第九章 欧氏空间习题.doc

第九章欧氏空间习题一、填空题1设是一个欧氏空间，若对任意，都有，则。2在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么，。3若是一个正交矩阵，则方程组的解为 。4.已知三维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为。5.设中的内积为，则在此内积之下的度量矩阵为 。6设，若与正交，则 。7若欧氏空间在某组基下的度量矩阵为，某向量在此组基下的坐标为,则它的长度为 ，在此基下向量与向量的夹角为 。8在欧氏空间中，若线性相关，且，则 。9是度量阵，则必须满足条件_。10线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是 。11. 在欧氏空间中，向量，那么=_，=_。12. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是_。13. 已知是一个正交矩阵，那么=_，_。14. 已知为阶正交阵，且，则= 。 15. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。16.设，则与的夹角 。17.在维欧氏空间中，级矩阵是某个基的度量矩阵的充要条件是 。二、判断题1在实线性空间中，对向量，定义，那么构成欧氏空间 （ ）2在实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。 （ ）3是欧氏空间的一组基，对于中任意向量，均有，（，分别是在此基下的坐标），则此基必为标准正交基。 （ ）4欧氏空间中的线性变换可以将椭圆映射成圆。 （ ）5V与W均欧氏空间且同构，则它们作为线性空间也必同构。 ( )6设是一个欧氏空间，则与正交。（）7设是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。（ ）8若都是欧氏空间的对称变换，则也是对称变换。 （ ）9欧氏空间中，为对称变换。 （ ）10是欧氏空间的线性变换，中向量的夹角为，而的夹角为，则不是的正交变换。 （ ）11.是维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。( )12. 欧氏空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）13. 若是正交变换，则保持向量的内积不变 （ ）14. 正交矩阵的行列式等于1 （ ）15. 欧氏空间上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）16. 设与都是阶正交矩阵，则也是正交矩阵。（ ）17. 在欧氏空间中，若向量与自身正交，则。( )18. 设是维欧氏空间的正交变换，则在任意基下的矩阵是正交矩阵。( )19. 设是维欧氏空间的两个正交子空间且，则。( )20. 实对称矩阵的任意两个特征向量都正交。( )三选择题1关于欧几里得空间，下列说法正确的是 （ ）(A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间；(B)欧几里得空间未必是线性空间；(C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间；(D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。2 设是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是 （ ）（A） （B） (C) （D）3 对于阶实对称矩阵，以下结论正确的是 （ ）（A）一定有个不同的特征根；（B）存在正交矩阵，使成对角形；（C）它的特征根一定是整数；（D）属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交4设是维欧氏空间的对称变换，则 （ ）（A）只有一组个两两正交的特征向量； （B）的特征向量彼此正交；（C）有个两两正交的特征向量； （D）有个两两正交的特征向量有个不同的特征根。5，定义：，则满足下列何中情况可使作成欧氏空间 （ ）（A）； （B）是全不为零的实数；（C）都是大于零的实数； （D）全是不小于零的实数6，为三阶实方阵，定义，下列可使定义作为的内积的矩阵是 （ ）（A）； （B）；（C）； （D）.7若欧氏空间的线性变换关于的一个标准正交基矩阵为，则下列正确的是 （ ） （A）是对称变换； （B）是对称变换且是正交变换；（C）不是对称变换； （D）是正交变换。8若是维欧氏空间的一个对称变换，则下列成立的选项是 （ ）（A）关于的仅一个标准正交基的矩阵是对称矩阵；（B）关于的任意基的矩阵都是对称矩阵；（C）关于的任意标准正交基的矩阵都是对称矩阵；（D）关于的非标准正交基的矩阵一定不是对称矩阵。9若是维欧氏空间的对称变换，则有 （ ）（A）一定有个两两不等的特征根； （B）一定有个特征根（重根按重数算）；（C）的特征根的个数； （D）无特征根。10，如下定义实数中做成内积的是（） （A）； （B）；（C）； （D）.11. 若线性变换与是（ ），则的象与核都是的不变子空间。互逆的 可交换的 不等的 D. 不可换的12. 设是维欧氏空间，那么中的元素具有如下性质（ ）若； 若；若； D.若。13. 欧氏空间中的标准正交基是（ ）； ； D. ；。14. 设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的必要非充分条件是（ ）保持非零向量的夹角； 保持内积； 保持向量的长度； D. 把标准正交基映射为标准正交基。15. 为阶正交方阵，则为可逆矩阵 B. 秩 C. D.16. 下列说法正确的是( )A. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交;B. 实对称矩阵的属于相同特征值的特征向量必不正交; C. 实对称矩阵的所有特征向量都正交; D. 以上都不对。17. 维欧氏空间的标准正交基( ).A. 不存在 B. 存在不唯一; C. 存在且唯一; D. 不一定存在。18. 若是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。(A) (B) (C) (D)。四、计算题 1已知。求正交矩阵，使成对角形。2已知二次型，问（1）为何值时二次型是正定的？（2）取，用正交线性替换化二次型为标准形。3已知二次型，通过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求及所用的正交变换的矩阵。(04xd2b)4设A为三阶实对称矩阵，其特征值l1= -1, l2=l3=1，已知属于l1的特征向量a1=(0,1,1)，求 A。计算04xd2b)5在0,2上所有连续函数的全体构成的欧氏空间中，判断：对任意正整数n，集合 是否正交向量组。6欧氏空间中，定义内积，求其在基（1，0），（0，1）下的度量阵。并求一组基，使得在此基下的矩阵为对角阵，且在此基下所有向量的长度不变。说明为什么对角阵不是单位矩阵。7将二次曲面通过正交变换和平移变成标准形式。8设欧氏空间的线性变换为问：是否为的对称变换？若是，求出的一个标准正交基，使在这个基下的矩阵为对角形矩阵。 9. 把向量组，扩充成中的一组标准正交基。10. 设为的基，且线性变换在此基下的矩阵为（1）求的特征值与特征向量；（2）是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵使得为对角形五、证明题1设，为同级的正交矩阵，且，证明：2设是欧氏空间的线性变换，且证明：是的对称变换。3证明：维欧氏空间与同构的充要条件是，存在双射，并且有4设与为欧氏空间的两组向量。证明:如果，,则子空间与同构。5证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,以下等式成立:(1)；(2)在解析几何里,等式(1)