平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 平面向量的数量积及向量的应用习题及详解平面向量的数量积及向量的应用习题及详解 一 选择题一 选择题 1 文 2010 东北师大附中 已知 a 6 b 3 a b 12 则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 A 4 B 4 C 2 D 2 答案 A 解析 a 在 b 方向上的投影为 4 a b b 12 3 理 2010 浙江绍兴调研 设 a b 4 若 a 在 b 方向上的投影为 2 且 b 在 a 方向上的投影为 1 则 a 与 b 的夹角等于 A B C D 或 6 3 2 3 3 2 3 答案 B 解析 由条件知 2 1 a b 4 a b b a b a a 4 b 2 cos a b a b a b 4 4 2 1 2 a b 3 2 文 2010 云南省统考 设 e1 e2是相互垂直的单位向量 并且向量 a 3e1 2e2 b xe1 3e2 如果 a b 那么实数 x 等于 A B C 2 D 2 9 2 9 2 答案 C 解析 由条件知 e1 e2 1 e1 e2 0 a b 3x 6 0 x 2 理 2010 四川广元市质检 已知向量 a 2 1 b 1 2 且 m ta b n a kb t k R 则 m n 的充要条件是 A t k 1 B t k 1 C t k 1 D t k 0 答案 D 解析 m ta b 2t 1 t 2 n a kb 2 k 1 2k m n m n 2t 1 2 k t 2 1 2k 5t 5k 0 t k 0 3 文 2010 湖南理 在 Rt ABC 中 C 90 AC 4 则 等于 AB AC A 16 B 8 C 8 D 16 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 答案 D 解析 因为 C 90 所以 0 所以 2 AC2 16 AC CB AB AC AC CB AC AC AC CB 理 2010 天津文 如图 在 ABC 中 AD AB 1 则 BC 3BD AD AC AD A 2 B C D 3 3 2 3 33 答案 D 解析 AC AB BC AB 3BD AC AD AB 3BD AD AB AD 3BD AD 又 AB AD 0 AB AD cos ADB cos ADB AC AD 3BD AD 3BD AD 3BD 3 AD 3 4 2010 湖南省湘潭市 设非零向量 a b c 满足 a b c a b c 则 a b A 150 B 120 C 60 D 30 答案 B 解析 a b c a b c 0 a b 2 c 2 a 2 b 2 2a b 0 b 2 2 a b cos a b 0 cos a b 1 2 a b 0 180 a b 120 5 2010 四川双流县质检 已知点 P 在直线 AB 上 点 O 不在直线 AB 上 且存在实数 t 满足 2t t 则 OP PA OB PA PB A B C 2 D 3 1 3 1 2 答案 B 解析 2t t OP OA OP OB OP 2t 2t 1OA t 2t 1OB 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 P 在直线 AB 上 1 t 1 2t 2t 1 t 2t 1 OP 2 3OA 1 3OB PA OA OP 1 3OA 1 3OB 2 PB OB OP 2 3OB 2 3OA PA PA PB 1 2 6 文 平面上的向量 满足 2 2 4 且 0 若向量 则 的 MA MB MA MB MA MB MC 1 3MA 2 3MB MC 最大值是 A B 1 C 2 D 1 2 4 3 答案 D 解析 0 又 2 2 4 MA MB MA MB MA MB AB 2 且 M 在以 AB 为直径的圆上 如图建立平面直角坐标系 则点 A 1 0 点 B 1 0 设点 M x y 则 x2 y2 1 1 x y 1 x y MA MB MC 1 3MA 2 3MB 1 3 x y 2 2 y2 x MC 1 3 x 10 9 2 3 1 x 1 x 1 时 2取得最大值为 MC 16 9 的最大值是 MC 4 3 理 2010 山东日照 点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点 N 是边 BC 的中点 则 的最大值为 AN AM A 8 B 6 C 5 D 4 答案 B 解析 建立直角坐标系如图 正方形 ABCD 边长为 2 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 A 0 0 N 2 1 2 1 设 M 坐标为 x y x y 由坐标系可知 AN AM Error Error 2x y 设 2x y z AN AM 易知 当 x 2 y 2 时 z 取最大值 6 的最大值为 6 故选 B AN AM 7 如图 ABC 的外接圆的圆心为 O AB 2 AC 3 BC 则 等于 7 AO BC A B 3 2 5 2 C 2 D 3 答案 B 解析 因为 OA OB 所以在上的投影为 所 AO BC AO AC AB AO AC AO AB AO AB 1 2 AB 以 2 同理 故 2 AO AB 1 2 AB AB AO AC 1 2 AC AC 9 2 AO BC 9 2 5 2 8 文 已知向量 a b 满足 a 2 b 3 a b a 1 则向量 a 与向量 b 的夹角为 A B C D 6 4 3 2 答案 C 解析 根据向量夹角公式 cos a b 求解 a b a b 由条件得 a b a2 1 即 a b 3 设向量 a b 的夹角为 则 cos 所以 a b a b 3 2 3 1 2 3 理 2010 黑龙江哈三中 在 ABC 中 其面积 S 则与夹角的取值范围是 AB BC 3 8 3 3 8 3 16 AB BC A B C D 6 4 6 3 4 3 6 3 4 答案 A 解析 设 cos S sin sin AB BC AB BC AB BC 1 2 AB BC 1 2 AB BC 3 16 AB BC 3 8sin cot AB BC 3cos 8sin 3 8 由条件知 cot 1 cot 3 8 3 8 3 3 83 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 0 为锐角 AB BC 6 4 9 文 2010 云南省统考 如果 A 是抛物线 x2 4y 的顶点 过点 D 0 4 的直线 l 交抛物线 x2 4y 于 B C 两点 那么 等于 AB AC A B 0 C 3 D 3 4 3 4 答案 B 解析 由题意知 A 0 0 设 B x1 y1 C x2 y2 直线 l y kx 4 由Error Error 消去 y 得 x2 4kx 16 0 x1 x2 4k x1x2 16 y1 y2 kx1 4 kx2 4 k2x1x2 4k x1 x2 16 16k2 16k2 16 16 x1x2 y1y2 0 AB AC 理 2010 南昌市模考 如图 BC 是单位圆 A 的一条直径 F 是线段 AB 上的点 且 2 若 DE 是 BF FA 圆 A 中绕圆心 A 运动的一条直径 则 的值是 FD FE A B C D 不确定 3 4 8 9 1 4 答案 B 解析 2 BF FA FA 1 3BA FA 1 3 BA 1 3 FD FE FA AD FA AE FA AD FA AD 2 2 1 FA AD 1 9 8 9 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 10 2010 福建莆田一中 设 O 为坐标原点 A 1 1 若点 B x y 满足Error Error 则 取得最小值时 OA OB 点 B 的个数是 A 1 B 2 C 3 D 无数个 答案 B 解析 x2 y2 2x 2y 1 0 即 x 1 2 y 1 2 1 可行域为图中阴影部分 cos 又 为定值 当 cos 取最小值时 取最小 OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB 值 y cosx 在上为减函数 由图可知 当点 B 在 E F 位置时 AOB 最大 最小 从而 0 2 OB OA 取最小值 故选 B OB 点评 可用数量积的坐标表示求解 设 B x y 令 x y t 则 y x t 当直线 y x t OA OB 过 B1 B2两点时 t 最小 即 tmin 3 当 取得最小值时 点 B 的个数为 2 OA OB 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 二 填空题二 填空题 11 2010 苏北四市 如图 在平面四边形 ABCD 中 若 AC 3 BD 2 则 AB DC AC BD 答案 5 解析 设 AC 与 BD 相交于点 O 则 AB DC AC BD OB OA OC OD AC BD OB OD OC OA AC BD 2 2 5 DB AC AC BD AC BD 12 文 2010 江苏洪泽中学月考 已知 O A B 是平面上不共线三点 设 P 为线段 AB 垂直平分线上任 意一点 若 7 5 则 的值为 OA OB OP OA OB 答案 12 解析 PA PO OA PB PO OB 由条件知 2 49 2 25 OA OB PA PB 2 2 PO OA PO OB 即 2 2 2 2 2 2 12 PO OA PO OA PO OB PO OB PO OA OB 12 OP OA OB 理 2010 广东茂名市 O 是平面 上一点 A B C 是平面 上不共线的三点 平面 内的动点 P 满足 则 时 的值为 OP OA AB AC 1 2 PA PB PC 答案 0 解析 由已知得 OP OA AB AC 即 AP AB AC 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 当 时 得 1 2 AP 1 2 AB AC 2 即 AP AB AC AP AB AC AP 0 BP PC PB PC PB BP 0 0 故填 0 PA PB PC PA 13 2010 安徽巢湖市质检 已知 A1 A2分别是椭圆 1 的左 右顶点 P 是过左焦点 F 且垂直于 x2 25 y2 16 A1A2的直线 l 上的一点 则 PA1 A1A2 答案 20 解析 由条件知 A1 5 0 A2 5 0 F 3 0 设 P 3 y0 则 10 0 2 y0 A1A2 PA1 20 PA1 A1A2 14 2010 福建厦门质检 已知向量 an cos sin n N b 1 则函数 n 7 n 7 y a1 b 2 a2 b 2 a3 b 2 a141 b 2的最大值为 答案 284 解析 b 1 设 b cos sin an2 cos2 sin2 1 n N n 7 2n 7 an b coscos sinsin n 7 n 7 y a1 b 2 a2 b 2 a141 b 2 a1 2 a2 2 a141 2 141 b 2 2 a1 b a2 b an b 282 2cos cos cos cos 2sin 7 2 7 141 7 sin 7 sin 2 7 sin141 7 282 2cos cos 2sin sin 7 7 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 282 2cos 284 7 三 解答题三 解答题 15 山东省潍坊市质检 已知函数 f x sin2x cos2x x R 3 2 1 2 1 求函数 f x 的最小值和最小正周期 2 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 c f C 0 若向量 m 1 sinA 与向量 3 n 2 sinB 共线 求 a b 的值 解析 1 因为 f x sin2x 3 2 1 cos2x 2 1 2 sin 2x 1 6 所以 f x 的最小值是 2 最小正周期是 T 2 2 2 由题意得 f C sin 2C 1 0 6 则 sin 2C 1 6 0 C 0 2C 2 2C 6 6 11 6 2C C 6 2 3 向量 m 1 sinA 与向量 n 2 sinB 共线 1 2 sinA sinB 由正弦定理得 a b 1 2 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcos 3 即 3 a2 b2 ab 由 解得 a 1 b 2 16 文 延边州质检 如图 在四边形 ABCD 中 AD 8 CD 6 AB 13 ADC 90 且 50 AB AC 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 1 求 sin BAD 的值 2 设 ABD 的面积为 S ABD BCD 的面积为 S BCD 求的值 S ABD S BCD 解析 1 在 Rt ADC 中 AD 8 CD 6 则 AC 10 cos CAD sin CAD 4 5 3 5 又 50 AB 13 AB AC cos BAC AB AC AB AC 5 13 0 BAC 180 sin BAC 12 13 sin BAD sin BAC CAD 63 65 2 S BAD AB ADsin BAD 1 2 252 5 S BAC AB ACsin BAC 60 S ACD 24 1 2 则 S BCD S ABC S ACD S BAD 168 5 S ABD S BCD 3 2 理 点 D 是三角形 ABC 内一点 并且满足 AB2 CD2 AC2 BD2 求证 AD BC 我们不做宣传 我们只做口碑 地址 成都市温江区大南街文庙龙翔通讯 4 楼 询电 028 82747656 分析 要证明 AD BC 则只需要证明 0 可设 m c b 将用 m b c 线 AD BC AD AB AC BC 性表示 然后通过向量的运算解决 证明 设 c b m AB AC AD 则 m c m b BD AD AB CD AD AC AB2 CD2 AC2 BD2 c2 m b 2 b2 m c 2 即 c2 m2 2m b b2 b2 m2 2m c c2 m c b 0 即 0 AD AB AC 0 AD BC AD CB 17 文 2010 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 2 设实数 t 满足 t 0 求 t 的值 AB OC OC 解析 1 由题设知 3 5 1 1 则 2 6 4 4 AB AC AB AC AB AC 所以 2 4 AB AC 10 AB AC 2 故所求的两条对角线长分别为 4 2 210 2 由题设知 2 1 t 3 2t 5 t OC AB OC 由 t 0 得 AB OC OC 3 2t 5 t 2 1 0 所以 t 11 5 理 安徽巢湖质检 已知 A