湘教版反比例函数教案

1 第一章第一章 反比例函数反比例函数 第一课时第一课时 建立反比例函数的模型建立反比例函数的模型 一 教学目标一 教学目标 1 使学生理解并掌握反比例函数的概念 2 能判断一个给定的函数是否为反比例函数 并会用待定系数法求函数解析式 3 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 体会函数的模型思想 二 重 难点二 重 难点 1 1 重点 重点 理解反比例函数的概念 能根据已知条件写出函数解析式 2 2 难点 难点 理解反比例函数的概念 三 教学过程教学过程 一 一 创设情景创设情景 探究问题探究问题 3 速度 v 是时间 t 的函数吗 为什么 情境情境 3 用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系 1 一个面积为 6400m2的长方形的长 a m 随宽 b m 的变化而变化 2 某银行为资助某社会福利厂 提供了 20 万元的无息贷款 该厂的平均年还款额 y 万元 随还 款年限 x 年 的变化而变化 3 游泳池的容积为 5000m3 向池内注水 注满水所需时间 t h 随注水速度 v m3 h 的变化而 变化 4 实数 m 与 n 的积为 200 m 随 n 的变化而变化 问题 1 这些函数关系式与我们以前学习的一次函数 正比例函数关系式有什么不同 2 它们有一些什么特征 3 你能归纳出反比例函数的概念吗 一般地 形如 y k 为常数 k 0 的函数称为反比例函数 其中 x 是自变量 y 是 x 的函数 k 是 k x 比例系数 随着速度的变化 全程所用时间发生怎样的变化 随着速度的变化 全程所用时间发生怎样的变化 情境情境 1 当路程一定时 速度与时间成什么关系 s vt 当一个长方形面积一定时 长与宽成什么关系 说明 这个情境是学生熟悉的例子 当中的关系式学生都列得出来 鼓励学生积极思考 讨论 合 作 交流 最终让学生讨论出 当两个量的积是一个定值时 这两个量成反比例关系 如 xy m m 为 一个定值 则 x 与 y 成反比例 这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫 情境情境 2 汽车从南京出发开往上海 全程约 300km 全程所用时间 t h 随速度 v km h 的变化而变化 问题 1 你能用含有 v 的代数式表示 t 吗 2 利用 1 的关系式完成下表 v km h 608090100120 t h 2 反比例函数的自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数 二 例题教学二 例题教学 例 1 下列关系式中的 y 是 x 的反比例函数吗 如果是 比例系数 k 是多少 1 y 2 y 3 y 4 y 3 5 y 6 y 2 7 y x 15 2 x 1 3 x 1 x 2 1 x x 3 1 2x 例 2 在函数 y 1 y y x 1 y 中 y 是 x 的反比例函数的有 个 2 x 2 x 1 1 2x 说明 这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手 着重从形式上进行比较 识别一些反比例函 数的变式 如 y kx 1的形式 还有 y 1 通分为 y y x 都是变量 分子不是常量 故不是反 2 x 2 x x 比例函数 但变为 y 1 可说成 y 1 与 x 成反比例 2 x 例 3 若 y 与 x 成反比例 且 x 3 时 y 7 则 y 与 x 的函数关系式为 说明 这个例题引导学生观察 讨论 并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法 初步感知用 待 定系数法 来求比例系数 并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法 即只需已知一组对应值即 可求比例系数 三 拓展练习三 拓展练习 1 写出下列问题中两个变量之间的函数关系式 并判断其是否为反比例函数 如果是 指出比例系 数 k 的值 1 底边为 5cm 的三角形的面积 y cm2 随底边上的高 x cm 的变化而变化 2 某村有耕地面积 200ha 人均占有耕地面积 y ha 随人口数量 x 人 的变化而变化 3 一个物体重 120N 物体对地面的压强 p N m2 随该物体与地面的接触面积 S m2 的变化而变 化 2 下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数 如果是 比例系数是多少 1 y x 2 y 3 xy 2 0 2 3 2 3x 4 xy 0 5 x 2 3y 3 已知函数 y m 1 x是反比例函数 则 m 的值为 2 2 m 四 课堂小结四 课堂小结 这节课你学到了什么 还有那些困惑 五 布置作业 五 布置作业 六 教学反思六 教学反思 3 第二课时第二课时 反比例函数的图像和性质 反比例函数的图像和性质 1 教学目标 1 体会并了解反比例函数的图象的意义 2 能描点画出反比例函数的图象 3 通过反比例函数的图象的分析 探索并掌握反比例函数的图象的性质 教学重点和难点 本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质 由于反比例函数的图象分两支 给画图带来了复杂性是本节教学的难点 教学过程 1 情境创设 可以从复习一次函数的图象开始 你还记得一次函数的图象吗 在回忆与交流中 进一 步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质 转而导人关注新的函数 反比例函数的图 象研究 反比例函数的图象又会是什么样子呢 2 探索活动 探索活动 1 反比例函数的图象 x y 6 由于反比例函数的图象是曲线型的 且分成两支 对此 学生第一次接触有一定 x y 6 的难度 因此需要分几个层次来探求 1 可以先估计 例如 位置 图象所在象限 图象与坐标轴的交点等 趋势 上升 下降等 2 方法与步骤 利用描点作图 列表 取自变量 x 的哪些值 x 是不为零的任何实数 所以不能取 x 的值的为零 但仍可以以零为基准 左右均匀 对称地取值 描点 依据什么 数据 方法 找点 连线 怎样连线 可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把 所描的点连接起来 探索活动 2 反比例函数的图象 x y 6 可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动 1 可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象 x y 6 4 2 可以通过探索函数与之间的关系 画出的图象 x y 6 x y 6 x y 6 探索活动 3 反比例函数与的图象有什么共同特征 x y 6 x y 6 引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象 曲线 及 两支 的特 征 反比例函数 k 0 的图象是由两个分支组成的曲线 当时 图象在一 三象 x k y 0 k 限 当时 图象在二 四象限 0 k 反比例函数 k 0 的图象关于直角坐标系的原点成中心对称 x k y 3 例题教学 课本安排例 1 1 巩固反比例函数的图象的性质 2 是为了引导学生认识到 由于 在反比例函数 k 0 中 只要常数 k 的值确定 反比例函数就确定了 因此要确定一 x k y 个反比例函数 只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可 3 可以先设问 能否利用 图象的性质来画图 4 应用知识 体验成功 练笔 课本 课内练习 1 2 3 5 归纳小结 反思提高 用描点法作图象的步骤 反比例函数的图象的性质 6 布置作业 作业本 1 课本 作业题 三 教学反思 5 第三课时第三课时 反比例函数的图像和性质 反比例函数的图像和性质 2 教学目标 1 巩固反比例函数图像和性质 通过对图像的分析 进一步探究反比例函数的增减性 2 掌握反比例函数的增减性 能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题 教学重点 通过对反比例函数图像的分析 探究反比例函数的增减性 教学难点 由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移 又由于反比例函数图像分成两条分支 给研究函数的增减性带来复杂性 教学过程 一 复习 1 反比例函数 的图象经过点 1 2 那么这个反比例函数的解析式为 图象在第 象限 它的图象关于 成中心对称 2 反比例函数 的图象与正比例函数 的图象 交于点 A 1 m 则 m 反比例函数的解析式为 这两个图象的另一个交点坐标是 3 画出函数的图像 x 6 y 6 和 x y 二 讲授新课 1 引导学生观察函数的表格和图像说出 y 与 x 之间的变化关系 x 6 y 6 和 x y 1 x y 6 X 6 5 4 3 2 1123456 y 1 1 2 1 5 2 3 66321 51 21 2 x y 6 X 6 5 4 3 2 1123456 y 11 21 5236 6 3 2 1 51 2 1 6 2 做一做 1 用 或 填空 1 已知 和 是反比例函数 的两对自变量与函数的对应值 若 11 y x 22 y x x y 3 则 2 已知和是反比例函数 的两对自变 量与函数的对应值 若 11 y x 22 y x x y 3 则 2 已知 是反比例函数 的图象上的三个点 并且 则 的大小关系是 A B C D 3 已知 是反比例函数 的图象上的三个点 则 的大 小关系是 4 已知反比例函数 1 当 x 5 时 0 y 1 2 当 x 5 时 则 y 1 或 y 3 当 y 5 时 x 的范围是 3 讲解例题 如图 一次函数 y kx b 的图象与反比例函数的 x m y 图象交于 A 2 1 B 1 n 两点 1 求反比例函数和一次函数 的解析式 2 根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 分析 因为 A 点在反比例函数的图象上 可先求出反比例函数的解析式 又 B x y 2 点在反比例函数的图象上 代入即可求出 n 的值 最后再由 A B 两点坐标求出一次函数解 析式 y x 1 第 2 问根据图象可得 x 的取值范围 x 2 或 0 x 1 这是因为比较 两个不同函数的值的大小时 就是看这两个函数图象哪个在上方 哪个在下方 三 小结 四 比较正比例函数和反比例函数的性质 正比例函数反比例函数 解析式 图像 直线双曲线 位置 k 0 一 三象限 k 0 二 四象限 k 0 一 三象限 k 0 二 四象限 增减性 k 0 y 随 x 的增大而增大 k 0 y 随 x 的增大而减小 k 0 在每个象限 y 随 x 的 增大而减小 k 0 在每个象限 y 随 x 的 增大而增大 五 布置作业 见作业本 六六 教学反思教学反思 12 0 xx 12 0yy 12 0 xx 12 0yy 11 xy 22 xy 33 xy 2 y x 123 0yyy 123 xxx 123 xxx 312 xxx 123 xxx 132 xxx 1 1y 2 3y 3 2y 2 y x 123 yyy 5 y x 0 ykxk 0 k yk x 7 第四课时第四课时 生活中的反比例函数生活中的反比例函数 一 教学目标一 教学目标 1 利用反比例函数的知识分析 解决实际问题 2 渗透数形结合思想 提高学生用函数观点解决问题的能力 二 重点 难点二 重点 难点 1 重点 重点 利用反比例函数的知识分析 解决实际问题 2 难点 难点 分析实际问题中的数量关系 正确写出函数解析式 3 难点的突破方法 难点的突破方法 用函数观点解实际问题 一要搞清题目中的基本数量关系 将实际问题抽象成数学问题 看看各变量间应满足什么样的关系式 包括已学过的基本公式 这一步很重要 二是要分 清自变量和函数 以便写出正确的函数关系式 并注意自变量的取值范围 三要熟练掌握反 比例函数的意义 图象和性质 特别是图象 要做到数形结合 这样有利于分析和解决问题 教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路 三 教学过程 三 教学过程 寒假到了 小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰 突然发现前面有一处冰出现了裂痕 小明立即告诉同伴分散趴在冰面上 匍匐离开了危险区 你能解释一下小明这样做的道理吗 四 例习题分析四 例习题分析 例 1 某气球内充满了一定质量的气体 当温 度不变时 气球内气体的气压 P 千帕 是气体 体积 V 立方米 的反比例函数 其图像如图所 示 千帕是一种压强单位 1 写出这个函数的解析式 2 当气球的体积是 0 8 立方米时 气球内的气压是多少千帕 3 当气球内的气压大于 144 千帕时 气球将爆炸 为了安全起见 气球的体积应不小于 多少立方米 分析 题中已知变量 P 与 V 是反比例函数关系 并且图象经过点 A 利用待定系数法 可以求出 P 与 V 的解析式 得 3 问中当 P 大于 144 千帕时 气球会爆炸 即当 V P 96 8 P 不超过 144 千帕时 是安全范围 根据反比例函数的图象和性质 P 随 V 的增大而减小 可先求出气压 P 144 千帕时所对应的气体体积 再分析出最后结果是不小于立方米 3 2 五 随堂练习五 随堂练习 1 京沈高速公路全长 658km 汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京 则汽车行完全程 所需时间 t h 与行驶的平均速度 v km h 之间的函数关系式为 2 完成某项任务可获得 500 元报酬 考虑由 x 人完成这项任务 试写出人均报酬 y 元 与人数 x 人 之间的函数关系式 3 一定质量的氧气 它的密度 kg m3 是它的体积 V m3 的反比例函数 当 V 10 时 1 43 1 求与 V 的函数关系式 2 求当 V 2 时氧气的密度 答案 答案 当 V 2 时 7 15 V 3 14 六 课后练习六 课后练习 1 小林家离工作单位的距离为 3600 米 他每天骑自行车上班时的速度为 v 米 分 所需时间为 t 分 1 则速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系 2 若小林到单位用 15 分钟 那么他骑车的平均速度是多少 2 如果小林骑车的速度最快为 300 米 分 那他至少需要几分钟到达单位 答案 答案 v 240 t 12 t v 3600 2 学校锅炉旁建有一个储煤库 开学初购进一批煤 现在知道 按每天用煤 0 6 吨计 算 一学期 按 150 天计算 刚好用完 若每天的耗煤量为 x 吨 那么这批煤能维持 y 天 1 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系 2 画函数图象 3 若每天节约 0 1 吨 则这批煤能维持多少天 七 教学反思七 教学反思 9 第五课时第五课时 反比例函数复习反比例函数复习 教学目标 教学目标 1 通过对实际问题中数量关系得探索 掌握用函数的思想去研究其变化规律 2 结合具体情境体会和理解反比例函数的意义 并解决与它们有关的简单的实际问题 3 让学生参与知识的发现和形成过程 强化数学的应用与建模意识 提高分析问题和解决 问题的能力 教学重点教学重点 反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用 教学难点教学难点 运用函数的性质和图像解综合题 要善于识别图形 勤于思考 获取有用的