探索规律题的解法

探索规律题的解法探索规律题的解法 新课程标准要求学生 能够初步学会运用数学的思维方式去观察 分析现实社会 去解 决日常生活中和其他学科学习中的问题 增强应用数学的意识 为适应新的教学理念及社会 和谐发展的需要 既考查三基又考查数学应用能力的中考在近几年来出现了颇具新意的观 察探索归纳猜想类型题 以数学概念及数学思想方法为载体 考查潜能的创新题脱颖而出 面对新题学生们总会不知所措 规律题是指在一定条件下 探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题 它 往往给出了一组变化了的数 式子 图形或条件 要求学生通过阅读 观察 分析 猜想 来探索规律 它体现了 特殊到一般 的数学思想方法 考察了学生的分析 解决问题能 力 观察 联想 归纳能力 以及探究能力和创新能力 本文从数与式 数与形角度出发 结合近年中考题分析一下此类题的解法 一 kn b 型 一次函数型 k b 都是常数 例 1 下图是一组有规律的图案 第 1 个 图案由 4 个基础图形组成 第 2 个图案由 7 个基础 图形组成 第 3 个图案由 10 个基础图形组成 那么第 n 个 n 是正整数 图案中由 个基本图形组成 从数的角度分析可知 每个图都比上一个图多出 3 个基本图形 符合一次函数每次增减相 同 随意可以设第 n 个 n 是正整数 图案中由 kn b 个基本图形组成 由第 1 个 图案由 4 个 基础图形组成 第 2 个图案由 7 个基础图形组成 可知 1 4 2 7 满足kn b 代 入 解得 k 3 b 1 所以答案为 3n 1 从形的角度分析 如图 每次增加 3 个基本图形 第 1 次为 4 个 即 3 1 第 2 次为 7 个 即 3 3 1 3 第 3 次为 10 个 即 3 3 3 1 3 所以答案为 3n 1 2 1 3 1 例 2 如图 图 图 图 是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的 山 字 则 第个 山 字中的棋子个数是 n 从形的角度分析此题不易发现规律 从数的角度分析可知 每个图都比上一个图多出 5 个 棋子 列一次函数 易得第个 山 字中的棋子个数是 n52n a型 二次函数型 a b c 是常数 二 2 例 3 如图 用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面 请观察图形并解答下列问题 n 1 n 2 n 3 在第 n 个图中 共有 白块瓷砖 用含 n 的代数式表示 图 图 图 图 从数的角度分析 得 1 2 2 6 3 12 4 20 每个图比上一个图多出的白正方形 个数不相等 不是一次函数型的 但再次作差 发现差相等 我们可以确定这是二次函数型 的 为什么这么说 我们不妨取a上 4 个连续点 n n 1 2 2 n 2 n 3 1 1 2 2 3 3 作差 2na a b 1 1 2 2na 3a b 2 2 1 1 2na 5a b 3 3 2 2 再次作差 2na 3a b 2na a b 2a 2na 5a b 2na 3a b 2a 差相等 而且差的一半就 是二次项系数 将来同学们上了高中 学习了导数就可以更好地理解其中的道理 根据上述 方法 第一次作差 6 2 4 12 6 6 20 12 8 第二次作差 6 4 2 8 6 2 二次项系数为 1 设解析 式为 代入 1 2 2 6 得 b 1 c 0 所以第 n 个图中 共有白块瓷砖 2 2 对于纯数字二次函数型规律上述方法是一个不错的通法 从形的角度分析 第 1 个图有 12 2 第 2 个图有 23 6 第 3 个图有 34 12 第 n 个图形有 n n 1 2 三 三 型 即符号正负交替型型 即符号正负交替型 1 或 1 1 例 4 一组按一定规律排列的式子 a 0 则第n个式子 2 a 5 2 a 8 3 a 11 4 a 是 n为正整数 先看符号 所以为 分母上数规律为一次函数型 易得 1 为 n 字母上指数规律是一次函数型 易得为 3n 1 所以第n个式子是 31 1 n na n 例 5 一组按规律排列的式子 其中第 8 个式子是 25811 14916 0 a aaaa 第 n 个式子是 n 为正整数 先看符号 所以为 分母上字母指数规律为一次函 1 1 数型 易得为 3n 1 分子数规律是二次函数型 易得为 所以第 8 个式子是 第n 2 23 64 a 个式子是 2 1 31 1 n n n a 四 型 作为最常见的指数函数型是中考考查重点 2 2 1 及2 1 例 6 如图 在中 的平分线与的平分线交于点 得ABC AABC ACD 1 A 则 的平分线与的平分线 1 A 1 A BCA1 CDA1 交于点 得 的平分线与的 2 A 2 A BCA2009 CDA2009 平分线交于点 得 则 2010 A 2010 A 2010 A 由几何知识可以推出 1 A 2 2 A 4 3 8 4 16 所以答案为 2 2010 2 例 7 如图 直线 与直线 直线与 y 轴交于点 A 一动点 1 l1yx 2 l 11 22 yx 1 l 从点 A 出发 先沿平行于 x 轴的方向运动 到达直线上的点处后 改为垂直于 x 轴C 2 l 1 B 的方向运动 到达直线上的点处后 再沿平行于 x 轴的方向运动 到达直线上的点 1 l 1 A 2 l 处后 又改为垂直于 x 轴的方向运动 到达直线上的点处后 仍沿平行于 x 轴的 2 B 1 l 2 A 方向运动 照此规律运动 动点依次经过点 C 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 A n B n A 求点 的坐标 1 B 2 B 1 A 2 A 请你通过归纳得出点 的坐标 并求当动点 n A n B 到达处时 运动的总路径的长 C n A 解 解 1 A 点坐标为 0 1 则点的纵坐标 1 B 为 1 设 11 1 B x 1 11 1 22 x 点的坐标为 则点的横 1 1x 1 B 1 1 1 A 坐标为 1 设 11 1 Ay 1 1 12y 点的坐标为 同理 可得 1 A 1 2 2 3 2 B 2 3 4 A 3 7 4 3 7 8 经过归纳得 当动点到达处时 运动的总路 21 2 nn n A 1 21 2 nn n B C n A 径的长为点的横纵坐标之和再减去 1 即 n A 1 212122 nnn 五 循环型 关键是找出循环规律 需要多分析几个量或图形 例 8 如图 已知A1 1 0 A2 1 1 A3 1 1 A4 1 1 A5 2 1 则点A2 007的坐标为 解 先按顺序写出A1 1 0 A2 1 1 A3 1 1 A4 1 1 A5 2 1 A8 2 2 A9 3 2 6 2 2 7 2 2 A3 3 3 很容易得到循环规律 横坐标从第一个开始每 4 个的绝对值依次为 1 2 3 符号依次 纵坐标从第二个开始每 4 个的绝对值依次为 1 2 3 符号依次 20074 501 3 答案易得 502 502 例 9 右图为手的示意图 在各个手指间标记字母 A B C D 请按图中箭头所指方向 即 A B C D C B A B C 的 方式 从 A 开始数连续的正整数 1 2 3 4 当数到 时 12 对应的字母是 当字母 C 第次出现时 恰好数到的201 数是 当字母 C 第次出现时 为正整 数 21n n 恰好数到的数是 用含的代数式表示 n 解 解题思路同上 先按顺序排列 如下表 A BCDCBABCDCBABCDCB 123456789101112131415161718 看上表格可知 字母出现顺序从第 1 个起 依次是 A B C D C B 每 6 个一循环 所以 第 12 个是 B 每个循环里有 2 个字母 C 分别在每个循环的第 2 个和第 3 个 所以第次201 出现时 恰好数到的数是 100 当字母 C 第次出现时 为正整 数 6 3 603 21n n 共有 n 次循环再加第一次出现 C 所以恰好数到的数是 6n 3 例 8 和例 9 都需要多算几个 发现其中的循环规律 问题就迎刃而解了 六 斐波那契数列及其他类型 例 10 一组按规律排列的数 1 1 2 3 5 8 13 请你推断第 9 个数是 解 斐波那契数列是一个经典数学数列 要求其通项公式在初中阶段学生知识储备不足 但学生容易看出规律 从第 3 项开始 每一个数等于前 2 个数字之和 这样就很快求出第 9 个数是 34 例 11 如图 1 是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒 是相邻两行的前四个abcd 数 如图 1 所示 那么当时 8a c d 解 本题是以我国古代的杨辉三角为背景的规律探索型试题 考查了学生对类比方法的运 用 推理知每行的第一个数及最后一个数与行数相同 而其他数分别是上面两个数的和 如图 2 因此 当时 则 29 所以 9 37 8a bcd 例 10 和例 11 属于非常规的找规律 但知识经典 规律明显 也是中考常见的 在平时教 学中教师应该有渗透 主要是方法的总结归纳 也是为高中