《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解函数模型及其应用(含解析)

第十节函数模型及其应用 知识能否忆起 1 几种常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f x ax b a b 为常数 a 0 二次函数模型f x ax2 bx c a b c 为常数 a 0 指数函数模型f x bax c a b c 为常数 a 0 且 a 1 b 0 对数函数模型f x blogax c a b c 为常数 a 0 且 a 1 b 0 幂函数模型f x axn b a b n 为常数 a 0 n 0 2 三种增长型函数模型的图象与性质 函数y ax a 1 y logax a 1 y xn n 0 在 0 上的 增减性 增函数增函数增函数 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随 x 增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 增大逐渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而不同 小题能否全取 1 教材习题改编 f x x2 g x 2x h x log2x 当 x 4 时 对三个函数的 增长速度进行比较 下列选项中正确的是 A f x g x h x B g x f x h x C g x h x f x D f x h x g x 答案 选 B 由图象知 当 x 4 时 增长速度由大到小依次为 g x f x h x 2 一根蜡烛长 20 cm 点燃后每小时燃烧 5 cm 燃烧时剩下的高度 h cm 与燃烧时间 t h 的函数关系用图象表示为图中的 解析 选 B 由题意 h 20 5t 0 t 4 结合图象知应选 B 3 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本 某企业一个月生产某种商品 x 万件 时的生产成本为 C x x2 2x 20 万元 一万件售价是 20 万元 为获取最大利润 该企 1 2 业一个月应生产该商品数量为 A 36 万件 B 18 万件 C 22 万件 D 9 万件 解析 选 B 利润 L x 20 x C x x 18 2 142 当 x 18 时 L x 有最大值 1 2 4 一种产品的成本原为 a 元 在今后的 m 年内 计划使成本平均每年比上一年降低 p 成本 y 是经过年数 x 0 x m 的函数 其关系式 y f x 可写成 解析 依题意有 y a 1 p x 0 x m 答案 y a 1 p x 0 x m 5 有一批材料可以建成 200 m 的围墙 如果用此材料在一边靠墙的地 方围成一块矩形场地 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形 如图所 示 则围成的矩形最大面积为 围墙厚度不计 解析 设矩形的长为 x m 宽为 m 则 200 x 4 S x x2 200 x 当 x 100 时 Smax 2 500 m2 200 x 4 1 4 答案 2 500 m2 1 解答函数应用题的一般步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知 识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 2 解函数应用题常见的错误 1 不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面 2 在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件 一次函数与二次函数模型 典题导入 例 1 为了保护环境 发展低碳经济 某单位在国家科研部门的支持下 进行技术攻 关 采用了新工艺 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品 已知该单位每月的处理量 最少为 400 吨 最多为 600 吨 月处理成本 y 元 与月处理量 x 吨 之间的函数关系可近似 地表示为 y x2 200 x 80 000 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 1 2 100 元 该单位每月能否获利 如果获利 求出最大利润 如果不获利 则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损 自主解答 设该单位每月获利为 S 则 S 100 x y 100 x 1 2x2 200 x 80 000 x2 300 x 80 000 1 2 x 300 2 35 000 1 2 因为 400 x 600 所以当 x 400 时 S 有最大值 40 000 故该单位不获利 需要国家每月至少补贴 40 000 元 才能不亏损 由题悟法 1 在实际问题中 有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型 其增长特点是直 线上升 自变量的系数大于 0 或直线下降 自变量的系数小于 0 对一次函数模型 主要是 利用一次函数的图象与单调性求解 2 有些问题的两变量之间是二次函数关系 如面积问题 利润问题 产量问题等 对 二次函数模型 一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决 3 在解决一次函数 二次函数的应用问题时 一定要注意定义域 以题试法 1 2012 抚州质检 一块形状为直角三角形的铁皮 直角边长分别为 40 cm 与 60 cm 现将它剪成一个矩形 并以此三角形的直角为矩形的一个角 问怎样剪 才能使剩下的残 料最少 解 如图 剪出的矩形为 CDEF 设 CD x CF y 则 AF 40 y AFE ACB AF AC FE BC 即 40 y 40 x 60 y 40 x 剩下的残料面积为 2 3 S 60 40 x y x2 40 x 1 200 1 2 2 3 x 30 2 600 2 3 0 x 60 当 x 30 时 S 取得最小值为 600 这时 y 20 在边长 60 cm 的直角边 CB 上截 CD 30 cm 在边长为 40 cm 的直角边 AC 上截 CF 20 cm 时 能使所剩残料最少 分段函数模型 典题导入 例 2 2012 孝感统考 某公司生产一种产品 每年需投入固定成本 0 5 万元 此外每 生产 100 件这样的产品 还需增加投入 0 25 万元 经市场调查知这种产品年需求量为 500 件 产品销售数量为 t 件时 销售所得的收入为万元 0 05t 1 20 000t2 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 1 该公司这种产品的年生产量为 x 件 生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产 量 x 的函数为 f x 求 f x 2 当该公司的年产量为多少件时 当年所获得的利润最大 自主解答 1 当 0500 时 f x 0 05 500 5002 12 x 1 20 000 0 25 x 100 0 5 1 400 故 f x Error 2 当 0500 时 f x 12 x 12 4 时 y 4 1 8 3x 1 8 3 5x 4 20 4x 4 8 当乙的用水量超过 4 吨 即 3x 4 时 y 2 4 1 8 3 3x 4 5x 4 24x 9 6 所以 y Error 2 由于 y f x 在各段区间上均单调递增 当 x 时 y f 26 4 0 4 5 4 5 当 x 时 y f 26 4 4 5 4 3 4 3 当 x 时 令 24x 9 6 26 4 4 3 解得 x 1 5 所以甲户用水量为 5x 5 1 5 7 5 吨 付费 S1 4 1 8 3 5 3 17 70 元 乙户用水量为 3x 4 5 吨 付费 S2 4 1 8 0 5 3 8 70 元 指数函数模型 典题导入 例 3 2012 广州模拟 一片森林原来面积为 a 计划每年砍伐一些树 且每年砍伐面 积的百分比相等 当砍伐到面积的一半时 所用时间是 10 年 为保护生态环境 森林面积 至少要保留原面积的 已知到今年为止 森林剩余面积为原来的 1 4 2 2 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 3 今后最多还能砍伐多少年 自主解答 1 设每年降低的百分比为 x 0 x 1 则 a 1 x 10 a 即 1 x 10 1 2 1 2 解得 x 1 1 2 1 10 2 设经过 m 年剩余面积为原来的 则 2 2 a 1 x m a 即 解得 m 5 2 2 1 2 m 10 1 2 1 2 m 10 1 2 故到今年为止 已砍伐了 5 年 3 设从今年开始 以后砍了 n 年 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 则 n 年后剩余面积为a 1 x n 2 2 令a 1 x n a 即 1 x n 2 2 1 4 2 4 解得 n 15 1 2 n 10 1 2 3 2 n 10 3 2 故今后最多还能砍伐 15 年 由题悟法 增长率问题 在实际问题中常可以用指数函数模型 y N 1 p x 其中 N 是基础数 p 为增长率 x 为时间 和幂函数模型 y a 1 x n 其中 a 为基础数 x 为增长率 n 为时间 的 形式 解题时 往往用到对数运算和开方运算 要注意用已知给定的值对应求解 以题试法 3 某电脑公司 2012 年的各项经营收入中 经营电脑配件的收入为 400 万元 占全年 经营总收入的 40 该公司预计 2014 年经营总收入要达到 1 690 万元 且计划从 2012 年到 2014 年 每年经营总收入的年增长率相同 2013 年预计经营总收入为 万元 解析 设年增长率为 x 则有 1 x 2 1 690 1 x 因此 2013 年预计经营总 400 40 13 10 收入为 1 300 万元 400 40 13 10 答案 1 300 1 设甲 乙两地的距离为 a a 0 小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟 在乙地休息 10 分钟后 他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟 则小王从出发到返回 原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为 解析 选 D 注意到 y 为 小王从出发到返回原地所经过的路程 而不是位移 用定性 分析法不难得到答案为 D 2 2012 湖北三校联考 某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税 税率为 R 即每销售 100 元征税 R 元 若年销售量为万件 要使附加税不少于 128 万元 30 5 2R 则 R 的取值范围是 A 4 8 B 6 10 C 4 8 D 6 100 解析 选 A 根据题意得 要使附加税不少于 128 万元 需 160 R 128 整理得 R2 12R 32 0 解得 4 R 8 即 R 4 8 30 5 2R 3 由于电子技术的飞速发展 计算机的成本不断降低 若每隔 5 年计算机的价格降低 现在价格为 8 100 元的计算机经过 15 年的价格应降为 1 3 A 2 000 元 B 2 400 元 C 2 800 元 D 3 000 元 解析 选 B 设经过 3 个 5 年 产品价格为 y 元 则 y 8 100 3 2 400 1 1 3 4 2013 温州月考 某电信公司推出两种手机收费方式 A 种方式 是月租 20 元 B 种方式是月租 0 元 一个月的本地网内打出电话时间 t 分钟 与打出电话费 s 元 的函数关系如图 当打出电话 150 分钟时 这两种方式电话费相差 A 10 元 B 20 元 C 30 元 D 元 40 3 解析 选 A 依题意可设 sA t 20 kt sB t mt 又 sA 100 sB 100 100k 20 100m 得 k m 0 2 于是 sA 150 sB 150 20 150k 150m 20 150 0 2 10 即两种方式电话 费相差 10 元 5 某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台 第二个月销售 200 台 第三个月销 售 400 台 第四个月销售 790 台 则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月 数 x 之间关系的是 A y 100 x B y 50 x2 50 x 100 C y 50 2x D y 100log2x 100 解析 选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知 应为指数型函数模型 6 2013 长春联合测试 某位股民购进某支股票 在接下来的交易时间内 他的这支股 票先经历了 n 次涨停 每次上涨 10 又经历了 n 次跌停 每次下跌 10 则该股民这支股 票的盈亏情况 不考虑其他费用 为 A 略有盈利 B 略有亏损 C 没有盈利也没有亏损 D 无法判断盈亏情况 三维设计 2014 届高考数学一轮复习教学案 复习技法 解析 选 B 设该股民购这支股票的价格为 a 则经历 n 次涨停后的价格为 a 1 10 n a 1 1n 经历 n 次跌停后的价格为 a 1 1n 1 10 n a 1 1n 0 9n a 1 1 0 9 n 0 99n a a 故该股民这支股票略有亏损 7 2012 河南调研 为了在 十一 黄金周期间降价搞促销 某超市对顾客实行购物优 惠活动 规定一次购物付款总额 如果不超过 200 元 则不予优惠 如果超过 200 元 但不超过 500 元 则按标价给予 9 折优惠 如果超过 500 元 其中 500 元按第 条给予 优惠 超过 500 元的部分给予 7 拆优惠 辛云和她母亲两次去购物 分别付款 168 元和 423 元 假设她们一次性购买上述同样的商品 则应付款额为 解析 依题意 价值为 x 元商品和实际付款数 f x 之间的函数关系式为 f x Error 当 f x 168 时 由 168 0 9 187 200 故此时 x 168 当 f x 423 时 由 423 0 9 470 200 500 故此时 x 470 所以两次共购得价值为 470 168 638 元的商品 又 500 0 9 638 500 0 7 546 6 元 即若一次性购买上述商品 应付款额为 546 6 元 答案 546 6 元 8 2012 镇江模拟 如图 书的一页的面积为 600 cm2 设计要求书面 上方空出 2 cm 的边 下 左 右方都空出 1 cm 的边 为使中间文字部分 的面积最大 这页书的长 宽应分别为 解析 设长为 a cm 宽为 b cm 则 ab 600 则中间文字部分的面积 S a 2 1 b 2 606 2a 3b 606 2 486 当且仅当 2a 3b 即 6 600 a 30 b 20 时 S最大 486 答案 30 cm 20 cm 9 某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元 预测六月份销售额为 500 万元 七月份销售额比六月份递增 x 八月份销售额比七月份递增 x 九 十月份销售总额与 七 八月份销售总额相等 若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元 则 x 的最小值 是 解析 七月份的销售额为 500 1 x 八月份的销售额为 500 1 x 2 则一月份到十 月份的销售总额是 3 860 500 2 500 1 x 500 1 x 2 根据题意有 3 860 500 2 500 1 x 500 1 x 2 7 000 即 25 1 x 25 1 x 2 66 令 t 1 x 则 25t2 25t 66 0 解得 t 或者 t 舍去 6 5 11 5 故 1 x 解得 x 20 6 5 答案 20 10 2012 湖南十二校联考 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品 估计能获得 10 万元到 1 000 万元的投资收益 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案 奖金 y 单位 万元 随投资收益 x 单位 万元 的增加而增加 且奖金不超过 9 万元 同时奖金不超过收 益的 20 请分析函数 y 2 是否符合公司要求的奖励函数模型 并说明原因 x 150 解 对于函数模型 y f x 2 x 150 当 x 10 1 000 时 f x 为增函数 f x max f 1 000 2 2 即 f x 不恒成立 1 15 10 5 x 5 故函数模型 y 2 不符合公司要求 x 150 11 高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是 4 500 元 台 当笔记本 电脑销售价为 6 000 元 台时 月销售量为 a 台 市场分析的结果表明 如果笔记本电脑的 销售价提高的百分率为 x 0 x 1 那么月销售量减少的百分率为 x2 记销售价提高的百分率 为 x 时 电脑企业的月利润是 y 元 1 写出月利润 y 与 x 的函数关系式 2 如何确定这种笔记本电脑的销售价 使得该公司的月利润最大 解 1 依题意 销售价提高后变为 6 000 1 x 元 台 月销售量为 a 1 x2 台 则 y a 1 x2 6 000 1 x 4 500 即 y 1 500a 4x3 x2 4x 1 0 x 1 2 由 1 知 y 1 500a 12x2 2x 4 令 y 0 得 6x2 x 2 0 解得 x 或 x 舍去 1 2 2 3 当 0 x0 当 x 1 时 y 0 y 0 2 依题意 要求四个矩形木雕总面积的最大值即求 4xy 的最大值 因为 a b x y 均大于 0 所以 2bx 2ay 2 从而 S 4 4xy ab 当且仅 2bx 2ayabxy 当 bx ay 时等号成立 令 t 则 t 0 上述不等式可化为 4t2 4 t ab S 0 xyab 解得 t S ab 2 S ab 2 因为 t 0 所以 0 t S ab 2 从而 xy ab S 2 abS 4 由Error 得Error 所以当 x y 时 四个矩形木雕的总面积最大 最大值为 ab S 2 abS ab 2b abS ab 2a abS 1 某地 2011 年底人口为 500 万 人均住房面积为 6 m2 如果该城市人口平均每年增 长率为 1 问为使 2021 年底该城市人均住房面积增加到 7 m2 平均每年新增住房面积至少 为 1 0110 1 104 6 A 90 万 m2 B 87 万 m2 C 85 万 m2 D 80 万 m2 解析 选 B 由题意 86 6 万 m2 87 万 m2 500 1 1 10 7 500 6 10 2 一高为 H 满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示 其底部破了一个小洞 满缸水从洞中流出 若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v 则函数 v f h 的大 致图象可能是图中的 解析 当 h 0 时 v 0 可排除 由于鱼缸中间粗两头细 当 h 在 附近时 体 H 2 积变化较快 h 小于 时 增加越来越快 h 大于 时 增加越来越慢 H 2 H 2 答案 3 2011 湖北高考 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般 情况下 大桥上的车流速度 v 单位 千米 时 是车流密度 x 单位 辆 千米 的函数 当桥上 的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 时 研究表明 当 20 x 200 时 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 1 当 0 x 200 时 求函数 v x 的表达式 2 当车流密度 x 为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 时 解 1 由题意 当 0 x 20 时 v x 60 当 20 x 200 时 设 v x ax b 再由已知得Error 解得Error 故函数 v x 的表达式为 v x Error 2 依题意并由 1