高中数学数列知识点总结(1)

精品文档 1欢迎下载 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 1 等差数列的定义与性质 定义 1nn aad d为常数 1 1 n aand 等差中项 xAy 成等差数列2Axy 前n项和 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质 n a是等差数列 1 若mnpq 则 mnpq aaaa 2 数列仍为等差数列 232nnnnn SSSSS 仍为等差 12212 nnn aaa 数列 公差为 dn2 3 若三个成等差数列 可设为adaad 4 若 nn ab 是等差数列 且前n项和分别为 nn ST 则 21 21 mm mm aS bT 5 n a为等差数列 2 n Sanbn ab 为常数 是关于n的常数项为 0 的 二次函数 n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn 的最值 或者求出 n a中的正 负分界 项 即 当 1 00ad 解不等式组 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最大值时的n值 当 1 00ad 由 1 0 0 n n a a 可得 n S达到最小值时的n值 6 项数为偶数的等差数列 n a 有 n2 11122212 为中间两项 nnnnnnn aaaanaanaanS ndSS 奇偶 1 n n a a S S 偶 奇 7 项数为奇数的等差数列 n a 有 12 n 精品文档 2欢迎下载 12 12 为中间项 nnn aanS n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 2 等比数列的定义与性质 定义 1n n a q a q为常数 0q 1 1 n n aa q 等比中项 xGy 成等比数列 2 Gxy 或Gxy 前n项和 1 1 1 1 1 1 n n na q Saq q q 要注意 性质 n a是等比数列 1 若mnpq 则 mnpq aaaa 2 232nnnnn SSSSS 仍为等比数列 公比为 n q 注意注意 由 n S求 n a时应注意什么 1n 时 11 aS 2n 时 1nnn aSS 3 求数列通项公式的常用方法 1 求差 商 法 如 数列 n a 12 2 111 25 222 n n aaan 求 n a 解解 1n 时 1 1 2 1 5 2 a 1 14a 2n 时 121 21 111 21 5 222 n n aaan 得 1 2 2 n n a 1 2n n a 1 14 1 2 2 n n n a n 练习 数列 n a满足 111 5 4 3 nnn SSaa 求 n a 注意到 11nnn aSS 代入得 1 4 n n S S 又 1 4S n S是等比数列 4n n S 精品文档 3欢迎下载 2n 时 1 1 3 4n nnn aSS 2 叠乘法 如 数列 n a中 1 1 3 1 n n an a an 求 n a 解解 32 121 1 21 2 3 n n aaan aaan 1 1 n a an 又 1 3a 3 n a n 3 等差型递推公式 由 110 nn aaf naa 求 n a 用迭加法 2n 时 21 32 1 2 3 nn aaf aaf aaf n 两边相加得 1 2 3 n aafff n 0 2 3 n aafff n 练习 数列 n a中 1 11 132 n nn aaan 求 n a 1 31 2 n n a 4 等比型递推公式 1nn acad cd 为常数 010ccd 可转化为等比数列 设 11 1 nnnn axc axacacx 令 1 cxd 1 d x c 1 n d a c 是首项为 1 1 d ac c 为公比的等比数列 1 1 11 n n dd aac cc 1 1 11 n n dd aac cc 5 倒数法 如 11 2 1 2 n n n a aa a 求 n a 由已知得 1 2111 22 n nnn a aaa 1 111 2 nn aa 1 n a 为等差数列 1 1 1 a 公差为 1 2 111 111 22 n nn a 精品文档 4欢迎下载 2 1 n a n 附 公式法 利用 累加法 累乘法 构造等差或等比 1 2 1 1 nn SSn S n n a 或 待定系数法 对数变换法 迭代法 数学归纳法 1nn apaq 1 nn apaf n 换元法 4 求数列前 n 项和的常用方法 1 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和 使之出现成对互为相反数的项 如 n a是公差为d的等差数列 求 1 1 1 n k kk a a 解 解 由 11 11111 0 kkkkkk d aaaaddaa 11 1112231 11111111111 nn kk kkkknn a adaadaaaaaa 11 111 n daa 练习 求和 111 1 12123123n 1 2 1 nn aS n 2 错位相减法 若 n a为等差数列 n b为等比数列 求数列 nn a b 差比数列 前n项和 可 由 nn SqS 求 n S 其中q为 n b的公比 如 231 1234 n n Sxxxnx 2341 2341 nn n x Sxxxxnxnx 21 11 nn n x Sxxxnx 精品文档 5欢迎下载 1x 时 2 1 1 1 n n n x nx S x x 1x 时 1 123 2 n n n Sn 3 倒序相加法 把数列的各项顺序倒写 再与原来顺序的数列相加 121 121 nnn nnn Saaaa Saaaa 相加 1211 2 nnnn Saaaaaa 练习 已知 2 2 1 x f x x 则 111 1 2 3 4 234 fffffff 由 2 22 2222 1 11 1 111 1 1 xxx f xf xxxx x 原式 11111 1 2 3 4 1 1 13 23422 fffffff 附 a 用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列 an 与首末项等距的两项之和等于首末两项之和 可采用把正着 写与倒着写的两个和式相加 就得到一个常数列的和 这一求和方法称为倒序相加法 我们在学知识时 不但要知其果 更要索其因 知识的得出过程是知识的源头 也是 研究同一类知识的工具 例如 等差数列前 n 项和公式的推导 用的就是 倒序相加 法 b 用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列 等比数列 求前 n 项和 Sn可直接用等差 等比数列的前 n 项和公式 进行求解 运用公式求解的注意事项 首先要注意公式的应用范围 确定公式适用于 这个数列之后 再计算 c 用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项 使得前后项相抵消 留下有限项 从而求出数列的前 n 项和 d 用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法 应用于等比数列与等差数列相乘的形式 即若在数列 an bn 中 an 成等差数列 bn 成等比数列 在和式的两边同乘以公比 再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和 e 用迭加法求数列的前 n 项和 精品文档 6欢迎下载 迭加法主要应用于数列 an 满足 an 1 an f n 其中 f n 是等差数列或等比数列 的条件下 可把这个式子变成 an 1 an f n 代入各项 得到一系列式子 把所有的 式子加到一起 经过整理 可求出 an 从而求出 Sn f 用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列 也不是等比数列的数列 若将这类 数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并