间断点 1111 等于等于 B B x xa x sin lim A a B 0 C a D 不存在 1212 B B lim x xx xx 1 3 2 2 32 B lim lim xx xxx xx xx x 1 2 1 2 12 12 2 2 4 1313 无穷多个无穷小量之和 无穷多个无穷小量之和 D D D 是无穷小量 或是无穷大量 或是有界量 都可能 1414 当 当时 变量时 变量 D D 是无穷小量 是无穷小量 0 x 3 A B C D xsinln x 1 cos x 1 sin 2 1 x e 1515 的 的 D D x xfx 1 0 是 C 可去间断点 D 无穷间断点 1616 的 的 C C x xxfx 1 1 0 是 C 可去间断点 D 无穷间断点 17 函数 函数在点在点处 处 C x xxf 1 sin 0 x C 无定义但有极限 D 无定义且无极限 1818 D lim0 lim lim 00 9 xgxfxgxf xxxx xx 则 若 C 必为非零常数 D 极限值不能确定 1919 比较是比较是 C 2 cos1 sin20 xxxx与时 当 C 高阶无穷小 D 低阶无穷小 2020 若 若 则 则 B 2 lime ax ax x x a A B 01 3 计算 1 1 2 2 2 1321 lim n n n 1 1 lim 3 1 x x x 解 解 2 1321 lim n n n 1 1 lim 3 1 x x x 2 1 2 1 lim n nn n 1 1 11 11 lim 332 3323 1 xx x xx xxx x 2 11 1 2 1 lim n n 3 2 1 1 1 1 lim 3321 xx x x x x 3 3 4 4 xx xx x 5sin 2sin lim 0 1 2 1 lim 1 x x 解 解 1 2 1lim 1 x x xx xx x 5sin 2sin lim 0 4 1 2 lim1 1 x x x x x x ox5sin 1 2sin 1 lim x x x x ox ox 5sin 1lim 2sin 1lim 6 1 51 21 5 5 6 6 xx x ee x cos lim 1 3 1 0 2 1 lim x x x 解 当时 解 x0 1 xx ee 1 3 1 0 2 1lim x x x 为有界函数 1cos xxcos 1 3 1 2 2 0 2 1lim x x x x x 因此 0 cos lim xx x ee x 26 12 0 2 1lim x x x x 6 1 e 7 7 8 8 1 3 1 1 lim 3 1 xx x 13 lim 24 2 xx xx x 解 解 13 lim 24 2 xx xx x 3 1 1 3 1 1 lim xx x 22 13 11 lim xx x x 2 2 1 11 31 lim xxx xx x 0 1 2 lim 2 1 xx x x 1 9 9 12 1 4 lim x x x x 1010 x x x x sin 1 sin lim 2 0 解 解 12 1 4 lim x x x x x x x x sin 1 sin lim 2 0 5 1 125 5 1 1 5 1lim x xx x xx x x x xx 1 sinlim sin lim 00 10 e x x x 1 sinlim 0 当时 为无穷小 0 xx 为有界函数1 1 sin xx 1 sin 因此0 1 sinlim sin 1 sin lim 0 2 0 x x x x x xx 1111 1212 x x x arctan lim 4523 252 lim 74 46 xxx xxx x 解 解 x x x arctan lim 4523 252 lim 74 46 xxx xxx x 当时 x0 1 x 652 52 4 52 3 2 52 lim xxxx xx x 为有界函数 2 arctan xxarctan0 因此0 arctan lim x x x 1313 xx x x sin 2cos1 lim 0 1414 x x x 2 2 0 cos12 4tan lim 解 解 xx x x sin 2cos1 lim 0 x x x 2 2 0 cos12 4tan lim 2 2 0 2 2 1 lim x x x 8 2 16 lim sin2 4 lim 2 2 0 2 2 0 x x x x xx 2 8 2 16 lim 2 2 0 x x x 1515 1616 求 求 3 0 sintan lim x xx x 8 2 lim cx cx x c 解 解 3 0 sintan lim x xx x x x cx cx 2 lim 6 3 0 cos1tan lim x xx x cx cx c cx x cx c 3 3 3 1lim 3 2 0 2 1 lim x xx x 8 3 c e 2 1 2ln38ln3 c 2ln c 1717 若 若0 1 12 lim 2 3 x x x x 试求试求与与 解 1 112 lim 1 12 lim 2 23 2 3 x xxx x x x xx 1 12 lim 2 23 x xxx x 因为极限存在且为 0 则分母次数必低于分子次数 所以有 0 02 0 2 4 求下列函数的间断点 并指出其类型 2 2 1 1 3 2 x x y 解 11 11 1 1 23 2 xxx xx x x y 函数在无定义 必为间断点 1 1 3 2 x x y1 x 3 2 1 1 lim 1 1 lim 2 1 3 2 1 xx x x x xx 是函数的可去间断点 属于第一类间断点 1 x 1 1 3 2 x x y 3 1 1 1 x x e y 解 函数在 处无定义 必为间断点 1 1 1 x x e y0 x1 x 7 由于 1 0 1 1 lim x x x e 是函数的无穷间断点 属于第二类间断点 0 x 由于 0 1 1 lim 1 1 x x x e 1 1 1 lim 1 1 x x x e 是函数的跳跃间断点 属于第一类间断点 1 x 4 1 1 1 11 xx xx y 或 解 由于11limlim 11 xx y 1limlim 11 xy xx 是函数的跳跃间断点 属于第一类间断点 1 x 由于1limlim 11 xy xx 11limlim 11 xx y 1 1limlim 11 fyy xx 函数在处连续 不是间断点 1 x 7 设设 问 问取何值时 取何值时 存在 存在 0 01 2 xbx xe xf x b lim 0 xf x 解 欲使存在 只 bbxxf xx 2 00 limlim 21limlim 00 x xx exf xf x0 lim 须 即 故时 存在 xfxf xx 00 limlim2 b2 b xf x0 lim 8 求曲线 求曲线的渐近线的渐近线 x x y 1 2 解 由于 是曲线的垂直渐近线 x x y xx 1 2 limlim 11 1 x x x y 1 2 由于 是曲线的水平渐