lecture16：逻辑推理

北京五中网校内部资料 明师学校个性化辅导教研部教研部 2009 1 第第 16 讲讲 逻辑推理逻辑推理 内容概述内容概述 体育比赛形式的逻辑推理问题 其中存在的呼应 一队的胜 负 平分对应着另一队的负 平 胜 对解题有重要作用 有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示 需要从整体考虑 涉及数量比 较 整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题 典型问题典型问题 1 共有 4 人进行跳远 百米 铅球 跳高 4 项比赛 规定每个单项中 第一名记 5 分 第二名记 3 分 第三名记 2 分 第四名记 1 分 已知在每一单项比赛中都没有并列名次 并且总分第一名共获 17 分 其中跳高得分低于其他项得分 总分第三名共获 11 分 其中跳高得分高于其他项得分 问总分第二名在 铅球项目中的得分是多少 分析与解分析与解 每个单项的 4 人共得分 5 3 2 1 11 分 所以 4 个单项的总分为 11 4 44 分 而第一 三名得分为 17 11 分 所以第二 四名得分之和为分 其中第四名得分最少为 4 分 此44 1711 16 时第二名得分最高 为 16 4 12 分 又因为第三名为 11 分 那么第二名最低为 12 分 那么第二名只能为 12 分 此时第四名 4 分 于是 第一 二 三 四名的得分依次为 17 12 1l 4 分 而 17 只能是 5 5 5 2 4 只能是 1 1 1 1 不难得到下表 由表知总分第二名在铅球项目中的得分是 3 分 2 2 4 4 支足球队进行单循环比赛 即每两队之间都比赛一场 每场比赛胜者得支足球队进行单循环比赛 即每两队之间都比赛一场 每场比赛胜者得 3 3 分 负者得分 负者得 0 0 分 平局分 平局 各得各得 1 1 分 比赛结果 各队的总得分恰好是分 比赛结果 各队的总得分恰好是 4 4 个连续的自然数 问 输给第一名的队的总分是多少个连续的自然数 问 输给第一名的队的总分是多少 分析与解 四个队共赛了场 6 场总分在 12 6 2 与 18 6 3 之间 2 4 4 3 6 2 C m 由于是 4 个连续自然数的和 所以 2 3 4 5 14 或 3 4 5 18 mmm 如果 18 那么每场都产生 3 分 没有平局 但 5 3 1 1 表明两场踢平 矛盾 m 所以 14 14 3 2 2 4 表明 6 场中只有 2 场分出胜负 此时第一 二 三 四名得分依次为m 5 4 3 2 则第三名与所有人打平 那么第二名没有了平局 只能是第一名与第四名打平 这样第一名还有 1 局 胜 第二名还有 1 局负 所以第一名胜第二名 即输给第一名的队得 4 分 如下图所示 在两队之间连一条线表示两队踢平 画一条 表示胜各队用它们的得分来 AB A B 表示 北京五中网校内部资料 明师学校个性化辅导教研部教研部 2009 2 评注 常见的体育比赛模式 个队进行淘汰赛 至少要打场比赛 每场比赛淘汰一名选手 N1N 个队进行循环赛 一共要打场比赛 每个队要打场比赛 N 2 1 2 N N N C 1N 循环赛中常见的积分方式 两分制 胜一场得 2 分 平一场得 1 分 负一场得 0 分 核心关系 总积分 2 比赛场次 三分制 胜一场得 3 分 平一场得 1 分 负一场得 O 分 核心关系 总计分 3 比赛场次 1 赛平场次 3 3 6 6 支足球队进行单循环比赛 即每两队之间都比赛一场 每场比赛胜者得支足球队进行单循环比赛 即每两队之间都比赛一场 每场比赛胜者得 3 3 分 负者得分 负者得 0 0 分 平局分 平局 各得各得 1 1 分 现在比赛已进行了分 现在比赛已进行了 4 4 轮 即每队都已与轮 即每队都已与 4 4 个队比赛过 各队已赛个队比赛过 各队已赛 4 4 场的得分之和互不相同 已场的得分之和互不相同 已 知总得分居第三位的队共得知总得分居第三位的队共得 7 7 分 并且有分 并且有 4 4 场球踢成平局 那么总得分居第五位的队最多可得多少分场球踢成平局 那么总得分居第五位的队最多可得多少分 最最 少可得多少分少可得多少分 分析与解 每轮赛 3 场 最多产生分 四轮最多分 现在有 4 场踢成平局 每3 39 4 936 平一场少 1 分 所以总分为 364 132 前三名得分的和至少为78924 所以后三名的得分的和至多为32248 第 5 名如果得 4 分 则后三名的得分的和至少为这不可能 所以第 5 名最多得 3 分 图 为459 a 取 3 分时的一种可能的赛况图 显然第 5 名最少得 1 分 图 b 为取 1 分时的一种可能的赛况图 评注 以下由第 5 名得分情况给出详细赛况 北京五中网校内部资料 明师学校个性化辅导教研部教研部 2009 3 4 4 某商品的编号是一个三位数 现有 某商品的编号是一个三位数 现有 5 5 个三位数 个三位数 874874 765765 123123 364364 925925 其中每一个数与商 其中每一个数与商 品编号 恰好在同一位上有一个相同的数字 那么这个三位数是多少品编号 恰好在同一位上有一个相同的数字 那么这个三位数是多少 分析与解分析与解 方法一 方法一 每一个与商品编号 恰好在同一位上有一个相同的数字 五个数 就要有五次 相同 列出这五个数 874 765 123 364 925 百位上五个数各不相同 十位上有两个 6 和两个 2 个位上有两个 4 和两个 5 因此 商品编号的个位数字一定和给定 5 个数中的两个个位数字相同 商品编号的十位数字一定和给定 5 个数中的两个十位数字相同 商品编号的百位数字只能跟 5 个数中的一个百位数字相同 若商品编号的个位数字是 5 我们就把第二个和第五个数拿走 剩下的三个数的十位数字各不相同 无 法满足题目的要求 事实上 十位数字只能取 7 而十位上只有一个 7 若商品编号的个位数字是 4 拿走第一和第四个数后 十位上仍有两个 2 可取十位数字为 2 再拿走第 三和第五个数 剩第二个数 它的百位是 7 所以商品的编号为 724 如果一个数与商品编号在某一位有相同数字 那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字 因此解的 过程中用 拿走 这一说法是恰当的 方法二 方法二 商品编号的个位数字只可能是 3 4 5 如果是 3 那么 874 765 364 925 这 4 个数中至多有三个数与商品编号有相同数字 百位有一个相同 十位有两个相同 还有一个数与商品编号无相同数字 矛盾 如果是 5 那么 765 925 的个位数字是 5 从而商品号码的十位数字不是 6 2 因此必须是 7 这时 123 364 中至少有一个与商品号码无相同数字 矛盾 所以 该商品号码的个位数字只能是 4 而且这个号码应为 724 即这个三位数为 724 5 5 某楼住着 某楼住着 4 4 个女孩和个女孩和 2 2 个男孩 他们的年龄各不相同 最大的个男孩 他们的年龄各不相同 最大的 1010 岁 最小的岁 最小的 4 4 岁 最大的女孩比岁 最大的女孩比 最小的男孩大最小的男孩大 4 4 岁 最大的男孩比最小的女孩大岁 最大的男孩比最小的女孩大 4 4 岁 求最大的男孩的岁数 岁 求最大的男孩的岁数 分析与解分析与解 本题中最大的孩子 可能是男孩 可能是女孩 当最大的孩子为女孩时 即最大的女孩为 10 岁 那么最小的男孩为岁 则 4 岁定是最小的104 6 女孩 那么最大的男孩是 4 4 8 岁 满足题意 当最大的孩子为男孩时 即最大的男孩为 10 岁 那么最小的女孩为 10 4 6 岁 则 4 岁一定时最小的 男孩 那么最大的女孩为 4 4 8 岁 也就是说 4 个年龄不同的女孩的年龄在 6 8 之间 显然得不到满 北京五中网校内部资料 明师学校个性化辅导教研部教研部 2009 4 足 于是 最大的男孩为 8 岁 6 6 某次考试满分是 某次考试满分是 100100 分 分 A A B B C C D D E E 这这 5 5 个人参加了这次考试 个人参加了这次考试 A A 说 说 我得了我得了 9494 分 分 B B 说 说 我在我在 5 5 个人中得分最高 个人中得分最高 C C 说 说 我的得分是我的得分是 A A 和和 D D 的平均分 且为整数 的平均分 且为整数 D D 说 说 我的得分恰好是我的得分恰好是 5 5 个人的平均分 个人的平均分 E E 说 说 我比我比 C C 多得了多得了 2 2 分 并且在分 并且在 5 5 个人中居第二 个人中居第二 问这问这 5 5 个人各得了多少分个人各得了多少分 分析与解分析与解 B E 分别为第一 二名 C 介于 A D 之间 则当 A 为第三时 C 为第四 D 为第五 得 5 人平均分的人为最后一名 显然不满足 于是 D C A 只能依次为第三 四 五名 有 B E D C A 依次为第一 二 三 四 五名 A 为 94 分 C 为 D A 得平均分 且为整数 所以 D 的得分为偶数 只可能为 98 或 96 如果为 100 则 B E 无法 取值 D C A 得分依次为 98 96 94 或 96 95 94 有 E 比 C 高 2 分 则 E D C A 得分依次为 98 98 96 94 或 97 96 95 94 对应 5 个人的平均分为 98 或 96 而 B 的得分对应为 104 或 98 显然 B 得不到 104 分 所以 B E D C A 的得分只能依次是 98 97 96 95 94 7 7 在一次射击练习中 甲 乙 丙 在一次射击练习中 甲 乙 丙 3 3 位战士各打了位战士各打了 4 4 发子弹 全部中靶 其命中情况如下 发子弹 全部中靶 其命中情况如下 每人每人 4 4 发子弹所命中的环数各不相同 发子弹所命中的环数各不相同 每人每人 4 4 发子弹所命中的总环数均为发子弹所命中的总环数均为 1717 环 环 乙有乙有 2 2 发命中的环数分别与甲其中的发命中的环数分别与甲其中的 2 2 发一样 乙另发一样 乙另 2 2 发命中的环数与丙其中的发命中的环数与丙其中的 2 2 发一样 发一样 甲与丙只有甲与丙只有 1 1 发环数相同 发环数相同 每人每发子弹的最好成绩不超过每人每发子弹的最好成绩不超过 7 7 环 环 问 甲与丙命中的相同环数是几问 甲与丙命中的相同环数是几 分析与解 条件较多 一次直接求出满足所有条件的情况有些困难 争把条件分类 再逐个满足 之 第一步 使用枚举法找出符合每发最多不超过 7 环 四发子弹命中的环型不相同 和为 17 环的所有 情况 第二步 在这些情况中去掉不符合条件 的 剩下的就是符合全