第十二章推理与证明

1 第十二章 推理与证明 12 1 合情推理与演绎推理 五年高考 考点一 合情推理 1 设 V 是全体平面向量构成的集合 若映射 f V R 满足 对任意向量 a V b V 以及任意R 均有 f a 1 b 11 yx 22 yx f a 1 f b 则称映射 f 具有性质 P 现给出如下映射 f1 V R f1 m x y m x y V f2 V R f2 m x2 y m x y V f3 V R f3 m x y 1 m x y V 其中 具有性质 P 的映射的序号为 写出所具有性质 P 的映射的序号 0 2 设函数 观察 0 2 x x x xf 43 2 121 x x xffxf x x xfxf 1615 87 3423 x x xffxf x x xffxf 根据以上事实 由归纳推理可得 当 nN 且 n 2 时 1 xffxf nn 3 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第 n 个等式为 4 对于 nN 将 n 表示为 01 1 2 2 1 10 22222 kk kkk aaaaan 当 i 0 时 ai 1 当 1 i k 时 ai为 0 或 1 记 I n 为上述表示中 ai为 0 的个数 例如 1 1 4 1 22 0 21 0 20 故 I 1 0 I 4 2 则 I 12 2 0 2 2 127 2 nI 5 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色 当 n 4 时 在所有不同的着色方案中 黑 色正方形互不相邻的着色方案如下图所示 由此推断 当 n 6 时 黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种 至少有两个黑色正 方形相邻的着色方案共有 种 结果用数值表示 6 观察下列各式 55 3125 56 15625 57 78125 52011的末四位数字为 7 设 n 2 n N 将 n n nn xaxaxaaxx 2 210 3 1 3 2 1 2 0 k n 的最小值记为 Tn 则 k a 3 1 2 1 0 3 1 2 1 0 55 54 33 32n TTTTT 其中 Tn 8 观察下列等式 13 23 32 13 23 33 62 13 23 33 43 102 根据上述规律 第五个 等式为 9 观察下列等式 223 5 5 1 5 CC 22 379 9 5 9 1 9 CCC 22 51113 13 9 13 5 13 1 13 CCCC 22 71517 17 13 17 9 17 5 17 1 17 CCCCC 由以上等式推测到一个一般的结论 对于 n N 14 14 9 14 7 14 5 14 1 14 n nnnnn CCCCC 10 将正分割成 n2 n 2 n N 个全等的小正三角形 图 1 图 2 分别给出ABC 了 n 2 3 的情形 在每个三角形的顶点各放置一个数 使位于的三边及平行于ABC 3 某边的任一直线上的数 当数的个数不少于 3 时 都分别依次成等差数列 若顶点 A B C 处的三个数互不相同且和为 1 记所有顶点上的数之和为 f n 则有 f 2 2 f 3 f n 考点二 演绎推理 11 五位同学围成一圈依序循环报数 规定 第一位同学首次报出的数为 1 第二位同学首次报出的数也为 1 之后每位同学所报出 的数都是前两位同学所报出的数之和 若报出的数为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数 当五位同学依序循环报到第 100 个数时 甲同学拍手的总次数 为 12 已知数列满足 N 则 a2009 a2014 n a naaaa nnnn 0 1 21434 13 将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据以上排列规律 数阵中第 n n 3 行的从左至右的第 3 个数是 14 某校数学课外小组在坐标纸上 为学校的一块空地设计植树方案如下 第 k 棵树种植 在点处 其中 x1 1 y1 1 当 k 2 时 kkk yxP 5 2 5 1 5 2 5 1 51 1 1 k T k Tyy k T k Txx kk kk T a 表示非负实数 a 的整数部分 例如 T 2 6 2 T 0 2 0 按此方案 第 6 棵树种植点的坐标应为 第 2008 棵树种植点的坐标应为 4 15 已知 a 0 函数的图象连续不断 0 ln 2 xfxaxxxf 1 求 f x 的单调区间 2 当时 证明存在 8 1 a 2 3 2 00 fxfx使 3 若存在均属于区间 1 3 的 且 1 使 证明 ff a 5 2131nn 3 21n 16 已知函数 2 ln 2 xaaxxxf 1 讨论的单调性 xf 2 设 a 证明 当0 11 1 0 x a fx a f a x时 3 若函数的图象与 x 轴交于 A B 两点 线段 AB 中证明 xfy 0 0 x f 17 1 已知函数 其图象记为曲线 C xxxf 3 i 求函数的单调区间 xf ii 证明 若对于任意非零实数 x1 曲线 C 与其在点处的切线交于另一点 111 xfxP 曲线 C 与其在点 P2处的切线交于另一点 线段 222 xfxP 333 xfxP 3221 PPPP 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1 S2 则为定值 2 1 S S 2 对于一般的三次函数 请给出类似于 1 ii 0 23 adcxbxaxxg 的正确命题 并予以证明 三年模拟 A 组 2009 2011 年模拟探究专项基础测试 一 填空题 5 1 记等差数列的前 n 项和为 Sn 利用倒序求和的方法 可将 Sn表示成首项 a1 末项 n a an与项数 n 的一个关系式 即公式 类似地 记 2 1n n aan S 等比数列的前 n 项积为 Tn表示成首项 b1 末项 bn与项数 n n b 的一个关系式 即公式 Tn 2 如图所示毕达哥拉斯的生长程序 正方形一边上连接着等腰直 角三角形 等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形 如此继续下去 共得到 127 个正方形 若最后得到的正方形的边长为 1 则初始正方形的边长为 3 如图 将平面直角坐标系中的格点 横 纵坐标均为整数的点 按如下规则标上数字标签 原点处标 0 点 1 0 处标 1 点 1 1 处标 2 点 0 1 处标 3 点 1 1 处标 4 点 1 0 处标 5 点 1 1 处标 6 点 0 1 处标 7 依此 类推 则标签为 20092的格点的坐标为 二 解答题 4 设 m 3 对于有穷数列 n 1 2 m 令 bk为 a1 a2 ak中的最大值 n a 称数列为的 创新数列 数列中不相等项的个数称为的 创新阶数 例如 n b n a n b n a 数列 2 1 3 7 5 的创新数列为 2 2 3 7 7 创新阶数为 3 考察自然数 1 2 m m 3 的所有数列 将每种排列都视为一个有穷数列 n c 1 若 m 5 写出创新数列为 3 4 4 5 5 的所有数列 n c 2 是否存在数列 使它的创新数列为等差数列 若存在 求出所有的数列 n c n c 若不存在 请说明理由 B 组 2009 2011 年模拟探究专项提升测试 一 填空题 1 设数列是首项为 0 的递增数列 nN 满 n a 1 sin 1 nnnn aaxax n xf 足 对于任意的总有两个不同的根 则的通项公式为 bxfb n 1 0 n a 2 通项公式为的数列 若满足 8nanan 2 n anaaaaaaa nn 对且 154321 6 恒成立 则实数 a 的取值范围是 二 解答题 3 已知二次函数和 伪二次函数 cbxaxxf 2 0 ln 2 abcxcbxaxxg 1 证明 只要 无论 b 取何值 函数的定义域内不可能总为增函数 0 a xg 2 在同一函数图象上任意取不同两点线段 AB 中点为 2211 yxByxA 00 yxC 记直线 AB 的斜率为 k 对于二次函数 求证 cbxaxxf 2 0 xfk 对于 伪二次函数 是否有和 同样的性质 证明你的结论 xcbxaxxgln 2 4 如图所示的自动通风设施 其下部 ABCD 是等腰梯形 其中高为 0 5 米 AB 1 米 CD 2a 米 上部弧 CmD 是个半圆 固定点 E 为 CD 的中点 是由电脑 2 1 aEMN 控制其形状变化的三角通风窗 阴影部分均不通风 MN 是可以沿设施边框上下滑动且 始终保持和 CD 平行的伸缩横杆 1 设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米 试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S 平方米 表示 成 x 的函数 xfS 2 当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时 三角通风窗 EMN 的通风面积最大 并求出这 个最大面积 12 2 分析法 综合法与反证法 五年高考 考点一 直接证明 1 设的调和平均数 如图 C 为线段 AB 上的点 且ba ba ab ba 2 0 0为称 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为直径作半圆 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D 连结 OD AD BD 过点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 则图中线段 OD 的长度 是 a b 的算术平均数 线段 的长度是 a b 的几何平均数 线段 的长度是 a b 的调和平均数 7 2 已知函数上的任意 x1 x2 有如下条件 2 2 cos 2 对于xxxf 21 xx 22 1x xx 21 xx 其中能使恒成立的条件序号是 21 xfxf 3 设数列满足 n a 1 1 1 1 1 0 1 1 nn aa a且 1 求的通项公式 n a 2 设 证明 n k kn n n bS n a b 1 1 1 记 1 n S 4 已知 O 为坐标原点 F 为椭圆 C 轴正半轴上的焦点 过 F 且斜率为y y x在1 2 2 2 的直线 l 与 C 交于 A B 两点 点 P 满足0 2 OPOBOA 1 证明 点 P 在 C 上 2 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q 证明 A P B Q 四点在同一 圆上 5 已知数列与满足N 且 n a n b n n babaab nnnnnn 2 1 3 0 211 a1 2 a2 4 1 求 a3 a4 a5的值 2 设N 证明是等比数列 naac nnn 1212 n c 3 设 N 证明 n N kaaaS kk 242 n k k k a S 4 1 6 7 6 已知数列的前 n 项和为 Sn 且满足 N rR r n anrSaaaa nn 0 11 1 8 1 求数列的通项公式 n a 2 若存在 kN 使得成等差数列 试判断 对于任意的 mN 且 21 kkk SSS m 2 是否成等差数列 并说明你的结论 21 mmm aaa 7 1 已知函数 求函数的最大值 0 11 xxnxxf xf 2 设均为正数 证明 2 1 nkba kk i 若 1 nnb ababa 2211 n b n bb n aaabbb 21 2121 则 ii 若 n bbb n 1 1 21 则 n b n bb bbb 21 21 22 2 2 1n bbb 8 已知函数R x xexf x 1 求函数的单调区间和极值 xf 2 已知函数的图象关于直线 x 1 对称 证明 当1 x时 xgxf xfy 3 如果 2 212121 xxxfxfxx证明且 9 在数列中 a1 0 且对任意N 成等差数列 其公差为 n a k 12212 kkk aaa k d 1 若kdk2 证明成等比数列 N 22122 kkk aaa k 2 若对任意N 成等比数列 其公比为 k 22122 kkk aaa k q i 设 证明是等差数列 1 1 q 1 1 k q ii 若 证明 2 n 2 2 2 a n k k a k n 2 2 2 2 3 9 10 已知等差数列的公差为 d d 0 等比数列的公比为 q q 1 设 n a n b N nbababaTbababaS nnnnnnn 1 122112211 1 若 求 S3的值 3 2 1 11 qdba 2 若 b1 1 证明 N 2 2 22 1 1 2 1 1 q qdq TqSq n nn k 3 若正整数 n 满足 2 n q 设和是 1 2 n 的两个不同的 n kkk 21 n lll 21 排列 证明 nlllnkkk bababacbababac nn 212211 2121 21 cc 11 已知数集 1 a1 a2 an n 2 具有性质 P 对任意的 21n aaaA i j 1 i j n 与两数中至少有一个属于 A jia a i j a a 1 分别判断数集 1 3 4 与 1 2 3 6 是否具有性质 P 并说明理由 2 证明 an 11 2 1 1 21 1 1 n n aaa aaa a 且 3 证明 当 n 5 时 成等比数列 54321 aaaaa 12 已知 1 22 kxxxxf 1 若 k 2 求方程 0 的解 xf 2 若关于 x 的方程 0 在 0 2 上有两个解 求 k 的取值范围 并证明 xf 21 x x 21 11 xx 4 10 考点二 间接证明 13 已知函数 曲线 y 在点 1 f 1 处的切线方程为 x 2y x b x xa xf 1 ln xf 3 0 1 求 a b 的值 2 如果当 x 0 且 x 1 时 求 k 的取值范围 x k x x xf 1 ln 14 设函数定义在 0 上 f 1 0 导函数 xf 1 xfxfxg x xf 1 求的单调区间和最小值 xg 2 讨论与的大小关系 xg x g 1 3 是否存在 使得 对任意成立 若存在 求出的取0 0 x 0 xgxg x 1 0 x 0 x 值范围 若不存在 请说明理由 15 已知数列和的通项公式分别是 nN 将集合 n a n b72 63 nbna nn N N 中的元素从小到大依次排列 构成数列 naxx n nbxx n 21n ccc 1 写出 4321 cccc 2 求证 在数列中 但不在数列的项恰为 a2 a4 a2n n c n b 3 求数列的通项公式 n c 16 证明以下命题 1 对任一正整数 a 都存在正整数 b c 使得成等差数列 cb 222 cba 2 存在无穷多个互不相似的三角形 其边长为正整数且成等差 n nnn cba 222 nnn cba 11 数列 17 已知数列满足 1 数列满 n a 2 1 1 anaa a a a a nn n n n n 0 1 1 2 1 1 3 1 1 1 n b 足 1 naab nnn 22 1 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 证明 数列中的任意三项不可能成等差数列 n b 三年模拟 A 组 2009 2011 年模拟探究专项基础测试 解答题 1 设椭圆的左 右焦点分别为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C F1 F2 上顶点不 A 在 x 轴负半轴上有一点 B 满足 且 如图所示 211 FFBF 2 AFAB 1 求椭圆 C 的离心率 2 若过 A B F2三点的圆恰好与直线 求椭圆 C 的方程 033 yxl 3 在 2 的条件下 过右焦点 F2作斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 M N 两点 在 l x 轴上是否存在点使得以 PM PN 为邻边的平行四边形是菱形 如果存在 求出 0 mP m 的取值范围 如果不存在 说明理由 2 已知函数 11 nxxf 1 求过原点且与曲线 y 相切的直线方程 xf 2 若关于 x 的不等式 ax 恒成立 求实数 a 的取值范围 xf 3 设数列满足R nN 2 n aaMaaaaa nn 1 2 11 n a 12 1 当 a 2 时 求证 a M 2 当时 求证 aM 4 1 0 a 3 当时 判断元素 a 与集合 M 的关系 并证明你的结论 4 1 a 4 已知函数R baaxxgxbbaxxf 1 242 222 1 当 b 0 时 若在上单调递减 求 a 的取值范围 xf 2 2 求满足下列条件的所有整数对 存在 x0 使得是的最大值 ba 0 xf xf 的最小值 0 xgxg是 3 对满足 2 中的条件的整数对 试构造一个定义在 DR 且 ba xx Z 上的函数 使 且当 x 2 0 时 kkx 2 xh 2 xhxh xfxh B 组 2009 2011 年模拟探究专项提升测试 一 填空题 1 如图 圆周上按顺时针方向标有 1 2 3 4 5 五个点 一只青蛙按 顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点 若它停在奇数点上 则下一次 只能跳一个点 若停在偶数上 则跳两个点 该青蛙从 5 这点跳起 经 2008 次跳后它将停在的点是 2 已知函数由下表给出 xf x01234 xf a0a1a2a3a4 其中等于在中 k 所出现的次数 则 a4 4 3 2 1 0 kak 43210 aaaaa 3210 aaaa 二 解答题 3 已知圆 点是圆上一动点 AQ 的垂直平分线交 CQ16 3 22 yxCQA 0 3 13 于点 M 设点 M 的轨迹为 E