八年级图形证明2.doc

教学内容图形证明21、 课本回顾（要求熟练掌握！）矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形二、课前小测1、（2014春富阳市校级期末）如图，在直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C的坐标为（，1）求点A和点B的坐标【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有【分析】过点A作ADx轴于D，过点C作CEx轴于E，根据点C的坐标求出OE、CE，再利用“角角边”证明AOD和OCE全等，根据全等三角形的可得OD=CE，AD=OE，然后写出点A的坐标即可；作GB与EC相交于点H，可证明BHECEO（AAS），进而可得BH=CE=1，AD=OE=，从而可得答案【解答】解：如图，过点A作ADx轴于D，过点C作CEx轴于E，C点坐标为（，1），OE=，CE=1，四边形ABCO是正方形，OA=OC，AOC=90，AOD+COE=90，AOD+DAO=90，DAO=COE，在AOD和OCE中，AODOCE（AAS），OD=CE=1，AD=OE=，点A（1，）；作GB与EC相交于点H，四边形ABCO是正方形，BC=CO，BCO=90，BCH+OCE=90，BCH+HBC=90，BHECEO（AAS），BH=CE=1，AD=OE=点B的坐标为（1，1）【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键三、典例分析题型一 与菱形有关的几何问题例1 （2016哈尔滨模拟）如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，则EB=EC，故有3=4，在直角三角形ACB中，2与4互余，1与3互余，则可得到AE=CE，从而证得ACE和EFA都是等腰三角形，又因为FDBC，ACBC，所以ACFE，再根据内错角相等得到AFCE，故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于ACE是等腰三角形，当1=60时ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形【解答】解：（1）ED是BC的垂直平分线EB=EC，EDBC，3=4，ACB=90，FEAC，1=5，2与4互余，1与3互余1=2，AE=CE，又AF=CE，ACE和EFA都是等腰三角形，5=F，2=F，在EFA和ACE中，EFAACE（AAS），AEC=EAFAFCE四边形ACEF是平行四边形；（2）当B=30时，四边形ACEF是菱形证明如下：B=30，ACB=901=2=60AEC=60AC=EC平行四边形ACEF是菱形【点评】本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解，有利于学生思维能力的训练涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形变式训练1 （2016亭湖区一模）如图，已知点E，F分别是ABCD的边BC，AD上的中点，且BAC=90（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若B=30，BC=10，求菱形AECF面积【考点】菱形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD=BC，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=BC=CE，AF=AD=CF，得出AE=CE=AF=CF，即可得出结论；（2）连接EF交AC于点O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位线定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面积=ACEF，即可得出结果【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，在RtABC中，BAC=90，点E是BC边的中点，AE=BC=CE，同理，AF=AD=CF，AE=CE=AF=CF，四边形AECF是菱形；（2）解：连接EF交AC于点O，如图所示：在RtABC中，BAC=90，B=30，BC=10，AC=BC=5，AB=AC=5，四边形AECF是菱形，ACEF，OA=OC，OE是ABC的中位线，OE=AB=，EF=5，菱形AECF的面积=ACEF=55=【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理、菱形的面积公式；熟练掌握菱形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键题型二 与正方形有关的几何问题例2（2014春洪湖市期中）如图，在正方形ABCD中，M为AB的中点，MNMD，BN平分CBE并交MN于N试说明：MD=MN【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】如图，将BMN以DMN的角平分线为轴翻折至PDM的位置，即取AD的中点P，连接PM从而MPDNBM，故DM=MN【解答】解：取AD的中点P，连接PM，M为AB的中点，且四边形ABCD是正方形，AB=AD；AM=AP=BM=PD；AMP=APM=45；DPM=135；而BN平分CBE，NBE=45；MBN=135；MNMD，ADM+AMD=NMB+AMD=90，ADM=NMB，即MDP=NMB在MPD与NBM中，MPDNBM（ASA），DM=MN【点评】此题把正方形和全等三角形的知识结合起来，主要利用正方形的性质，全等三角形的性质与判定来解题变式训练2 （2012青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CF于点F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但ABE和ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证AEMEFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EMAEF=90FEC+AEB=90又EAM+AEB=90EAM=FEC点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点AM=EC又可知BME是等腰直角三角形AME=135又CF是正方形外角的平分线ECF=135AEMEFC（ASA）AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；阅读型【分析】（2）在AB上截取AM=EC，然后证明EAM=FEC，AME=ECF=135，再利用“角边角”证明AEM和EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；（3）延长BA到M，使AM=CE，然后证明BME=45，从而得到BME=ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明DAE=BEA，然后得到MAE=CEF，再利用“角边角”证明MAE和CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证【解答】（2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，由（1）知EAM=FEC，AM=EC，AB=BC，BM=BE，BME=45，AME=ECF=135，AEF=90，FEC+AEB=90，又EAM+AEB=90，EAM=FEC，在AEM和EFC中，AEMEFC（ASA），AE=EF；（3）探究3：成立，证明：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，BM=BE，BME=45，BME=ECF=45，又ADBE，DAE=BEA，又MAD=AEF=90，DAE+MAD=BEA+AEF，即MAE=CEF，在MAE和CEF中，MAECEF（ASA），AE=EF【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出AEM与EFC全等是解题的关键 课堂总结课后作业1、（2016春淅川县期末）如图，已知：在ABC中，C=ABC，BEAC，BDE是正三角形求C的度数【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到DBE=60，BEC=90，再根据等腰三角形的性质可以得出EBC=ABC60=C60，最后根据三角形内角和定理得出关系式C60+C=90解出即可【解答】解：BDE是正三角形，DBE=60；在ABC中，C=ABC，BEAC，C=ABC=ABE+EBC则EBC=ABC60=C60，BEC=90；EBC+C=90，即C60+C=90解得C=75【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意的简易方程，从而求出结果2、（2016春滕州市期末）如图，已知，BD与CE相交于点O，AD=AE，B=C，请解答下列问题：（1）ABD与ACE全等吗？为什么？（2）BO与CO相等吗？为什么？【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）ABDACE，因为已知的两个条件，再加上A=A，利用AAS可证全等；（2）先利用（1）中，ABDACE，可得AB=AC，而AD=AE，利用等量减等量差相等，可得BE=CD，再加上B=C，BOE=COD，利用AAS可证BOECOD，那么利用全等三角形的性质可得BO=CO【解答】解：ABD与ACE全等，理由：（1）在ABD与ACE中A=A，B=C，AD=AE，ABDACE（AAS）（2）BO与CO相等，理由：ABDACE，AB=AC，AE=AD，ABAE=ACAD，即BE=CD，在BOE与COD中，EOB=DOC，B=C，BE=CD，BOECOD（AAS）BO=CO【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了等量减等量差相等的知识，做题时注意结合图形选择做题方法3、（2016深圳三模）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？（3）在（2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高a万元（a0），市政府如何确定方案才能使费用最少？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用菁优网版权所有【分析】（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，根据题意建立方程求出其解即可；（2）设甲种套房提升m套，那么乙种套房提升（80m）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与m之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论；（3）根据（2）表示出W与m之间的关系式，由一次函数的性质分类讨论就可以得出结论【解答】（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，依题意，得解得：x=25经检验：x=25符合题意，x+3=28答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元（2）设甲种套房提升m套，那么乙种套房提升（80m）套，依题意，得解得：48m50即m=48或49或50，所以有三种方案分别是：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套，方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套设提升两种套房所需要的费用为W元则W=25m+28（80m）=3m+2240，k=30，W随m的增大而减小，当m=50时，W最少=2090元，即第三种方案费用最少（3）在（2）的基础上有：W=（25+a）m+28（80m）=（a3）m+2240当a=3时，三种方案的费用一样，都是2240万元当a3时，k=a30，W随m的增大而增大，m=48时，费用W最小当0a3时，k=a30，W随m的增大而减小，m=50时，W最小，费用最省【点评】本题考查了一次函数的性质的运用，列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用解答时建立方程求出甲，乙两种套房每套提升费用是关键，是解答第二问和第三问的必要过程4、（2015广西）过点（0，2）的直线l1：y1=kx+b（k0）与直线l2：y2=x+1交于点P（2，m）（1）写出使得y1y2的x的取值范围；（2）求点P的坐标和直线l1的解析式【考点】两条直线相交或平行问题菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）观察函数图象得到当x2时，直线l1在直线l2的下方，则y1y2；（2）先P（2，m）代入y2=x+1可求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线l1的解析式【解答】解：（1）当x2时，y1y2；（2）把P（2，m）代入y2=x+1得m=2+1=3，则P（2，3），把P（2，3）和（0，2）分别代入y1=kx+b得，解得，所以直线l1的解析式为：y1=x2【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同5、（2015新抚区模拟）为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格、工作量如下表经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元（1）求a，b的值；（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供 选择；（3）在（2）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案甲型乙型价格（万元/台）ab产量（吨/月）240180【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用菁优网版权所有【专题】应用题【分析】（1）因为购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元，所以可列出方程组，解之即可；（2）可设购买污水处理设备甲型设备x台，乙型设备（10x）台，则有12x+10（10x）110，解之确定x的值，即可确定方案；（3）因为每月要求处理洋澜湖的污水量不低于2040吨，所以有240x+180（10x）2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择【解答】解：（1）由题意得：，；（2）设购买污水处理设备甲型设备x台，乙型设备（10x）台，则：12x+10（10x）110，x5，x取非负整数x=0，1，2，3，4，5，有6种购买方案（3）由题意：240x+180（10x）2040，x4x为4或5当x=4时，购买资金为：124+106=108（万元），当x=5时，购买资金为：125+105=110（万元），最省钱的购买方案为，应选购甲型设备4台，乙型设备6台【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系要会用分类的思想来讨论求得方案的问题6、（2016临朐县一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）当时，求的值【考点】根的判别式菁优网版权所有【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：二次项系数不为零；在有两个不相等的实数根下必须满足=b24ac0另外，对第（2）依据：=，小题利用转换解出所求的值，要注意验证所求结果是否符合题意【解答】解：（1）根据题意列出方程组解之得m1且m（2）=112=9=3又由（1）得m1且m所以0因此应舍去3所以=3【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件注意：验证所求结果是否符合题意必不可少7、（2016春丰城市校级期中）ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNEF是平行四边形【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理菁优网版权所有【专题】证明题【分析】主要考查平行四边形的判定以及三角形中中位线的运用，由中位线定理，可得EFBC，MNBC，且都等于边长BC的一半分析到此，此题便可解答【解答】证明：BE，CF是ABC的中线，EFBC且EF=BC，M是BO的中点，