高三数学教学案第10讲棱锥.doc

题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体棱锥高考要求 1要使学生理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质，会求其侧面积及体积结合例题讲清求体积的常用方法2以棱锥为载体，训练计算能力、想象能力和逻辑推理能力知识点归纳 1棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）2棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示如图棱锥可表示为，或3棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥（如图）4棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面5正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形题型讲解 例1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA底面ABCD（1）当a为何值时，BD平面PAC?试证明你的结论（2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离（3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角分析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算解：（1）以A为坐标原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，当a=2时，BDAC，又PABD，故BD平面PAC故a=2（2）当a=4时，D（4，0，0）、C（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2）、 =（0，2，2），=（4，0，0）设平面PBC的法向量为，则=0，=0，即（x，y，z）（0，2，2）=0，（x，y，z）（4，0，0）=0，得x=0，y=z，取y=1，故=（0，1，1）则D点到平面PBC的距离d=（3） =（4，0，2），cos，=0，证，=，设直线PD与平面PBC所成的角为，则sin=sin（）=cos=所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin例2 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E 为侧棱PD的中点求证：AE平面PCD；若AD=AB，试求二面角APCD的正切值；当为何值时，PBAC ？证： 设N为AD中点，Q为BC中点，则因为PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，又因为侧面PAD底面ABCD，所以，以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系设，则，所以，又，所以，AE平面PCD当时，由（2）可知：是平面PDC的法向量；设平面PAC的法向量为，则，即，取，可得：所以，向量与所成角的余弦值为：所以，又由图可知，二面角APCD的平面角为锐角，所以，二面角APCD的平面角的正切值等于，令，得，所以，所以，当时，PBAC例3 如图，四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，CDPD底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AB=AD=PB=3点E在棱PA上，且PE=2EA（）求异面直线PA与CD所成的角；（）求证：PC平面EBD；（）求二面角ABED的大小解：（）建立如图所示的直角坐标系Bxyz （）连结AC交BD于G，连结EG，（）设平面BED的法向量为 又因为平面ABE的法向量 所以所求二面角ABED的大小为例4 如图，正四棱锥PABCD中，AB=2，侧棱PA与底面ABCD所成的角为60（1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的大小；（2）在线段PB上是否存在一点E，使得AEPC，若存在，试确定点E的位置，并加以证明，若不存在，请说明理由解（1）如图O为底面ABCD的中心则PAO为PA与底面所成的角，PAO=60 过O作OMBC于M，连PM由三垂线定理得BCPMPMO为侧面与底面所成二面角平面角OM=1，PO=（2）如图，建立空间直角坐标系，例5 四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，B=C=90，CDAB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30角，（1）求证：CM面PAD；（2）求证：面PAB面PAD；（3）求点C到平面PAD的距离分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法如下图，建立空间直角坐标系Oxyz，C为坐标原点O，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标（1）证明：如图，建立空间直角坐标系PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABC所成的角，即PBC=30|PC|=2，|BC|=2，|PB|=4得D（1，0，0）、B（0，2，0）、A（4，2，0）、P（0，0，2）|MB|=3|PM|，|PM|=1，M（0，）， =（0，），=（1，0，2），=（3，2，0）设=x+y（x、yR），则（0，）=x（1，0，2）+y（3，2，0）x=且y=，= + 、共面又C平面PAD，故CM平面PAD（2）证明：过B作BEPA，E为垂足|PB|=|AB|=4，E为PA的中点E（2，1），=（2，1）又=（2，1）（3，2，0）=0，即BEDA而BEPA，BE面PADBE面PAB，面PAB面PAD（3）解：由BE面PAD知，平面PAD的单位向量=（2，1）=（1，0，0）的点C到平面PAD的距离d=|=|（2，1）（1，0，0）|=例6 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明：PA平面EDB；（2）证明：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小 解法一：（向量法）如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点设DC=a （1）证明：连结AC交BD于G连结EG依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，）底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为（，0）且=（a，0，a）， =（，0，）=2这表明PAEG而EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB（2）证明：依题意得B（a，a，0），=（a，a，a）又=（0，），故=0+=0PBDE由已知EFPB，且EFDE=E，PB平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0）， =，则（x0，y0，z0a）=（a，a，a）从而x0=a，y0=a，z0=（1）a =（x0，y0，z0）=a，（）a，（）a由条件EFPB知=0，即a2+（）a2（）a2=0，解得=点F的坐标为（，），且=（，）， =（，）=+=0，即PBFD故EFD是二面角CPBD的平面角=+=，且|=a，|=a，cosEFD=EFD=二面角CPBD为解法二：（几何法）（1）证明：连结AC交BD于O连结EO底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在PAC中，EO是中位线，PAEO而EO平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDCPD=DC，可知PDC是等腰直角三角形而DE是斜边PC的中线，DEPC同样由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而DE平面PDC，BCDE 由和推得DE平面PBC而PB平面PBC，DEPB又EFPB且DEEF=E，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角由（2）知，DEEF，PDDB设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD=a，PB=a，PC=a，DE=PC=a在RtPDB中，DF=a在RtEFD中，sinEFD=，EFD=二面角CPBD的大小为小结：1空间向量是是立体几何问题代数化的桥梁，学习时，要给予重视2在解答棱锥的综合练习时，要善于联想，灵活运用柱、锥的性质和线面关系，善于揭示一类问题的共同特征，掌握基本方法，对于正棱柱问题借助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握学生练习 1棱锥的底面积为S，高位h，平行于底面的截面面积为S，则截面与底面的距离为( A )ABC D2三棱锥PABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( B )A内心B外心C垂心D重心 3三棱锥PABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的(B )A内心B外心C垂心 D重心 4三棱锥PABC的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( A )A内心B外心C垂心D重心 5三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( C )A内心B外心C垂心 D重心6三棱锥VABC中，VABC,VBAc,VCAb，侧面与底面ABC所成的二面角分别为、(都是锐角)，则coscoscos(A )A1B2CD 7四面体的四个面中，下列说法错误的是( C )A可以都是直角三角形B可以都是等腰三角形C不能都是顿角三角形D可以都是锐角三角形 8正n棱锥侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成角为，则tantan( B )AsinBcosCsin Dcos 9若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_（结果用反三角函数值表示）解析：取BC的中点D，连结SD、AD，则SDBC，ADBCSDA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为在平面SAD中，作SOAD与AD交于O，则SO为棱锥的高AO=2DO，OD=又VSABC=ABBCsin60h=1，h=tan=arctan答案：arctan10过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为_解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S侧1S侧2S侧3=149，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为135答案：13511已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H设四面体EFGH的表面积为T，则等于A B C D 解析：如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，四面体EFGH也是正四面体连结AE并延长与CD交于点M，连结AG并延长与BC交于点NE、G分别为面的中心，=又MN=BD，=面积比是相似比的平方，=答案：A12在三棱锥SABC中，ASB=ASC=BSC=60，则侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_答案：arccos13三棱锥一条侧棱长是16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是17 cm，求棱锥的体积解：取AD的中点E，连结CE、BE，AC=CD=17，DE=8，CE2=17282=225，BE=CE，取BC的中点F，连结EF，EF为BC边上的高，EF=12S=108AC=CD=17cm，E为AD的中点，CEAD，同理BEAD，DA平面BCE三棱锥可分为以底面BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥VABCD=VABCE+VDBCE=2SAE=21088=576（cm3）14如图，正三棱锥SABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点求：（1）的值；（2）二面角SBCA的大小；（3）正三棱锥SABC的体积解：（1）SB=SC，AB=AC，M为BC的中点，SMBC，AMBC由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即3BCSM=2BCAM，得=（2）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，GM=AMSMBC，AMBC，SMA是二面角SBCA的平面角在RtSGM