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1 考点一 概念考点一 概念 1 1 内容 内容 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 这样的整式方程就是一元 二次方程 2 2 一般表达式 一般表达式 0 0 2 acbxax 3 3 关键点 关键点 强调对最高次项的讨论 次数为 2 系数不为 0 典型例题典型例题 例例 1 1 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 A B 1213 2 xx02 11 2 xx C D 0 2 cbxax12 22 xxx 变式 变式 当 k 时 关于 x 的方程是一元二次方程 32 22 xxkx 例例 2 2 方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的值为 0132 mxxm m 针对练习 针对练习 1 方程的一次项系数是 常数项是 78 2 x 2 若方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的取值范围是 11 2 xmxm 考点二 方程的解考点二 方程的解 内容 内容 使方程两边相等的未知数的值 就是方程的解 应用 应用 利用根的概念求代数式的值 典型例题典型例题 例例 1 1 已知的值为 2 则的值为 32 2 yy124 2 yy 例例 2 2 关于 x 的一元二次方程的一个根为 0 则 a 的值为 042 22 axxa 说明 说明 任何时候 都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制 例例 3 3 已知关于 x 的一元二次方程的系数满足 则此方 00 2 acbxaxbca 程必有一根为 说明 说明 本题的关键点在于对 代数式形式 的观察 再利用特殊根 1 巧解代数式 的值 例例 4 4 已知 求 ba 012 2 aa012 2 bb ba 变式 变式 若 则的值为 012 2 aa012 2 bb a b b a 针对练习 针对练习 2 1 已知方程的一根是 2 则 k 为 另一根是 010 2 kxx 2 已知 m 是方程的一个根 则代数式 01 2 xx mm2 3 已知是的根 则 a013 2 xx aa62 2 4 方程的一个根为 0 2 acxcbxba A B 1 C D 1 cb a 5 若 yx yx324 0352 作业 作业 1 若方程是关于 x 的一元一次方程 02 1 m xm 求 m 的值 写出关于 x 的一元一次方程 2 已知关于 x 的方程的一个解与方程的解相同 02 2 kxx3 1 1 x x 求 k 的值 方程的另一个解 考点三 解法考点三 解法 方法 方法 直接开方法 因式分解法 配方法 公式法 关键点 关键点 降次 类型一 直接开方法 类型一 直接开方法 mxmmx 0 2 对于 等形式均适用直接开方法 max 2 22 nbxmax 典型例题典型例题 例 1 解方程 0 0821 2 x 2 16252x 0913 2 x 例 2 若 则 x 的值为 22 21619 xx 针对练习 针对练习 1 下列方程无解的是 A B C D 123 22 xx 02 2 xxx 13209 2 x 3 类型二 因式分解法类型二 因式分解法 0 21 xxxx 21 xxxx 或 方程特点 左边可以分解为两个一次因式的积 右边为 0 方程形式 如 22 nbxmax cxaxbxax 02 22 aaxx 典型例题典型例题 例 1 的根为 3532 xxx A B C D 2 5 x3 x3 2 5 21 xx 5 2 x 例 2 若 则 4x y 的值为 04434 2 yxyx 变式 1 2222 2 22 06b ababa 变式 2 若 则 x y 的值为 032 yxyx 变式 3 若 则 x y 的值为 14 2 yxyx28 2 xxyy 例 3 方程的解为 06 2 xx A B C D 23 21 xx23 21 xx33 21 xx22 21 xx 例 4 解方程 0432132 2 xx 例 5 已知 则的值为 0232 22 yxyx yx yx 变式 已知 且 则的值为 0232 22 yxyx0 0 yx yx yx 针对练习 针对练习 1 下列说法中 方程的二根为 则0 2 qpxx 1 x 2 x 21 2 xxxxqpxx 4 2 86 2 xxxx 3 2 65 22 aababa 22 yxyxyxyx 4 方程可变形为07 13 2 x0 713 713 xx 正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且两根互为倒数 写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且两根互为相反数 3 若实数 x y 满足 则 x y 的值为 023 yxyx A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 或 2 D 1 或 2 4 方程 的解是 2 1 2 2 x x 类型三 配方法类型三 配方法 00 2 acbxax 2 2 2 4 4 2a acb a b x 在解方程中 多不用配方法 但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题 典型例题典型例题 例 1 试用配方法说明的值恒大于 0 的值恒小于 0 32 2 xx4710 2 xx 例 2 已知 x y 为实数 求代数式的最小值 742 22 yxyx 变式 若 则 t 的最大值为 最小值为 91232 2 xxt 例 3 已知为实数 求的值 x yyxyx01364 22 y x 变式 1 已知 则 04 11 2 2 x x x x x x 1 变式 2 如果 那么的值为 4122411 bacbacba32 类型四 公式法类型四 公式法 条件 04 0 2 acba且 5 公式 a acbb x 2 4 2 04 0 2 acba且 典型例题典型例题 例 1 选择适当方法解下列方程 6 13 2 x 8 63 xx014 2 xx 0143 2 xx 5211313 xxxx 说明 解一元二次方程时 首选方法是因式分解法和直接开方法 其次选用求根公式 法 一般不选择配方法 考点四 根的判别式考点四 根的判别式acb4 2 根的判别式的作用 根的判别式的作用 定根的个数 求待定系数的值 应用于其它 典型例题典型例题 例 1 若关于的方程有两个不相等的实数根 则 k 的取值范围是 x012 2 xkx 例 2 关于 x 的方程有实数根 则 m 的取值范围是 021 2 mmxxm A B C D 10 mm0 m1 m1 m 例 3 已知二次三项式是一个完全平方式 试求的值 2 6 9 2 mxmxm 说明 若二次三项式为一个完全平方式 则其相应方程的判别式0 即 若 则二次三项式为完全平方式 反之 若04 2 acbcbxax 2 0 a 为完全平方式 则 cbxax 2 0 a04 2 acb 针对练习 针对练习 1 当 k 时 关于 x 的二次三项式是完全平方式 9 2 kxx 2 已知方程有两个不相等的实数根 则 m 的值是 02 2 mxmx 考点五 根与系数的关系考点五 根与系数的关系 6 前提 前提 对于而言 当满足 时 才能用韦达定理 0 2 cbxax0 a0 主要内容 主要内容 a c xx a b xx 2121 应用 应用 整体代入求值 典型例题典型例题 例 1 已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根 则这个直角0782 2 xx 三角形的斜边是 A B 3 C 6 D 36 说明 要能较好地理解 运用一元二次方程根与系数的关系 必须熟练掌握 之间的运算关系 ba ba ab 22 ba 例 2 解方程组 2 10 2 24 10 1 22 yx yx xy yx 说明 一些含有 的二元二次方程组 除可以且代入法来解外 yx 22 yx xy 往往还可以利用根与系数的关系 将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题 有 时 后者显得更为简便 例 3 已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根 0112 22 xkxk 21 x x 1 求 k 的取值范围 2 是否存在实数 k 使方程的两实数根互为相反数 若存在 求出 k 的值 若不存 在 请说明理由 典型例题典型例题 1 关于 x 的方程 0321 2 mxxm 有两个实数根 则 m 为 7 只有一个根 则 m 为 2 解方程 判断关于 x 的方程根的情况 32 22 kkxx 3 如果关于 x 的方程及方程均有实数根 问这两方程是02 2 kxx02 2 kxx 否有相同的根 若有 请求出这相同的根及 k 的值 若没有 请说明理由 考点六 一元二次方程应用考点六 一元二次方程应用题题 典型例题一典型例题一 例 某公司八月份售出电脑 200 台 十月份售出 242 台 这两个月平均每有增长的百分率是多 少 分析 设平均每月的增长率为 x 那么九月份售出电脑台 即台 十月 200200 x 1 200 x 份售出台 即台 于是根据题意 可以列出方程 xxx 1 200 1 200 2 1 200 x 解 设平均每月增长的百分率为 x 依题意 有 1 1 1 21 1 1 242 1 200 2 2 x x x 不符合题意 舍去 1 2 1 0 21 xx 答 平均每月增长的百分率为 10 说明 在有关增长率的问题中 要掌握等量关系 其中 a 为变化前的数 如本pxa n 1 题中的 200 台 p 为变化后的数 如本题中的 242 台 x 为增长 降低 率 n 为变化次数 如本题 从八月到十月份共变化两次 因此 2 n 典型例题二典型例题二 例 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长 21 平均每年比上一年增长的百分率为 解 设平均增长率为 则 x211 1 2 x 不合题意 舍去 1 11 x1 2 1 0 21 xx 10 x 说明 本题主要考查利用一元二次方程求平均数增长率的问题 解题关键是设出未知数 列出方程 8 典型例题四典型例题四 例 安徽省 1997 如图 要建一个面积为 150的长方形养鸡场 为了节约材料 鸡场的 2 m 一边靠着原有的一条墙 墙长为米 另三边用竹篱笆围成 如果篱笆的长为 35 米 a 1 求鸡场的长与宽各为多少 2 题中 墙的长度对题a目的 解起着怎样的作用 解 1 设鸡场的宽为米 则x 150 235 xx 5 7 10 21 xx 当宽为 10 米时 长为 35 20 15 米 当宽为米时 长为 35 15 20 米 5 7 2 由 1 的结果可知 题中的墙长对于问题的解有严格的限制作用 a 当时 问题无解 15 a 当时 问题有一解 只可建宽为 10 米 长 15 米一种规格的鸡场 2015 a 当时 问题有两解 可建宽 10 米 长 15 米 或宽为米 长为 20 米两种规格的鸡场 20 a5 7 说明 本题考查利用一元二次方程解与面积有关的实际问题 解题关键是设出未知数 表示出 长与宽 根据面积公式列出方程 易错点是在讨论的限制作用时漏解或叙述不清 a 典型例题五典型例题五 例将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时 能卖 500 个 已知该商品每涨价 1 元 其销售 量就要减少 10 个 为了赚 8000 元利润 售价应定为多少 这时应进货多少个 分析 该题属于经营问题 设商品单价为元 则每个商品得利润元 因 50 x 40 50 x 为每涨价 1 元 其销售量会减少 10 个 则每个涨价元 其销售量会减少个 故销售量为xx10 个 为了赚得 8000 元利润 则应有 10500 x 进而可以求解 800040 50 10500 xx 解设每个商品涨价元 则销售价为元 销售量为个 x 50 x 10500 x 根据题意 得 800040 50 10500 xx 整理 得 030040 2 xx 解之 得 10 1 x30 2 x 经检验 都符合题意 10 1 x30 2 x 当时 10 x6050 x40010500 x 当时 30 x8050 x20010500 x 答 要想赚 8000 元 售价应定为 60 元或 80 元 若售价为 60 元 则进货量应为 400 个 若售 9 价为 80 元 则进货量应为 200 个 说明 根据题意列出相应的等量关系是解决问题的关键 对于本题要注意单价的上涨与销售量 的减少之间的相互关系 典型例题六典型例题六 例 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行 到期后支取 1000 元用于购物 剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行 若存款的利率不变 到期后本金和利息共 1320 元 求 这种存款方式的年利率 分析 可设存款的年利率为 依题意 以本利和为主线列方程解之 x 解设这种存款的年利率为 则 2000 元存入一年后 应得本金和利息为元 支x 1 2000 x 取 1000 元后 还有元 再存入一年后 本息应为 1000 1 2000 x 元 依题意 得 1 1000 1 2000 xx 1320 1 1000 1 2000 xx 整理 得 所得结果要符合实际意义 087550 2 xx 解之 得 不合题意 舍去 10 10 1 1 x 5 8 2 x 答 这种存款方式的年利率为 10 说明 存款利率是一种典型的应用题 此类题一般年利率为未知数 依存款本利和列方程解之 典型例题七典型例题七 例 坡耕地退耕还林还草 是国家对解决西部地区水土流失生态问题 帮助广大农民脱贫致 富提出的一项战略措施 某村长为带领