相似三角形中的辅助线

相似三角形中的辅助线相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时 所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形 或得到 成比例的线段或得出等角 等边 从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系 主要的辅助线有以下几种 一 作平行线一 作平行线 例 1 如图 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E 且使 AD AE DE 延长线与 ABC BC 延长线相交于 F 求证 BF CF BD CE B D A C F E 证明 证明 过点 C 作 CG FD 交 AB 于 G B G D A C F E 小结 小结 本题关键在于 AD AE 这个条件怎样使用 由这道题还可以增加一种证明线段相 等的方法 相似 成比例 例 2 如图 ABC 中 AB AC 在 AB AC 上分别截取 BD CE DE BC 的延长线相 交于点 F 证明 AB DF AC EF 分析 分析 证明等积式问题常常化为比例式 再通过相似三角形对应边成比例来证明 欲证 需证 而这四条线段所在的两个三角形显然AB DFAC EF AB AC EF DF 不相似 因而要通过两组三角形相似 运用中间比代换得到 为构造相似三角形 需添加 平行线 方法一 方法一 过 E 作 EM AB 交 BC 于点 M 则 EMC ABC 两角对应相等 两三 角形相似 EM AB EC AC EM ACAB EC即 AB AC EM EC 同理可得 EMFDBF EF DF EM BD 又 BDEC EM EC EM BD 为中间比 EM BD AB AC EF DF AB DFAC EF 方法二 方法二 如图 过 D 作 DN EC 交 BC 于 N 则有 BDNBAC BD AB DN AC BD ACAB DN 即 比例的基本性质 AB AC BD DN 同理 ECFDNF EC DN EF DF BDEC 而 已知 BD DN EC DN EC DN 为中间比 AB AC EF DF AB DFAC EF 二 作垂线二 作垂线 3 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF 垂足分别为 E F 求 证 2 ACAFADAEAB A B C F D E A B C F D E N M 证明 过 B 作 BM AC 于 M 过 D 作 DN AC 于 N ABM ACE 1 AC AB AE AM AMACAEAB 又 2 ADN ACF AC AD AF AN ANACAFAD 1 2 ANAMACANACAMACAFADAEAB 又 AN CM BCMADN 2 ACCMAMACAFADAEAB 三 作延长线三 作延长线 例 5 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 若 BCD 的平分线 CH AB 于点 H BH 3AH 且四边形 AHCD 的面积为 21 求 HBC 的面积 分析 分析 因为问题涉及四边形 AHCD 所以可构造相似三角形 把问题转化为相似三角 形的面积比而加以解决 解 解 延长 BA CD 交于点 P CH AB CD 平分 BCD CB CP 且 BH PH BH 3AH PA AB 1 2 PA PB 1 3 AD BC PAD PBC SS PADPBC 19 SS PCHPBC 1 2 四边形 SS PADAHCD 27 四边形 S AHCD 21 S PAD 6 S PBC 54 SS HBCPBC 1 2 27 例 6 如图 RtABC 中 CD 为斜边 AB 上的高 E 为 CD 的中点 AE 的延长线交 BC 于 F FGAB 于 G 求证 FG CFBF 2 解析 解析 欲证式即 由 三点定形 BFG 与 CFG 会相似吗 显然不可 FG CF BF FG 能 因为 BFG 为 Rt 但由 E 为 CD 的中点 可设法构造一个与 BFG 相似的三 角形来求解 不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H 则 EC FH ED FG AE AF EC FH ED FG 又 ED EC FG FH 又易证 Rt CFH Rt GFB FG FH CF BF BF FH FG CF FG FH FG2 CF BF 四 作中线 例 7 如图 中 AB AC AE BC 于 E D 在 AC 边上 若 BD DC EC 1 求ABC AC 解 解 取 BC 的中点 M 连 AM AB AC AM CM 1 C 又 BD DC DCBDBC DBCC 1 又 DC 1 MC BCMAC DBC BC AC DC MC 2 1 1 2 2 1 BC DC BCMC AC 又 又 EC 1 2 AECRt BACRt BCBCCEAC 2 由 1 2 得 4 2 1 ACAC 3 2 AC 小结 小结 利用等腰三角形有公共底角 则这两个三角形相似 取 BC 中点 M 构造与MAC 相似是解题关键DBC 综合练习题 1 在 ABC 中 D 为 AC 上的一点 E 为 CB 延长线上的一点 BE AD DE 交 AB 于 F 求证 EF BC AC DF 2 中 AC BC P 是 AB 上一点 Q 是 PC 上一点 不是中点 ABC 90ACB MN 过 Q 且 MN CP 交 AC BC 于 M N 求证 CNCMPBPA 3 理由 如图 中 那么吗 试说明 ABCABACBD ACBCCA CD 2 2 用三种解法 1 证明 证明 过过 D 作作 DG BC 交交 AB 于于 G 则 则 DFG 和和 EFB 相似 相似 BE BE AD AD DGDF BEEF 由由 DG BC 可得可得 ADG 和和 ACB 相似 相似 DGDF ADEF DGAD BCAC 由由 得 得 EF BC AC DF DGBC ADAC DFBC EFAC 2 证明 证明 过 P 作 PE AC 于 E PF CB 于 F 则 CEPF 为矩形 PFEC 45BA EC PF AEPRt PFBRt PFPEPBAP 1 在和中 CP MN 于 Q EC PE PF PE PB PA ECP CNM 又 90QNCQCN 90QCMQCNCNQMCQ 即 2 由 1 2 得PECRt MCNRt CN EC CM EP CN CM EC EP CN CM PB PA 3 方法一 方法一 如图 1 设 BC 中点为 E 连接 AE 图 1 ABAC BECE AE BCAECBDC CC BDCAEC 90 BC AC CD CE BC CEAC CD CEBC BCCA CD 1 2 2 2 方法二 方法二 如图 2 在 DA 上截取 DE DC 图 2 在 BED 与 BCD 中 BD CEBDEBDC DEDC BDBD BEDBCDBECC ABACABCC 90 ABCBCE AC BC BC EC